Problèmes sur les nombres réels

Comparaison de nombres

1. Comparer \(\frac{1}{3}\) et \(\frac{2}{7}\), puis \(- \frac{4}{5}\) et \(- 1\).

   Pour comparer deux fractions, on les écrit avec le même dénominateur :

   $$ \frac{1}{3} = \frac{7}{21} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{2}{7} = \frac{6}{21} $$

   $$ \frac{1}{3} > \frac{2}{7} $$

   $$ - 1 = - \frac{5}{5} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} - \frac{4}{5} > - \frac{5}{5} $$

   $$ - \frac{4}{5} > - 1 $$
2. On passe à des racines carrées. Comparer \(5 \sqrt{2}\) et \(4 \sqrt{3}\), puis \(- 4 \sqrt{7}\) et \(- 5 \sqrt{6}\).

   On compare les carrés :

   $$ \bigl( 5 \sqrt{2} \bigr)^2 = 25 \times 2 = 50 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \bigl( 4 \sqrt{3} \bigr)^2 = 16 \times 3 = 48 $$

   Les deux nombres sont positifs, et la fonction carré est croissante sur les positifs : ils sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

   $$ 5 \sqrt{2} > 4 \sqrt{3} $$

   $$ \bigl( - 4 \sqrt{7} \bigr)^2 = 16 \times 7 = 112 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \bigl( - 5 \sqrt{6} \bigr)^2 = 25 \times 6 = 150 $$

   Les deux nombres sont négatifs, et la fonction carré est décroissante sur les négatifs : ils sont rangés dans l'ordre inverse de leurs carrés.

   $$ - 4 \sqrt{7} > - 5 \sqrt{6} $$

Encadrement simple

On sait que :

Donner un encadrement du nombre \(1 - \frac{7 \sqrt{2}}{3}\).

Un euro à partager

Des amis se partagent à parts égales une somme d'argent, ou une dette : la part de chacun est un quotient.

1. Compléter le tableau, en donnant la part de chacun sous sa forme la plus simple, puis le plus petit ensemble de nombres auquel elle appartient.

   Partage	Part de chacun, en \(\text{€}\)	Plus petit ensemble
   \(6 \ \text{€}\) entre \(3\) amis	..........	..........
   une dette de \(6 \ \text{€}\) entre \(3\) amis	..........	..........
   \(1 \ \text{€}\) entre \(4\) amis	..........	..........
   \(1 \ \text{€}\) entre \(3\) amis	..........	..........

   On divise la somme par le nombre d'amis, une dette comptant en négatif, puis on simplifie l'écriture avant de classer le nombre :

   Partage	Part de chacun, en \(\text{€}\)	Plus petit ensemble
   \(6 \ \text{€}\) entre \(3\) amis	\(\frac{6}{3} = 2\)	\(\mathbb{N}\)
   une dette de \(6 \ \text{€}\) entre \(3\) amis	\(- \frac{6}{3} = - 2\)	\(\mathbb{Z}\)
   \(1 \ \text{€}\) entre \(4\) amis	\(\frac{1}{4} = 0.25\)	\(\mathbb{D}\)
   \(1 \ \text{€}\) entre \(3\) amis	\(\frac{1}{3} = 0.333\ldots\)	\(\mathbb{Q}\)

   \(\frac{1}{3}\) s'écrit comme une fraction, mais son écriture décimale ne s'arrête pas : la question 3 démontre qu'il n'est pas décimal.

2. On revient au partage de \(1 \ \text{€}\) entre trois amis, en pièces de \(1\) centime. Expliquer pourquoi chacun ne peut pas recevoir exactement sa part.

   \(1 \ \text{€}\) vaut \(100\) centimes, et la part de chacun vaudrait \(\frac{100}{3}\) centimes. La somme des chiffres de \(100\) vaut \(1\) : \(100\) n'est pas un multiple de \(3\), et la part n'est pas un nombre entier de centimes.

   $$ 100 = 3 \times 33 + 1 $$

   Deux amis reçoivent \(33\) centimes, le troisième \(34\).

