Problèmes sur les conversions et les puissances

Une goutte d'eau dans l'océan

L'eau des océans est estimée à environ \(1{,}4\) milliard de \(\text{km}^3\).

Une goutte d'eau représente un volume de \(0{,}001 \ \text{L}\).

1. Calculer le nombre de gouttes d'eau contenues dans les océans, en écriture scientifique.

   Mettons tout dans la même unité, le mieux est l'unité standard, le \(\text{m}^3\).

   Pour le volume total des océans, \(1 \ \text{km} = 10^3 \ \text{m}\) :

   $$ V_{\text{océans}} = 1{,}4 \times 10^{9} \ \bigl[\text{km}^3\bigr] $$

   $$ V_{\text{océans}} = 1{,}4 \times 10^{9} \times (10^3)^3 \ \bigl[\text{m}^3\bigr] $$

   $$ V_{\text{océans}} = 1{,}4 \times 10^{9} \times 10^9 \ \bigl[\text{m}^3\bigr] $$

   $$ V_{\text{océans}} = 1{,}4 \times 10^{18} \ \bigl[\text{m}^3\bigr] $$

   Pour le volume d'une goutte, \(1 \ \text{L} = 1 \ \text{dm}^3 = 10^{-3} \ \text{m}^3\) :

   $$ V_{\text{goutte}} = 1 \times 10^{-3} \ \frac{\bigl[\text{L}\bigr]}{\bigl[\text{goutte}\bigr]} $$

   $$ V_{\text{goutte}} = 1 \times 10^{-3} \times 10^{-3} \ \frac{\bigl[\text{m}^3\bigr]}{\bigl[\text{goutte}\bigr]} $$

   $$ V_{\text{goutte}} = 1 \times 10^{-6} \ \frac{\bigl[\text{m}^3\bigr]}{\bigl[\text{goutte}\bigr]} $$

   En divisant le premier résultat par le second :

   $$ N_{\text{gouttes}} = \frac{1{,}4 \times 10^{18} \ \bigl[\text{m}^3\bigr]}{1 \times 10^{-6} \ \frac{\bigl[\text{m}^3\bigr]}{\bigl[\text{goutte}\bigr]}} $$

   $$ N_{\text{gouttes}} = 1{,}4 \times 10^{18} \ \bigl[\text{m}^3\bigr] \times \frac{1}{10^{-6}} \times \frac{\bigl[\text{goutte}\bigr]}{\bigl[\text{m}^3\bigr]} $$

   $$ N_{\text{gouttes}} = 1{,}4 \times 10^{18} \ \cancel{\bigl[\text{m}^3\bigr]} \times 10^{6} \times \frac{\bigl[\text{goutte}\bigr]}{\cancel{\bigl[\text{m}^3\bigr]}} $$

   $$ N_{\text{gouttes}} = 1{,}4 \times 10^{24} \ \text{gouttes} $$

   Il y a environ \(1{,}4\) million de milliards de milliards de gouttes dans les océans.

   $$ (1{,}4 \times 10^{6} \times 10^{9} \times 10^{9}) $$

La vitesse maximale aérobie

La vitesse maximale aérobie \((VMA)\) est la vitesse de course à pied à partir de laquelle un coureur consomme son volume d'oxygène maximum \((V_{O_2}max)\). Un bon sportif peut tenir en moyenne entre \(4\) et \(6\) minutes à une telle vitesse.

On calcule la \(VMA\) par la formule suivante :

1. Lors de tests à Clairefontaine, N'Golo Kanté a enregistré une \(VMA\) proche de \(5{,}83 \ \text{m/s}\). Convertir cette vitesse en \(\text{km/h}\).

