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Les puissances et l'écriture scientifique

Les règles des puissances évitent d'écrire les facteurs un à un ; l'écriture scientifique s'en sert pour les mesures.

Une photo pèse environ \(4 \ \text{Mo}\), soit \(4 \times 10^6\) octets ; la mémoire d'un téléphone, \(128 \ \text{Go}\), soit \(1.28 \times 10^{11}\) octets. Combien de photos y tiennent ?

$$ \frac{1.28 \times 10^{11}}{4 \times 10^6} = 0.32 \times 10^5 = 3.2 \times 10^4 $$

Trente-deux mille photos : la division s'est faite sur les exposants.

L'écriture scientifique remplace les zéros par une puissance de \(10\).

Puissances de \(x\)

Soit \((x, y)\) deux réels, et \((a, b)\) deux entiers naturels.

On définit une puissance de \(x\) par :

$$ x^a = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$

Exemples :

$$ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 $$
$$ 10^2 = 10 \times 10 = 100 $$

  1. La puissance d'un produit s'écrit :

    $$ (xy)^a = \hspace{0.2em} x^a \times y^a $$

    Puissance de produit

    $$ (xy)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {xy \times xy \times xy \times xy \times xy ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$

    Par commutativité :

    $$ (xy)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x\times x \times x...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {y \times y \times y \times y \times y ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$

    Soit,

    $$ (xy)^a = \hspace{0.2em} x^a \times y^a $$

    Exemple :

    $$ (3 \times 4)^2 = 12^2 = 144 $$

    Et avec la formule :

    $$ C = (3 \times 4)^2 $$
    $$ C = 3^2 \times 4^2 $$
    $$ C = 9 \times 16 $$
    $$ C = 144 $$

  2. Pour \(y \neq 0\), la puissance d'un quotient s'écrit :

    $$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$

    Puissance de quotient

    $$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {\frac{x}{y} \times \frac{x}{y} \times \frac{x}{y} \times \frac{x}{y} \times \frac{x}{y} ...} _\text{ \(a\) facteurs } \hspace{2em} \text{avec} \ (y \neq 0) $$

    De même :

    $$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x\times x \times x...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {\frac{1}{y} \times \frac{1}{y} \times \frac{1}{y} \times \frac{1}{y} \times \frac{1}{y} ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$
    $$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = x^a \times \frac{1}{y^a} $$

    Soit,

    $$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$
    $$ \text{avec} \ (y \neq 0) $$

    Exemple :

    $$ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $$

    Et avec la formule :

    $$ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8} $$

  3. Le produit de deux puissances de même base s'écrit :

    $$ x^a \times x^b = x^{a+b} $$

    Produit de puissances (de même base)

    $$ x^a \times x^b = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \times \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(b\) facteurs } $$
    $$ x^a \times x^b = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ... \times \hspace{0.2em} x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \((a+b)\) facteurs } $$

    Soit,

    $$ x^a \times x^b = x^{a+b} $$

    Exemple :

    $$ 1 \ 000 \times 100 = 100 \ 000 $$

    Et avec la formule :

    $$ 10^3 \times 10^2 = 10^{3 + 2} = 10^5 \hspace{2em} (= 100 \ 000) $$
    De 1 à 100 000 par bonds de fois 10 : trois bonds font fois mille, deux de plus fois cent, et les cinq ensemble fois dix puissance 5
    \(1\)
    \(10\)
    \(100\)
    \(1\,000\)
    \(10\,000\)
    \(100\,000\)
    \(\times 10\)
    \(\times 10\)
    \(\times 10\)
    \(\times 10\)
    \(\times 10\)
    \(\times 10^3\)
    \(\times 10^2\)
    \(\times 10^5\)
         De 1 à 100 000 par bonds de fois 10 : trois bonds font fois mille, deux de plus fois cent, et les cinq ensemble fois dix puissance 5 - support à compléter
    \(1\)
    \(10\)
    \(100\)
    \(1\,000\)
    \(10\,000\)
    \(100\,000\)
    \(\times 10\)
    \(\times 10\)
    \(\times 10\)
    \(\times 10\)
    \(\times 10\)

  4. Pour \(x \neq 0\), la puissance zéro vaut :

    $$ x^0 = 1 $$

    La puissance zéro

    Par le produit de puissances :

    $$ x^a \times x^0 = x^{a+0} $$
    $$ x^a \times x^0 = x^{a} $$

    En divisant tout par \( x^a \) :

    $$ \frac{x^a}{\textcolor{rgb(157 171 234)}{x^a}} \times x^0 = \frac{x^a}{\textcolor{rgb(157 171 234)}{x^a}} $$