3. On passe au cas général. Démontrer que \(\frac{1}{3}\) n'est pas un nombre décimal. On pourra supposer que \(\frac{1}{3} = \frac{a}{10^n}\), avec \(a\) entier et \(n\) entier naturel, puis exprimer \(10^n\) en fonction de \(a\).

   On suppose que \(\frac{1}{3}\) est décimal : \(\frac{1}{3} = \frac{a}{10^n}\), avec \(a\) entier et \(n\) entier naturel. Par produit en croix :

   $$ 10^n = 3a $$

   \(10^n\) serait donc un multiple de \(3\). Or il s'écrit avec un \(1\) suivi de \(n\) zéros : la somme de ses chiffres vaut \(1\), et \(10^n\) n'est pas un multiple de \(3\). C'est une contradiction.

   $$ \frac{1}{3} \notin \mathbb{D} $$

Intervalles sur une droite graduée

On considère les intervalles suivants :

1. Représenter ces quatre intervalles sur la droite des réels.
   
2. Écrire puis représenter \(I \cup J\) et \(K \cap L\).

   \(J\) est contenu dans \(I\) : leur réunion est \(I\) tout entier.

   $$ I \cup J = \Bigl] - 2 \ ; \ 4 \Bigr] $$

   Les nombres à la fois inférieurs à \(2\) et supérieurs à \(1\), les deux bornes étant exclues :

   $$ K \cap L = \Bigl] 1 \ ; \ 2 \Bigr[ $$

   

Erreurs d'encadrement

1. Zoé sait que \(- 3 \leqslant x \leqslant 2\). Elle en déduit, en élevant au carré : « \(4 \leqslant x^2 \leqslant 9\) ». Expliquer pourquoi cet encadrement est faux, puis donner le bon.

   La fonction carré n'est pas monotone sur \(\bigl[ - 3 \ ; \ 2 \bigr]\) : elle décroît jusqu'à \(0\), puis croît. On ne peut donc pas élever un encadrement au carré quand il contient des négatifs et des positifs. Par exemple \(x = 0\) vérifie \(- 3 \leqslant x \leqslant 2\), et \(x^2 = 0 < 4\).

   Sur \(\bigl[ - 3 \ ; \ 0 \bigr]\), \(x^2\) va de \(9\) à \(0\) ; sur \(\bigl[ 0 \ ; \ 2 \bigr]\), de \(0\) à \(4\) :

   $$ 0 \leqslant x^2 \leqslant 9 $$
2. On change de question. Écrire une inéquation du premier degré dont l'ensemble des solutions est \(\Bigl] - \infty \ ; \ 3 \Bigr]\), et dans laquelle il faut changer le sens de l'inégalité pour la résoudre.

   On part de \(x \leqslant 3\) et on remonte les étapes : en multipliant les deux membres par \(- 2\), le sens change, puis on ajoute \(1\).

   $$ x \leqslant 3 \iff - 2x \geqslant - 6 \iff - 2x + 1 \geqslant - 5 $$

   $$ - 2x + 1 \geqslant - 5 $$

   Toute inéquation équivalente convient, par exemple \(- x \geqslant - 3\).

3. On revient au carré d'un encadrement, dans le cas où il est permis. Démontrer que, pour tous réels \(a\) et \(b\) tels que \(0 \leqslant a \leqslant b\), on a \(a^2 \leqslant b^2\). On pourra multiplier les deux membres de \(a \leqslant b\) par \(a\), puis par \(b\).

   On suppose que \(0 \leqslant a \leqslant b\). Multiplier les deux membres d'une inégalité par un nombre positif ne change pas son sens.

   On multiplie les deux membres de \(a \leqslant b\) par \(a\), qui est positif :

   $$ a \times a \leqslant a \times b \iff a^2 \leqslant ab $$

   On multiplie les deux membres de \(a \leqslant b\) par \(b\), positif lui aussi puisque \(b \geqslant a \geqslant 0\) :

   $$ a \times b \leqslant b \times b \iff ab \leqslant b^2 $$

   Les deux inégalités s'enchaînent :

   $$ a^2 \leqslant ab \leqslant b^2 $$

   $$ 0 \leqslant a \leqslant b \Longrightarrow a^2 \leqslant b^2 $$

Le réfrigérateur à vaccins

Dans une pharmacie, les vaccins se conservent dans un réfrigérateur dont la température \(T\), en \(°\text{C}\), doit rester comprise entre \(2 \ °\text{C}\) et \(8 \ °\text{C}\), bornes comprises.