   On souhaite convertir \(5{,}83 \ \text{m/s}\) en \(\text{km/h}\). On a :

   $$ VMA_{\text{Kanté}} = \frac{5{,}83 \ \bigl[\text{m}\bigr]}{1 \ \bigl[\text{s}\bigr]} = \frac{X \ \bigl[\text{km}\bigr]}{1 \ \bigl[\text{h}\bigr]} \ ? $$

   On convertit en démarrant de ce qui est connu :

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} 1 \ \bigl[\text{km}\bigr] = 1 \ 000 \ \bigl[\text{m}\bigr] \Longleftrightarrow \frac{1}{1 \ 000} \ \bigl[\text{km}\bigr] = 1 \ \bigl[\text{m}\bigr] \\ 1 \ \bigl[\text{h}\bigr] = 3 \ 600 \ \bigl[\text{s}\bigr] \Longleftrightarrow \frac{1}{3 \ 600} \ \bigl[\text{h}\bigr] = 1 \ \bigl[\text{s}\bigr] \end{gather*} $$

   On remplace dans la formule de départ ce que valent respectivement \(1 \ \bigl[\text{m}\bigr]\) et \(1 \ \bigl[\text{s}\bigr]\) :

   $$ VMA_{\text{Kanté}} = \frac{5{,}83 \times \frac{1}{1 \ 000} \ \bigl[\text{km}\bigr]}{\frac{1}{3 \ 600} \ \bigl[\text{h}\bigr]} $$

   Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse :

   $$ VMA_{\text{Kanté}} = 5{,}83 \times \frac{1}{1 \ 000} \times 3 \ 600 \ \frac{\bigl[\text{km}\bigr]}{\bigl[\text{h}\bigr]} $$

   $$ VMA_{\text{Kanté}} = 20{,}988 \ \text{km/h} $$

   $$ VMA_{\text{Kanté}} \approx 21 \ \text{km/h} $$
2. Calculer la \(V_{O_2}max\) de ce même joueur lors de ces tests.

   À partir de la formule de départ :

   $$ VMA = \frac{V_{O_2}max}{3{,}5} $$

   On multiplie les deux membres par \(3{,}5\) :

   $$ V_{O_2}max = VMA \times 3{,}5 $$

   Soit pour Kanté :

   $$ V_{O_2}max \approx 21 \times 3{,}5 $$

   $$ V_{O_2}max \approx 73{,}5 \ \text{mL/kg/min} $$

L'année-lumière

La lumière se propage dans le vide à la vitesse de \(300 \ 000 \ 000 \ \text{m/s}\). On pourra écrire cette vitesse sous la forme scientifique :

1. Convertir cette vitesse en \(\text{km/h}\).
   $$ V_{\text{vide}} = \frac{3 \times 10^8 \ \bigl[\text{m}\bigr]}{1 \ \bigl[\text{s}\bigr]} = \frac{X \ \bigl[\text{km}\bigr]}{1 \ \bigl[\text{h}\bigr]} \ ? $$

   On convertit en partant de ce que l'on connaît, puis on ajuste :

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} 1 \ \bigl[\text{km}\bigr] = 1 \ 000 \ \bigl[\text{m}\bigr] \Longleftrightarrow \frac{1}{1 \ 000} \ \bigl[\text{km}\bigr] = 1 \ \bigl[\text{m}\bigr] \\ 1 \ \bigl[\text{h}\bigr] = 3 \ 600 \ \bigl[\text{s}\bigr] \Longleftrightarrow \frac{1}{3 \ 600} \ \bigl[\text{h}\bigr] = 1 \ \bigl[\text{s}\bigr] \end{gather*} $$

   Ensuite, on remplace :

   $$ V_{\text{vide}} = \frac{3 \times 10^8 \times \frac{1}{1 \ 000} \ \bigl[\text{km}\bigr]}{\frac{1}{3 \ 600} \ \bigl[\text{h}\bigr]} $$

   Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse :

   $$ V_{\text{vide}} = 3 \times 10^8 \times 10^{-3} \times 3{,}6 \times 10^{3} \ \frac{\bigl[\text{km}\bigr]}{\bigl[\text{h}\bigr]} $$

   $$ V_{\text{vide}} = 1{,}08 \times 10^9 \ \text{km/h} $$

   Cela correspond environ à un milliard de km/h.

2. La Lune se trouve à environ \(384 \ 400 \ \text{km}\) de la Terre. Calculer le temps que met un faisceau de lumière envoyé depuis la Terre pour arriver sur la Lune.

