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Les puissances et l'écriture scientifique

Puissances de \(x\)

Soit deux nombres \((x, y)\) deux réels, et \((a, b)\) deux entiers naturels.

On définit une puissance de \(x\) par :

Exemples :

1. Puissance de produit
$$ (xy)^a = \hspace{0.2em} x^a \times y^a $$

Puissance de produit

$$ (xy)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {xy \times xy \times xy \times xy \times xy ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$

Le produit de nombres étant commutatif, on a :

$$ (xy)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x\times x \times x...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {y \times y \times y \times y \times y ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$

Soit,

$$ (xy)^a = \hspace{0.2em} x^a \times y^a $$

Exemple :

$$ (3 \times 4)^2 = 12^2 = 144 $$
Et avec la formule :
$$ (3 \times 4)^2 = 3^2 \times 4^2 $$
$$ (3 \times 4)^2 = 9 \times 16 = 144 $$
2. Puissance de quotient
$$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$

Puissance de quotient

$$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {\frac{x}{y} \times \frac{x}{y} \times \frac{x}{y} \times \frac{x}{y} \times \frac{x}{y} ...} _\text{ \(a\) facteurs } \qquad (avec \ y \neq 0) $$

De la même manière que plus haut,

$$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x\times x \times x...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {\frac{1}{y} \times \frac{1}{y} \times \frac{1}{y} \times \frac{1}{y} \times \frac{1}{y} ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$

$$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = x^a \times \frac{1}{y^a} $$

Soit,

$$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$

$$ (avec \ y \neq 0) $$

Exemple :

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $$
Et avec la formule :
$$ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8} $$
3. Produit de puissances (de même base)
$$ x^a \times x^b = x^{a+b} $$

Produit de puissances (de même base)

$$ x^a \times x^b = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \times \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(b\) facteurs } $$

$$ x^a \times x^b = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ... \times \hspace{0.2em} x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \((a+b)\) facteurs } $$

Soit,

$$ x^a \times x^b = x^{a+b} $$

Exemple :

$$ 1 \ 000 \times 100 = 100 \ 000 $$
Et avec la formule :
$$ 10^3 \times 10^2 = 10^{3 + 2} = 10^5 \hspace{2em} (= 100 \ 000) $$
4. La puissance zéro
$$ x^0 = 1 $$

La puissance zéro

Avec la formule précédente du produit de puissances, on a que :

$$ x^a \times x^0 = x^{a+0} $$

$$ x^a \times x^0 = x^{a} $$

En divisant tout par \( x^a \) :

$$ \frac{x^a}{\textcolor{#6187B2}{x^a}} \times x^0 = \frac{x^a}{\textcolor{#6187B2}{x^a}} $$

Soit,

$$ x^0 = 1 $$
5. L'inverse d'une puissance
$$ x^{-1} = \frac{1}{x} $$

L'inverse d'une puissance

De manière générale, on peut écrire que pour tout nombre \(x\) :

$$ x \times \frac{1}{x} = 1 \qquad (avec \ x \neq 0) $$

Cherchons un nombre \(\textcolor{#4A8051}{n}\) correspondant à la puissance d'un inverse.

$$ x \times x^{\textcolor{#4A8051}{n}} = 1 \qquad (1) $$

Avec les formules précédentes on a vu que :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} x^a \times x^{b} = x^{a + b} \\ x^0 = 1 \end{gather*}$$

En appliquant ces deux formules dans \((1)\), on obtient :

$$ x^{1+\textcolor{#4A8051}{n}} = x^0 $$

On obtient l'équation :

$$ 1+\textcolor{#4A8051}{n} = 0 \Longrightarrow \textcolor{#4A8051}{n} = -1 $$

Soit,

$$ x^{-1} = \frac{1}{x} $$
6. Puissance de puissance
$$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$

Puissance de puissance

$$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { x^a \times x^a \times x^a \times x^a \times x^a ...} _\text{ \(b\) facteurs } $$

$$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } } _\text{ \(b \times a \) facteurs } $$

$$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x... } _\text{ \(b \times a \) facteurs } $$

Et,

$$ (x^a)^b = x^{ab} $$

Le produit de nombres étant commutatif, on a aussi :

$$ (x^b)^a = x^{ab} $$

Soit,

$$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$

Exemple :

$$ (4^2)^3 = 16^3 = 4 \ 096$$
Et avec la formule :
$$ (4^2)^3 = 4^6 = 4 \ 096$$
7. Quotient de puissances (de même base)
$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$

Quotient de puissances (de même base)

$$ \frac{x^a}{x^b} = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \times \hspace{0.2em} \underbrace {\frac{1}{x} \times \frac{1}{x} \times \frac{1}{x} \times \frac{1}{x} \times \frac{1}{x} ...} _\text{ \(b\) facteurs } $$