1. Écrire la condition de conservation sous forme d'intervalle, puis sous la forme \(|\, T - a \,| \leqslant r\), en précisant le centre \(a\) et le rayon \(r\).
   $$ T \in \bigl[ 2 \ ; \ 8 \bigr] $$

   Le centre est le milieu des deux bornes, le rayon la moitié de la longueur de l'intervalle :

   $$ a = \frac{2 + 8}{2} = 5 \quad \text{et} \quad r = \frac{8 - 2}{2} = 3 $$

   $$ |\, T - 5 \,| \leqslant 3 $$
2. On reste sur ce réfrigérateur. Son thermomètre a relevé \(1.5 \ °\text{C}\) la nuit, \(4.8 \ °\text{C}\) le matin et \(8.2 \ °\text{C}\) l'après-midi. Calculer la distance de chaque relevé à \(5\), puis dire à quels moments les vaccins étaient bien conservés.
   $$ |\, 1.5 - 5 \,| = 3.5 $$

   $$ |\, 4.8 - 5 \,| = 0.2 $$

   $$ |\, 8.2 - 5 \,| = 3.2 $$

   Seul le relevé du matin est à \(3\) au plus du centre :

   $$ \text{bien conservés le matin seulement} $$
3. On range dans le même réfrigérateur un autre médicament, qui se conserve tant que \(|\, T - 7 \,| \leqslant 3\). Écrire cette condition sous forme d'intervalle, puis déterminer les températures qui conviennent aux deux produits, sous la forme \(|\, T - b \,| \leqslant s\).

   \(T\) est à \(3\) au plus de \(7\) :

   $$ |\, T - 7 \,| \leqslant 3 \iff T \in \bigl[ 4 \ ; \ 10 \bigr] $$

   Les deux produits sont bien conservés quand \(T\) appartient aux deux intervalles à la fois :

   $$ \bigl[ 2 \ ; \ 8 \bigr] \cap \bigl[ 4 \ ; \ 10 \bigr] = \bigl[ 4 \ ; \ 8 \bigr] $$

   $$ b = \frac{4 + 8}{2} = 6 \quad \text{et} \quad s = \frac{8 - 4}{2} = 2 $$

   $$ |\, T - 6 \,| \leqslant 2 $$

La piste du circuit imprimé

Sur une carte électronique, les pistes de cuivre relient les composants en suivant un quadrillage de mailles carrées de \(1 \ \text{mm}\) de côté : chaque tronçon longe le côté d'une maille, ou la traverse en biais par sa diagonale.

1. Justifier que la diagonale d'une maille mesure \(\sqrt{2} \ \text{mm}\), puis calculer la longueur exacte \(L\), en millimètres, de la piste qui relie la pastille \(A\) à la pastille \(B\).

   La diagonale \(d\) d'une maille partage ce carré de \(1 \ \text{mm}\) de côté en deux triangles rectangles isocèles, dont elle est l'hypoténuse. D'après le théorème de Pythagore :

   $$ d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 $$

   Une longueur est positive :

   $$ d = \sqrt{2} \ \text{mm} $$

   La piste compte trois côtés de maille et deux diagonales. En millimètres :

   $$ L = 3 \times 1 + 2 \times \sqrt{2} = 3 + 2 \sqrt{2} $$
2. On reste sur cette piste. Démontrer que \(L\) n'est pas un nombre rationnel. On admet que \(\sqrt{2}\) est irrationnel ; on pourra raisonner par l'absurde.