   On convertit d'abord la vitesse en \(\text{km/s}\) : \(3 \times 10^8 \ \text{m/s} = 3 \times 10^5 \ \text{km/s}\). On peut alors faire un produit en croix :

   $$ \frac{3 \times 10^5 \ \bigl[\text{km}\bigr]}{1 \ \bigl[\text{s}\bigr]} = \frac{384 \ 400 \ \bigl[\text{km}\bigr]}{t \ \bigl[\text{s}\bigr]} $$

   $$ t = \frac{384 \ 400}{3 \times 10^5} \ \bigl[\text{s}\bigr] $$

   $$ t \approx 1{,}28 \ \text{s} $$
3. Une année-lumière correspond à la distance parcourue par la lumière dans le vide pendant un an. Évaluer cette distance en \(\text{km}\), en comptant \(365\) jours dans une année.

   On enchaîne les conversions, en partant de la vitesse en \(\text{km/s}\) :

   $$ d_{AL} = 3 \times 10^5 \ \frac{\bigl[\text{km}\bigr]}{\bigl[\text{s}\bigr]} \times \frac{3 \ 600 \ \bigl[\text{s}\bigr]}{\bigl[\text{h}\bigr]} \times \frac{24 \ \bigl[\text{h}\bigr]}{\bigl[\text{j}\bigr]} \times \frac{365 \ \bigl[\text{j}\bigr]}{\bigl[\text{an}\bigr]} \times 1 \ \bigl[\text{an}\bigr] $$

   $$ d_{AL} = 9{,}4608 \times 10^{12} \ \text{km} $$

   $$ d_{AL} \approx 9{,}5 \times 10^{12} \ \text{km} $$

   Cela correspond environ à dix mille milliards de km.

La consommation électrique française

La consommation électrique en France est répartie par secteur de la manière suivante :

En 2020, le résidentiel et le tertiaire ne sont plus distingués : on travaille sur l'année 2019.

1. Lire sur le graphique la consommation du secteur résidentiel en 2019, puis l'écrire en \(\text{Wh}\) sous forme scientifique.

   En 2019, le secteur résidentiel va d'environ \(280 \ \text{TWh}\) à environ \(440 \ \text{TWh}\) sur le graphique :

   $$ E_{\text{résidentiel}} \approx 440 - 280 = 160 \ \text{TWh} $$

   Le préfixe « téra » vaut \(10^{12}\) :

   $$ E_{\text{résidentiel}} \approx 1{,}6 \times 10^{2} \times 10^{12} \ \text{Wh} $$

   $$ E_{\text{résidentiel}} \approx 1{,}6 \times 10^{14} \ \text{Wh} $$
2. La consommation électrique d'une personne sur une année complète est de \(2 \ 223 \ \text{kWh}\). Estimer le nombre de personnes dont ce secteur a couvert les besoins en électricité en 2019.

   Pour trouver le nombre de personnes que cela couvre, on divise la consommation du secteur par celle d'une personne :

   $$ N_{\text{personnes}} = \frac{\frac{1{,}6 \times 10^{14} \ \bigl[\text{Wh}\bigr]}{\bigl[\text{an}\bigr]}}{\frac{2{,}223 \times 10^6 \ \bigl[\text{Wh}\bigr]}{\bigl[\text{an}\bigr] \bigl[\text{personne}\bigr]}} $$

   On transforme la division en multipliant par l'inverse, et on élimine en haut et en bas ce qui est commun :

   $$ N_{\text{personnes}} = \frac{1{,}6 \times 10^{14} \ \cancel{\bigl[\text{Wh}\bigr]}}{\cancel{\bigl[\text{an}\bigr]}} \times \frac{\cancel{\bigl[\text{an}\bigr]} \bigl[\text{personne}\bigr]}{2{,}223 \times 10^6 \ \cancel{\bigl[\text{Wh}\bigr]}} $$

   $$ N_{\text{personnes}} = \frac{1{,}6}{2{,}223} \times 10^{8} \ \bigl[\text{personne}\bigr] $$

   $$ N_{\text{personnes}} \approx 7 \times 10^{7} \ \text{personnes} $$

   Soit environ \(70\) millions de personnes : c'est l'ordre de grandeur de la population française.

3. Une personne qui pédalerait pour produire sa propre électricité fournirait une puissance moyenne de \(75 \ \text{W}\) pendant \(2 \ \text{h}\). Calculer l'énergie produite, puis dire si cette personne pourrait couvrir ses besoins quotidiens en pédalant chaque jour.