    Soit,

    $$ x^0 = 1 $$

  5. Pour \(x \neq 0\), l'inverse de \(x\) s'écrit :

    $$ x^{-1} = \frac{1}{x} $$

    L'inverse d'une puissance

    Pour tout réel \(x\) :

    $$ x \times \frac{1}{x} = 1 \hspace{2em} \text{avec} \ (x \neq 0) $$

    Cherchons \(\textcolor{rgb(93 183 129)}{n}\) tel que :

    $$ x \times x^{\textcolor{rgb(93 183 129)}{n}} = 1 \hspace{2em} (1) $$

    Or :

    $$ \Biggl \{ \begin{gather*} x^a \times x^{b} = x^{a + b} \\ x^0 = 1 \end{gather*}$$

    Dans \((1)\) :

    $$ x^{1+\textcolor{rgb(93 183 129)}{n}} = x^0 $$

    D'où :

    $$ 1+\textcolor{rgb(93 183 129)}{n} = 0 \Longrightarrow \textcolor{rgb(93 183 129)}{n} = -1 $$

    Soit,

    $$ x^{-1} = \frac{1}{x} $$

    Exemple : les puissances de \(10\), de \(10^3\) à \(10^{-2}\).

    Les puissances de 10 de mille à un centième : chaque pas vers la gauche divise par 10, et l'exposant baisse de 1 jusqu'à 0, puis devient négatif
    \(\div 10\)
    \(\div 10\)
    \(\div 10\)
    \(\div 10\)
    \(\div 10\)
    \(0.01\)
    \(10^{-2}\)
    \(0.1\)
    \(10^{-1}\)
    \(1\)
    \(10^0\)
    \(10\)
    \(10^1\)
    \(100\)
    \(10^2\)
    \(1\,000\)
    \(10^3\)
         Les puissances de 10 de mille à un centième : chaque pas vers la gauche divise par 10, et l'exposant baisse de 1 jusqu'à 0, puis devient négatif - support à compléter
    \(\div 10\)
    \(\div 10\)
    \(\div 10\)
    \(\div 10\)
    \(\div 10\)
    \(10\)
    \(10^1\)
    \(100\)
    \(10^2\)
    \(1\,000\)
    \(10^3\)

  6. La puissance d'une puissance s'écrit :

    $$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$

    Puissance de puissance

    $$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { x^a \times x^a \times x^a \times x^a \times x^a ...} _\text{ \(b\) facteurs } $$
    $$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } } _\text{ \(b \times a \) facteurs } $$
    $$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x... } _\text{ \(b \times a \) facteurs } $$

    Et,

    $$ (x^a)^b = x^{ab} $$

    Par commutativité :

    $$ (x^b)^a = x^{ab} $$

    Soit,

    $$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$

    Exemple :

    $$ (4^2)^3 = 16^3 = 4 \ 096$$

    Et avec la formule :

    $$ (4^2)^3 = 4^6 = 4 \ 096$$

  7. Pour \(x \neq 0\), le quotient de deux puissances de même base s'écrit :

    $$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$

    Quotient de puissances (de même base)

    $$ \frac{x^a}{x^b} = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \times \hspace{0.2em} \underbrace {\frac{1}{x} \times \frac{1}{x} \times \frac{1}{x} \times \frac{1}{x} \times \frac{1}{x} ...} _\text{ \(b\) facteurs } $$

    Avec \(\frac{1}{x} = x^{-1}\) :

    $$ \frac{x^a}{x^b} = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \times \hspace{0.2em} \underbrace {x^{-1} \times x^{-1} \times x^{-1} \times x^{-1} \times x^{-1} ...} _\text{ \(b\) facteurs } $$

    D'où :

    $$ \frac{x^a}{x^b} = \hspace{0.2em} x^a \times \hspace{0.2em} \left( x^{-1} \right)^b $$

    Par puissance de puissance :

    $$ \frac{x^a}{x^b} = \hspace{0.2em} x^a \times \hspace{0.2em} x^{-b} $$

    Par produit de puissances :

    $$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$

    Exemple :

    $$ \frac{1 \ 000}{100} = 10 $$

    Et avec la formule :