   On suppose que \(L\) est rationnel : \(L = \frac{p}{q}\), avec \(p\) entier et \(q\) entier naturel non nul.

   $$ 3 + 2 \sqrt{2} = \frac{p}{q} $$

   On isole \(\sqrt{2}\) : on retranche \(3\) aux deux membres, puis on les divise par \(2\).

   $$ 2 \sqrt{2} = \frac{p}{q} - 3 = \frac{p - 3q}{q} $$

   $$ \sqrt{2} = \frac{p - 3q}{2q} $$

   \(p - 3q\) est un entier et \(2q\) un entier naturel non nul : \(\sqrt{2}\) serait rationnel. Or \(\sqrt{2}\) est irrationnel : c'est une contradiction.

   $$ L = 3 + 2 \sqrt{2} \notin \mathbb{Q} $$
3. On reste sur cette piste. Le logiciel de conception affiche \(L \approx 5.83 \ \text{mm}\). Trancher : « Avec assez de décimales, il finira par afficher la valeur exacte de \(L\). »

   Un affichage a un nombre fini de décimales : il montre un nombre décimal, donc rationnel, puisque \(\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}\). D'après la question 2, \(L\) n'est pas rationnel : aucun affichage n'en donne la valeur exacte.

   $$ \text{faux : l'écriture décimale de } L \text{ ne s'arrête jamais} $$

Le gazon du terrain

On mesure un terrain rectangulaire avec une précision limitée : sa longueur \(L\) et sa largeur \(\ell\), en mètres, vérifient

1. Encadrer le périmètre \(P\) du terrain.

   On additionne les deux encadrements membre à membre, puis on multiplie par \(2\), qui est positif :

   $$ 20.2 \leqslant L + \ell \leqslant 20.6 $$

   $$ 40.4 \leqslant P \leqslant 41.2 $$
2. Encadrer l'aire \(A\) de ce même terrain, en justifiant que l'on peut multiplier les encadrements.

   Tous les nombres en jeu sont positifs : on peut multiplier les encadrements membre à membre.

   $$ 12.4 \times 7.8 \leqslant L \times \ell \leqslant 12.6 \times 8 $$

   $$ 96.72 \leqslant A \leqslant 100.8 $$
3. Le propriétaire a acheté \(100 \ \text{m}^2\) de gazon en rouleaux. Trancher : est-il sûr d'en avoir assez ?

   L'aire peut valoir jusqu'à \(100.8 \ \text{m}^2\) : si le terrain mesure réellement \(12.6 \ \text{m}\) sur \(8 \ \text{m}\), il manque \(0.8 \ \text{m}^2\) de gazon. Les mesures ne permettent pas de trancher en sa faveur.

   $$ \text{il n'est pas sûr d'en avoir assez} $$

Les parts de la meule

Une fromagère partage une meule de \(3 \ \text{kg}\) en \(11\) parts égales. Sa balance affiche \(0.273 \ \text{kg}\) pour chaque part.

1. Poser la division de \(3\) par \(11\) jusqu'à la quatrième décimale, puis expliquer pourquoi les chiffres \(2\) et \(7\) se répètent sans fin.

   À chaque étape, on abaisse un zéro à côté du reste :

   $$ 30 = 2 \times 11 + 8 \quad \text{et} \quad 80 = 7 \times 11 + 3 $$

   Le reste \(3\) est celui du départ : la division recommence à l'identique, et les restes \(8\) puis \(3\) reviennent sans jamais valoir \(0\).

   $$ \frac{3}{11} = 0.272727\ldots $$
2. On fait le chemin inverse. Une autre meule donne des parts de \(x \ \text{kg}\), avec \(x = 0.454545\ldots\), les chiffres \(4\) et \(5\) se répétant sans fin. Calculer \(100x - x\), puis écrire \(x\) sous forme de fraction irréductible. En déduire la masse de cette meule, partagée elle aussi en \(11\) parts.

   Multiplier par \(100\) décale la virgule de deux rangs, et les décimales qui suivent restent les mêmes :

   $$ 100x = 45.454545\ldots \quad \text{et} \quad x = 0.454545\ldots $$

   Dans la différence, les décimales s'annulent :

   $$ 100x - x = 45 \iff 99x = 45 $$

   $$ x = \frac{45}{99} = \frac{5}{11} $$

   Chaque part pèse \(\frac{5}{11} \ \text{kg}\) : la meule pesait \(11 \times \frac{5}{11} = 5 \ \text{kg}\).