   En deux heures, elle produit une énergie de :

   $$ E = 75 \ \bigl[\text{W}\bigr] \times 2 \ \bigl[\text{h}\bigr] = 150 \ \bigl[\text{Wh}\bigr] $$

   Ses besoins sont de \(2{,}223 \times 10^6 \ \text{Wh}\) à l'année, soit par jour :

   $$ \frac{2{,}223 \times 10^6}{365} \approx 6{,}1 \times 10^3 \ \text{Wh} $$

   À \(75 \ \text{W}\), le temps de pédalage nécessaire vaut :

   $$ X = \frac{6{,}1 \times 10^3 \ \bigl[\text{Wh}\bigr]}{75 \ \bigl[\text{W}\bigr]} $$

   $$ X \approx 81 \ \text{h} $$

   $$ 81 \ \text{h} > 24 \ \text{h} $$

   Il faudrait pédaler plus de trois jours pour couvrir les besoins d'une seule journée : c'est impossible.

Le temps d'une vie

Lina est née le \(4\) août \(2010\) à \(16\text{h}10\). On se place le \(14\) septembre \(2026\) à \(8\text{h}00\).

1. Calculer le nombre de secondes écoulées depuis la naissance de Lina, puis en donner l'écriture scientifique.

   - Fin de la première journée : il reste \(7\text{h}50\) pour terminer la journée. Soit :

   $$ t_1 = 7 \ \bigl[\text{h}\bigr] \times \frac{3 \ 600 \ \bigl[\text{s}\bigr]}{\bigl[\text{h}\bigr]} + 50 \ \bigl[\text{min}\bigr] \times \frac{60 \ \bigl[\text{s}\bigr]}{\bigl[\text{min}\bigr]} $$

   $$ t_1 = 28 \ 200 \ \text{s} $$

   - Fin du premier mois : il reste \(27\) jours pour terminer le mois d'août. Soit :

   Mois	Janvier	Février	Mars	Avril	Mai	Juin
   Nombre de jours	31	28	31	30	31	30

   Mois	Juillet	Août	Septembre	Octobre	Novembre	Décembre
   Nombre de jours	31	31	30	31	30	31

   $$ t_2 = 27 \ \bigl[\text{j}\bigr] \times \frac{24 \ \bigl[\text{h}\bigr]}{\bigl[\text{j}\bigr]} \times \frac{3 \ 600 \ \bigl[\text{s}\bigr]}{\bigl[\text{h}\bigr]} $$

   $$ t_2 = 2 \ 332 \ 800 \ \text{s} $$

   - Fin de la première année : il reste \(30 + 31 + 30 + 31 = 122\) jours pour terminer l'année. Soit :

   $$ t_3 = 122 \ \bigl[\text{j}\bigr] \times \frac{24 \ \bigl[\text{h}\bigr]}{\bigl[\text{j}\bigr]} \times \frac{3 \ 600 \ \bigl[\text{s}\bigr]}{\bigl[\text{h}\bigr]} $$

   $$ t_3 = 10 \ 540 \ 800 \ \text{s} $$

   - Du 1^er janvier 2011 au 1^er janvier 2026 : il s'est écoulé \(15\) ans. Soit :

   $$ t_4 = 15 \ \bigl[\text{an}\bigr] \times \frac{365 \ \bigl[\text{j}\bigr]}{\bigl[\text{an}\bigr]} \times \frac{24 \ \bigl[\text{h}\bigr]}{\bigl[\text{j}\bigr]} \times \frac{3 \ 600 \ \bigl[\text{s}\bigr]}{\bigl[\text{h}\bigr]} $$

   $$ t_4 = 473 \ 040 \ 000 \ \text{s} $$

   - Jusqu'au 14 septembre 2026, 8h00 : les huit premiers mois comptent \(243\) jours, auxquels s'ajoutent les \(13\) premiers jours de septembre, soit \(256\) jours et \(8 \ \text{h}\) :