    $$ \frac{10^3}{10^2} = 10^{3 - 2} = 10^1 \hspace{2em} (= 10) $$
    De 1 à 1 000 par trois bonds de fois 10, puis retour de deux bonds, en divisant par 100 : on arrive à 10
    \(1\)
    \(100\)
    \(1\,000\)
    \(\times 10^3\)
    \(\div 10^2\)
    \(10\)
         De 1 à 1 000 par trois bonds de fois 10, puis retour de deux bonds, en divisant par 100 : on arrive à 10 - support à compléter
    \(1\)
    \(100\)
    \(1\,000\)
    \(\times 10^3\)
    \(10\)
  8. Résumé des formules
    $$ \forall (x, y) \in \hspace{0.05em}\mathbb{R}^2, \ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, $$
    Propriété
    Condition
    Formule
    Puissance de produit
    $$ $$
    $$ (xy)^a = x^a y ^a $$
    Puissance de quotient
    $$ y \neq 0 $$
    $$ \left( \frac{x}{y} \right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$
    Produit de puissances (de même base)
    $$ $$
    $$ x^a x^b = x^{a+b} $$
    Quotient de puissances (de même base)
    $$ x \neq 0 $$
    $$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$
    Puissance de puissance
    $$ $$
    $$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$
    Nombre à la puissance zéro
    $$ x \neq 0 $$
    $$ x^0 = 1 $$
    Inverse
    $$ x \neq 0 $$
    $$ \frac{1}{x} = x^{-1} $$
    Inverse de puissance
    $$ x \neq 0 $$
    $$ \frac{1}{x^a} = x^{-a} $$

L'écriture scientifique

  1. Présentation

    L'écriture scientifique facilite les calculs :

    • avec de très grands nombres

    • avec de très petits nombres


    Un nombre s'y écrit comme un nombre à virgule multiplié par une puissance de 10.

    Exemple : \(1.8 \times 10^{7}\)

    $$ \underbrace{1.8} _\text{nombre \(D\)} \times \underbrace{10^{7}} _\text{puissance de \(10\)} $$

    Ce nombre à virgule est formé :

    • avant la virgule : un seul chiffre différent de 0 :

      $$ 1 \leqslant |\, D \,| < 10 \hspace{2em} \text{avec} \ (D \in \mathbb{D}) $$

    • après la virgule : autant de chiffres que le permettent les chiffres significatifs.


    Exemple : la distance Terre-lune.

    $$ D_{\text{Terre}-\text{lune}} = 384 \ 400 \ \text{km} $$

    En écriture scientifique :

    $$ D_{\text{Terre}-\text{lune}} = 3.844 \times 10^5 \ \text{km} $$

    En unités du système international \((S.I.)\) :

    $$D_{[\text{Terre}-\text{lune}]} = 3.844 \times 10 ^8 \ \text{m} $$
  2. Ordre de grandeur

    L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 de son écriture scientifique.


    Exemple : la distance Terre-lune.

    $$ D_{\text{Terre}-\text{lune}} = 3.844 \times 10^\textcolor{rgb(232 124 124)}{5} \ \text{km} $$
    $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{\bigl(\text{l'ordre de grandeur est } 5 \bigr)} $$
    Une échelle des puissances de 10, de cent à cent millions de kilomètres : la distance Terre-Lune se place entre 10 puissance 5 et 10 puissance 6
    \(10^2\)
    \(10^3\)
    \(10^4\)
    \(10^5\)
    \(10^6\)
    \(10^7\)
    \(10^8\)
    \(3.844 \times 10^5 \ \text{km}\)
         Une échelle des puissances de 10, de cent à cent millions de kilomètres : la distance Terre-Lune se place entre 10 puissance 5 et 10 puissance 6 - support à compléter
    \(10^2\)
    \(10^3\)
    \(10^4\)
    \(10^5\)
    \(10^6\)
    \(10^7\)
    \(10^8\)
  3. Gestion des chiffres significatifs

    Les chiffres significatifs

    Les chiffres significatifs d'un nombre indiquent sa précision.

    Ce sont tous les chiffres à partir du premier chiffre non nul.

    Leur gestion dépend de l'opération :

    1. Addition / soustraction : \(+/-\)

      Le résultat a autant de chiffres après la virgule que la donnée qui en a le moins.

      Exemple :

      $$A = 7.56 \times 10^3 + 4.5471 \times 10^2 $$

      Avec la puissance commune \(10^2\) :

      $$A = 75.6 \times 10^2 + 4.5471 \times 10^2 $$
      $$A = 80.1\textcolor{rgb(232 124 124)}{471} \times 10^2 $$
      $$A = 80.1\times 10^2 $$
      $$A = 8.01\times 10^3 $$

    2. Multiplication / division : \(\times/\div\)

      Le résultat a autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins.

      Exemple :

      $$B = 3.197 \times 10^1 \times 7.14628 \times 10^{-3} $$
      $$B = 22.84\textcolor{rgb(232 124 124)}{665716} \times 10^{-2} $$
      $$B = 22.84 \times 10^{-2} $$
      $$B = 2.284 \times 10^{-1} $$