3. On applique la même méthode à un autre nombre. Trancher : « Le nombre \(0.999\ldots\), dont les \(9\) se répètent sans fin, est strictement inférieur à \(1\). »

   On note \(y = 0.999\ldots\). Multiplier par \(10\) décale la virgule d'un rang :

   $$ 10y = 9.999\ldots \quad \text{et} \quad y = 0.999\ldots $$

   $$ 10y - y = 9 \iff 9y = 9 \iff y = 1 $$

   $$ \text{faux : } 0.999\ldots = 1 $$

La diagonale du carreau

Un carreleur coupe des carreaux carrés le long de leur diagonale. Il cherche un carreau dont le côté \(c\) et la diagonale \(d\) mesurent tous les deux un nombre entier de millimètres.

1. Démontrer que \(d^2 = 2c^2\).

   La diagonale partage le carreau en deux triangles rectangles isocèles, d'hypoténuse \(d\). D'après le théorème de Pythagore :

   $$ d^2 = c^2 + c^2 = 2c^2 $$
2. On passe à un carreau de \(70 \ \text{mm}\) de côté. Le mètre du carreleur, gradué au millimètre, donne \(99 \ \text{mm}\) pour sa diagonale. Calculer \(d^2\), puis démontrer que \(d\) n'est pourtant pas un nombre entier de millimètres.
   $$ d^2 = 2 \times 70^2 = 9 \ 800 $$

   On place \(9 \ 800\) entre les carrés de deux entiers consécutifs :

   $$ 98^2 = 9 \ 604 \quad \text{et} \quad 99^2 = 9 \ 801 $$

   Les longueurs sont positives, et la fonction carré est croissante sur les positifs : \(d\) est compris entre \(98\) et \(99\), sans être égal à l'un d'eux.

   $$ 98 < d < 99 $$

   Il s'en faut de peu : \(d \approx 98.995 \ \text{mm}\), que le mètre arrondit à \(99 \ \text{mm}\). La mesure ne peut pas trancher, le calcul si.

3. On revient au cas général. Si un carreau convenait, on aurait \(\sqrt{2} = \frac{d}{c}\), une fraction que l'on peut simplifier jusqu'à la rendre irréductible : \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\). Démontrer que c'est impossible, c'est-à-dire que \(\sqrt{2}\) est irrationnel. On admet que le carré d'un nombre impair est impair.

   Étape 1 : Démontrer que \(a^2 = 2b^2\), puis que \(a\) est pair.

   Étape 2 : En écrivant \(a = 2k\), démontrer que \(b\) est pair aussi.

   Conclure :

   On suppose que \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\), avec \(a\) et \(b\) entiers naturels non nuls, et la fraction \(\frac{a}{b}\) irréductible.

   Étape 1 : on élève au carré les deux membres, puis on multiplie par \(b^2\) :

   $$ 2 = \frac{a^2}{b^2} \iff a^2 = 2b^2 $$

   \(a^2\) est donc pair. Si \(a\) était impair, son carré serait impair : \(a\) est pair.

   Étape 2 : on remplace \(a\) par \(2k\), avec \(k\) entier :

   $$ (2k)^2 = 2b^2 \iff 4k^2 = 2b^2 \iff b^2 = 2k^2 $$

   \(b^2\) est pair, et comme à l'étape 1, \(b\) est pair.