   $$ t_5 = 256 \ \bigl[\text{j}\bigr] \times \frac{24 \ \bigl[\text{h}\bigr]}{\bigl[\text{j}\bigr]} \times \frac{3 \ 600 \ \bigl[\text{s}\bigr]}{\bigl[\text{h}\bigr]} + 8 \ \bigl[\text{h}\bigr] \times \frac{3 \ 600 \ \bigl[\text{s}\bigr]}{\bigl[\text{h}\bigr]} $$

   $$ t_5 = 22 \ 147 \ 200 \ \text{s} $$

   - Années bissextiles : il y a eu \(4\) années bissextiles (2012, 2016, 2020 et 2024). Il faut alors ajouter \(4\) jours :

   $$ t_6 = 4 \ \bigl[\text{j}\bigr] \times \frac{24 \ \bigl[\text{h}\bigr]}{\bigl[\text{j}\bigr]} \times \frac{3 \ 600 \ \bigl[\text{s}\bigr]}{\bigl[\text{h}\bigr]} $$

   $$ t_6 = 345 \ 600 \ \text{s} $$

   - Total : il se sera écoulé :

   $$ t_{\text{total}} = t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5 + t_6 $$

   $$ t_{\text{total}} = 508 \ 434 \ 600 \ \text{s} $$

   $$ t_{\text{total}} \approx 5{,}08 \times 10^{8} \ \text{s} $$

   Depuis sa naissance, il s'est écoulé environ un demi-milliard de secondes.

L'origine du jeu d'échecs

Selon la légende, l'inventeur présumé des échecs, en Inde, aurait créé ce jeu pour démontrer au roi sa faiblesse sans la présence de son entourage. Pour le remercier, le roi lui proposa de choisir sa récompense, et il demanda alors seulement quelques grains de blé...

Il invita le roi à poser un grain de blé sur la première case, puis deux sur la deuxième, puis quatre sur la troisième, et ainsi de suite en doublant à chaque fois jusqu'à la soixante-quatrième case de l'échiquier.

1. Déterminer le nombre de grains de blé posés sur la dernière case de l'échiquier, sous forme d'une puissance de \(2\), puis en donner l'ordre de grandeur.

   Case	1	2	3	4	5	6	...
   Nombre de grains	1	2	4	8	16	32	...
   Puissance de \(2\)	\(2^0\)	\(2^1\)	\(2^2\)	\(2^3\)	\(2^4\)	\(2^5\)	...

   Sur la case de rang \(k\), il y a \(2^{k-1}\) grains : l'exposant vaut un de moins que le rang de la case.

   Comme un échiquier est un carré de \(8\) cases sur \(8\) cases, il y a \(64\) cases.

   Soit en appelant \(n\) le nombre de grains de blé sur la dernière case :

   $$ n = 2^{63} \approx 9{,}2 \times 10^{18} $$

   $$ n \approx 10^{19} \ \text{grains} $$

   Cela représente environ dix milliards de milliards de grains de blé, sur la seule dernière case.

Corriger une copie

Voici les réponses d'un élève. Certaines sont fausses.

1. Pour les écritures a) et b), dire si l'égalité est juste, et corriger celles qui sont fausses.

   a) Le nombre \(0{,}000 \ 52\) est plus petit que \(1\) : son exposant est négatif. On déplace la virgule de \(4\) rangs vers la droite pour obtenir \(5{,}2\) :

   $$ 0{,}000 \ 52 = 5{,}2 \times 10^{-4} $$

   b) Le nombre \(35\) vaut \(3{,}5 \times 10^{1}\) : la puissance de \(10\) augmente d'un rang, elle ne diminue pas.

   $$ 35 \times 10^{6} = 3{,}5 \times 10^{1} \times 10^{6} $$

   $$ 35 \times 10^{6} = 3{,}5 \times 10^{7} $$

   Les deux égalités a) et b) sont fausses.

2. On passe aux calculs c) et d) : dire de même si chaque égalité est juste, et corriger celles qui sont fausses.

   c) La puissance d'un produit porte sur chacun de ses facteurs, le \(2\) compris :

   $$ (2 \times 10^{3})^2 = 2^2 \times (10^{3})^2 $$

   $$ (2 \times 10^{3})^2 = 4 \times 10^{6} $$

   d) On divise les nombres entre eux, et les puissances de \(10\) entre elles :

   $$ \frac{6 \times 10^{-2}}{3 \times 10^{-5}} = \frac{6}{3} \times 10^{-2 - (-5)} $$

   $$ \frac{6 \times 10^{-2}}{3 \times 10^{-5}} = 2 \times 10^{3} $$

   L'égalité c) est fausse, l'égalité d) est juste.