On réécrit les quotients sous forme de puissance :

$$ \frac{x^a}{x^b} = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \times \hspace{0.2em} \underbrace {x^{-1} \times x^{-1} \times x^{-1} \times x^{-1} \times x^{-1} ...} _\text{ \(b\) facteurs } $$

On réécrit les deux parties sous forme de puissance :

$$ \frac{x^a}{x^b} = \hspace{0.2em} x^a \times \hspace{0.2em} \left( x^{-1} \right)^b $$

Maintenant, on applique la formule de puissance de puissance :

$$ \frac{x^a}{x^b} = \hspace{0.2em} x^a \times \hspace{0.2em} x^{-b} $$

Enfin, on applique la formule du produit de puissances, et :

$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$

Exemple :

$$ \frac{1 \ 000}{100} = 10 $$
Et avec la formule :
$$ \frac{10^3}{10^2} = 10^{3 - 2} = 10^1 \hspace{2em} (= 10) $$
8. Résumé des formules
$$ \forall (x, y) \in \hspace{0.05em}\mathbb{R}^2, \ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, $$

Propriété	Condition	Formule
Puissance de produit	$$ $$	$$ (xy)^a = x^a y ^a $$
Puissance de quotient	$$ y \neq 0 $$	$$ \left( \frac{x}{y} \right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$
Produit de puissances (de même base) différentes	$$ $$	$$ x^a x^b = x^{a+b} $$
Quotient de puissances (de même base) différentes	$$ x \neq 0 $$	$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$
Puissance de puissance	$$ $$	$$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$
Nombre à la puissance zéro	$$ x \neq 0 $$	$$ x^0 = 1 $$
Inverse	$$ x \neq 0 $$	$$ \frac{1}{x} = x^{-1} $$
Inverse de puissance	$$ x \neq 0 $$	$$ \frac{1}{x^a} = x^{-a} $$

L'écriture scientifique

1. Présentation

L'écriture scientifique va permettre de faire des calculs plus facilement :

• avec de très grands nombres (astrophysique)

• avec de très petits nombres (microbiologie, physique)




Dans cette écriture, on note un nombre sous forme de nombre à virgules, multiplié par une puissance de 10.

Exemple : \(1.8 \times 10^{7}\)

$$ \underbrace{1.8} _\text{nombre \(D\)} \times \underbrace{10^{7}} _\text{puissance de \(10\)} $$



Ce nombre à virgules est toujours formé par :

• avant la virgule : un nombre décimal (positif ou négatif) \(D\) différent de 0, tel que :

$$ 1 \leqslant | D | < 10 \qquad (avec \ D \in \mathbb{Z}) $$

• après la virgule : autant de chiffres que l'on veut, en respectant la logique des chiffres significatifs (présentée au point suivant).




Exemple : la distance Terre-lune.

$$ D_{Terre-lune} = 384 \ 400 \ km $$

En écriture scientifique, on écrit :

$$ D_{Terre-lune} = 3.844 \times 10 ^5 \ km $$

Maintenant, en utilisant les unités du système international \((S.I.)\), on écrit :

$$D_{[Terre-lune]} = 3.844 \times 10 ^8 \ m $$
2. Ordre de grandeur

On appelle l'ordre de grandeur d'un nombre, la puissance de 10 qui est associée à son écriture scientifique.

3. Gestion des chiffres significatifs

Les chiffres significatifs

Les chiffres significatifs d'un nombre sont un indicateur de sa précision.

Ce sont tous les chiffres qui se situent après le dernier zéro non significatif, sachant que tous les premiers zéros sont non significatifs.

La gestion des chiffres significatifs est différent selon les deux cas suivants.

1. Addition / soustraction : \(+/-\)

Le résultat possèdera autant de chiffres après la virgule que la donnée qui en a le moins.

Exemple :

$$A = 7,56 \times 10^3 + 4,5471 \times 10^2 $$

En gardant comme puissance commune \(10^2\) :

$$A = 75,6 \times 10^2 + 4,5471 \times 10^2 $$

$$A = 80,1\textcolor{#AC6161}{471} \times 10^2 $$

$$A = 80,1\times 10^2 $$

$$A = 8,01\times 10^3 $$

2. Multiplication / division : \(\times/\div\)

Le résultat possèdera autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins.

Exemple :

$$B = 3.197 \times 10^1 \times 7.14628 \times 10^{-3} $$

$$B = 22,84\textcolor{#AC6161}{665716} \times 10^{-2} $$

$$B = 22,84 \times 10^{-2} $$

$$B = 2,284 \times 10^{-1} $$