   Conclusion : \(a\) et \(b\) sont tous les deux pairs, et la fraction \(\frac{a}{b}\) se simplifie par \(2\), alors qu'elle était irréductible. C'est une contradiction.

   $$ \sqrt{2} \notin \mathbb{Q} $$
4. On revient au carreleur. Trancher : « En essayant des carreaux de plus en plus grands, il finira par en trouver un qui convient. »

   Un carreau qui convient donnerait \(\sqrt{2} = \frac{d}{c}\), avec \(c\) et \(d\) entiers : \(\sqrt{2}\) serait rationnel, ce que la question 3 exclut.

   $$ \text{faux : aucun carreau ne convient} $$

Les poteaux d'incendie de la zone d'activités

Une route rectiligne de \(4.2 \ \text{km}\) traverse une zone d'activités ; elle est repérée par l'abscisse \(x\), en mètres, de \(0\) à \(4 \ 200\). Un poteau d'incendie placé en \(a\) protège les points \(x\) de la route tels que \(|x - a| \leqslant 300\). Un premier projet place six poteaux, en \(300\), \(900\), \(1 \ 500\), \(2 \ 200\), \(2 \ 800\) et \(3 \ 500\).

1. Écrire sous forme d'intervalle la partie de la route protégée par le poteau placé en \(2 \ 200\), puis écrire la partie que ce même projet ne protège pas.

   \(|x - 2 \ 200| \leqslant 300\) signifie que \(x\) est à \(300\) au plus de \(2 \ 200\) :

   $$ \bigl[ 1 \ 900 \ ; \ 2 \ 500 \bigr] $$

   De même, les six poteaux protègent \(\bigl[ 0 \ ; \ 600 \bigr]\), \(\bigl[ 600 \ ; \ 1 \ 200 \bigr]\), \(\bigl[ 1 \ 200 \ ; \ 1 \ 800 \bigr]\), \(\bigl[ 1 \ 900 \ ; \ 2 \ 500 \bigr]\), \(\bigl[ 2 \ 500 \ ; \ 3 \ 100 \bigr]\) et \(\bigl[ 3 \ 200 \ ; \ 3 \ 800 \bigr]\). Leur réunion laisse trois trous :

   $$ \bigl] 1 \ 800 \ ; \ 1 \ 900 \bigr[ \ \cup \ \bigl] 3 \ 100 \ ; \ 3 \ 200 \bigr[ \ \cup \ \bigl] 3 \ 800 \ ; \ 4 \ 200 \bigr] $$
2. Prouver qu'il faut au moins \(7\) poteaux pour protéger toute la route, puis proposer une disposition de \(7\) poteaux qui convient.

   On range les poteaux de gauche à droite, \(a_1 < a_2 < \dots < a_n\), et on suppose que toute la route est protégée.

   Aux deux extrémités : le point \(0\) est à \(300\) au plus d'un poteau, donc du plus proche, \(a_1\) : \(a_1 \leqslant 300\). De même, le point \(4 \ 200\) impose \(a_n \geqslant 3 \ 900\).

   Entre deux poteaux voisins : si \(a_{k+1} - a_k > 600\), le point situé au milieu est à plus de \(300\) de \(a_k\) et de \(a_{k+1}\), et encore plus loin des autres poteaux : il n'est pas protégé. Donc \(a_{k+1} - a_k \leqslant 600\) pour chaque \(k\). On additionne ces \(n - 1\) inégalités :

   $$ a_n - a_1 \leqslant 600(n - 1) $$

   Or \(a_n - a_1 \geqslant 3 \ 900 - 300 = 3 \ 600\) :

   $$ 600(n - 1) \geqslant 3 \ 600 \iff n - 1 \geqslant 6 $$

   $$ n \geqslant 7 $$

   Sept poteaux suffisent : en \(300\), \(900\), \(1 \ 500\), \(2 \ 100\), \(2 \ 700\), \(3 \ 300\) et \(3 \ 900\), ils protègent \(\bigl[ 0 \ ; \ 600 \bigr]\), \(\bigl[ 600 \ ; \ 1 \ 200 \bigr]\), et ainsi de suite jusqu'à \(\bigl[ 3 \ 600 \ ; \ 4 \ 200 \bigr]\).

3. Prouver qu'avec exactement \(7\) poteaux, la disposition de la question précédente est la seule qui convienne.

   Avec \(n = 7\), les inégalités de la question 2 donnent :

   $$ 3 \ 900 \leqslant a_7 \leqslant a_1 + 3 \ 600 \leqslant 300 + 3 \ 600 = 3 \ 900 $$

   Toutes ces inégalités sont donc des égalités : \(a_7 = 3 \ 900\), \(a_1 = 300\), et la somme des six écarts vaut exactement \(3 \ 600\). Comme aucun écart ne dépasse \(600\), un écart plus petit ferait descendre la somme sous \(3 \ 600\) : les six écarts valent \(600\).

   $$ 300 \ ; \ 900 \ ; \ 1 \ 500 \ ; \ 2 \ 100 \ ; \ 2 \ 700 \ ; \ 3 \ 300 \ ; \ 3 \ 900 $$
4. Devant le dépôt de carburant, en \(2 \ 000\), un poteau existe déjà et doit être conservé. Prouver qu'il faut alors \(8\) poteaux en tout, puis trouver toutes les positions possibles du poteau qui précède celui du dépôt, dans une disposition de \(8\) poteaux.

   Au moins \(8\) poteaux : la seule disposition de \(7\) poteaux n'en place aucun en \(2 \ 000\). Plus précisément, on compte les poteaux de chaque côté du poteau du dépôt. Ceux de gauche, \(a_1 < \dots < a_p\), vérifient \(a_1 \leqslant 300\), des écarts d'au plus \(600\), et \(2 \ 000 - a_p \leqslant 600\) :

   $$ 1 \ 400 \leqslant a_p \leqslant 300 + 600(p - 1) $$

   Donc \(p \geqslant 3\). De même, les poteaux de droite, au nombre de \(q\), vérifient \(3 \ 900 \leqslant 2 \ 000 + 600q\), donc \(q \geqslant 4\). Avec le poteau du dépôt, il faut au moins \(3 + 1 + 4 = 8\) poteaux, et dans une disposition de \(8\) poteaux, \(p = 3\) et \(q = 4\).

   Le poteau qui précède celui du dépôt : c'est \(a_3\), avec \(a_3 \geqslant 1 \ 400\) et \(a_3 \leqslant a_1 + 1 \ 200 \leqslant 1 \ 500\). Réciproquement, pour tout \(t\) de \(\bigl[ 1 \ 400 \ ; \ 1 \ 500 \bigr]\), les poteaux \(t - 1 \ 200\), \(t - 600\), \(t\), \(2 \ 000\), \(2 \ 500\), \(3 \ 000\), \(3 \ 500\) et \(4 \ 000\) conviennent : le premier est entre \(200\) et \(300\), aucun écart ne dépasse \(600\), et le dernier dépasse \(3 \ 900\).

   $$ 8 \ \text{poteaux} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} a_3 \in \bigl[ 1 \ 400 \ ; \ 1 \ 500 \bigr] $$

Le record d'Usain Bolt

En \(2009\), à Berlin, Usain Bolt court le \(100 \ \text{m}\) en \(9.58 \ \text{s}\). Le chronomètre mesure la durée au millième de seconde, puis l'affiche arrondie au centième supérieur : la durée réelle \(t\) vérifie \(9.57 < t \leqslant 9.58\). Selon l'analyse vidéo, il a couru de la marque des \(60 \ \text{m}\) à celle des \(80 \ \text{m}\) en \(1.61 \ \text{s}\), à \(0.01 \ \text{s}\) près.

1. Encadrer la vitesse moyenne de Bolt sur le \(100 \ \text{m}\), en \(\text{m/s}\), puis en \(\text{km/h}\). On arrondira les bornes au centième, vers l'extérieur.

   La vitesse moyenne vaut \(v = \frac{100}{t}\). La fonction inverse est décroissante sur \(\bigl] 0 \ ; \ + \infty \bigr[\) : elle change le sens des inégalités.

   $$ 9.57 < t \leqslant 9.58 \iff \frac{100}{9.58} \leqslant \frac{100}{t} < \frac{100}{9.57} $$

   On arrondit la borne de gauche vers le bas, celle de droite vers le haut :

   $$ 10.43 < v < 10.45 \hspace{2em} \bigl[ \text{m/s} \bigr] $$

   En \(\text{km/h}\), la vitesse vaut \(3.6 \, v\) : on multiplie les membres de l'encadrement exact par \(3.6\), qui est positif, puis on arrondit de même.

   $$ 37.57 < 3.6 \, v < 37.62 \hspace{2em} \bigl[ \text{km/h} \bigr] $$
2. La durée officielle comprend le temps de réaction de Bolt au coup de pistolet, \(0.146 \ \text{s}\). Un commentateur affirme : « Sans ce temps de réaction, il a couru à plus de \(38 \ \text{km/h}\) de moyenne. » Trancher.

   On retranche \(0.146\) aux trois membres de l'encadrement, ce qui ne change pas le sens :

   $$ 9.424 < t - 0.146 \leqslant 9.434 $$

   La vitesse de course, en \(\text{km/h}\), vaut \(\frac{100}{t - 0.146} \times 3.6 = \frac{360}{t - 0.146}\) ; la fonction inverse change le sens :

   $$ \frac{360}{9.434} \leqslant \frac{360}{t - 0.146} < \frac{360}{9.424} $$

   $$ 38.15 < \frac{360}{t - 0.146} < 38.21 $$

   $$ \text{le commentateur a raison} $$
3. Encadrer la vitesse moyenne de Bolt, en \(\text{km/h}\), entre les marques des \(60 \ \text{m}\) et des \(80 \ \text{m}\). Peut-on affirmer qu'il y a dépassé \(44 \ \text{km/h}\) ? Et \(45 \ \text{km/h}\) ?

   La durée \(t'\) du tronçon vérifie \(|t' - 1.61| \leqslant 0.01\), soit \(1.60 \leqslant t' \leqslant 1.62\). La vitesse vaut \(\frac{20}{t'} \times 3.6 = \frac{72}{t'}\) :

   $$ \frac{72}{1.62} \leqslant \frac{72}{t'} \leqslant \frac{72}{1.60} $$

   $$ 44.44 \ \text{km/h} < \frac{72}{t'} \leqslant 45 \ \text{km/h} $$

   La vitesse dépasse sûrement \(44 \ \text{km/h}\). Elle ne dépasse jamais \(45 \ \text{km/h}\), qu'elle n'atteint que si \(t' = 1.60\) : on ne peut pas affirmer qu'il a dépassé \(45 \ \text{km/h}\), c'est même faux.

4. Les journaux ont annoncé \(44.72 \ \text{km/h}\), la valeur calculée avec \(1.61 \ \text{s}\). On voudrait pouvoir affirmer que Bolt a dépassé \(44.5 \ \text{km/h}\) sur ce tronçon. Déterminer les précisions \(r\) de la mesure, \(|t' - 1.61| \leqslant r\), qui le permettent.

   Si \(|t' - 1.61| \leqslant r\), la durée peut aller jusqu'à \(1.61 + r\), et la vitesse descendre jusqu'à \(\frac{72}{1.61 + r}\). On peut affirmer que Bolt a dépassé \(44.5 \ \text{km/h}\) si et seulement si cette plus petite vitesse possible dépasse \(44.5\) :

   $$ \frac{72}{1.61 + r} > 44.5 $$

   On multiplie les deux membres par \(1.61 + r\), puis on les divise par \(44.5\) : ces deux nombres sont positifs, le sens ne change pas.

   $$ \frac{72}{1.61 + r} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times (1.61 + r)} > 44.5 \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times (1.61 + r)} $$

   $$ 72 > 44.5 \times (1.61 + r) $$

   $$ \frac{72}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{44.5}} > \frac{44.5 \times (1.61 + r)}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{44.5}} $$

   $$ \frac{72}{44.5} \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{>} r \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{+ 1.61} $$

   $$ \frac{72}{44.5} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 1.61} > r $$

   $$ r < \frac{72}{44.5} - 1.61 \approx 0.007 \ 98 \ \text{s} $$

   Vérification : avec \(r = 0.007\), la vitesse vaut au moins \(\frac{72}{1.617} \approx 44.53 \ \text{km/h}\) ; avec \(r = 0.008\), elle pourrait valoir \(\frac{72}{1.618} \approx 44.499 \ \text{km/h}\).