3. Un autre nombre \(N\) vérifie \(N \times 10^{-3} = 4{,}7 \times 10^{2}\). Retrouver \(N\) en écriture scientifique.

   On divise les deux membres par \(10^{-3}\) :

   $$ \frac{N \times 10^{-3}}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{10^{-3}}} = \frac{4{,}7 \times 10^{2}}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{10^{-3}}} $$

   $$ N = 4{,}7 \times 10^{2 - (-3)} $$

   $$ N = 4{,}7 \times 10^{5} $$

Les globules rouges autour de la Terre

Le corps d'un adulte contient environ \(5 \ \text{L}\) de sang, et chaque \(\text{mm}^3\) de sang contient environ \(5 \times 10^{6}\) globules rouges. Un globule rouge a la forme d'un petit disque de \(7 \times 10^{-6} \ \text{m}\) de diamètre. Le tour de la Terre mesure environ \(4 \times 10^{4} \ \text{km}\).

1. Convertir le volume de sang en \(\text{mm}^3\).

   On a \(1 \ \text{L} = 1 \ \text{dm}^3\), et \(1 \ \text{dm} = 10^{2} \ \text{mm}\), donc :

   $$ 1 \ \text{dm}^3 = (10^{2})^3 \ \text{mm}^3 = 10^{6} \ \text{mm}^3 $$

   $$ V = 5 \times 10^{6} \ \text{mm}^3 $$
2. Calculer le nombre de globules rouges contenus dans ce sang, en écriture scientifique.
   $$ N = 5 \times 10^{6} \times 5 \times 10^{6} $$

   $$ N = 25 \times 10^{12} $$

   $$ N = 2{,}5 \times 10^{13} \ \text{globules rouges} $$
3. On aligne ces globules rouges bout à bout. Dire si cette file ferait le tour de la Terre, et si oui, combien de fois.

   La longueur de la file vaut le nombre de globules multiplié par le diamètre d'un globule :

   $$ L = 2{,}5 \times 10^{13} \times 7 \times 10^{-6} \ \text{m} $$

   $$ L = 17{,}5 \times 10^{7} \ \text{m} = 1{,}75 \times 10^{8} \ \text{m} $$

   On convertit en \(\text{km}\), avec \(1 \ \text{m} = 10^{-3} \ \text{km}\), pour comparer au tour de la Terre :

   $$ L = 1{,}75 \times 10^{5} \ \text{km} $$

   $$ \frac{1{,}75 \times 10^{5}}{4 \times 10^{4}} = 0{,}4375 \times 10^{1} = 4{,}375 $$

   $$ \text{La file ferait plus de } 4 \text{ fois le tour de la Terre.} $$

Le disque dur de 1 To

Un disque dur est vendu pour \(1 \ \text{To}\), soit \(10^{12}\) octets : le fabricant, en bleu, passe d'une unité à la suivante en multipliant par \(10^3\). Branché sur un ordinateur, il n'affiche que \(931 \ \text{Go}\) : l'ordinateur, en vert, multiplie par \(2^{10} = 1 \ 024\), et compte en réalité en \(\text{Gio}\).

1. Vérifier que \(10^{12}\) octets font environ \(931 \ \text{Gio}\).

   D'après la figure, \(1 \ \text{Gio}\) vaut \(\bigl(2^{10}\bigr)^3 = 2^{30}\) octets :

   $$ \frac{10^{12}}{2^{30}} = \frac{1 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000}{1 \ 073 \ 741 \ 824} $$

   $$ 10^{12} \ \text{octets} \approx 931{,}3 \ \text{Gio} $$
2. Démontrer que \(2^{10k} = 1{,}024^k \times 10^{3k}\) pour tout entier naturel \(k\), puis compléter le tableau, où l'écart compare deux unités de même rang. Trancher : « L'écart entre les deux façons de compter ne dépasse jamais \(10 \ \%\). »

   Unités	ko et Kio	Mo et Mio	Go et Gio	To et Tio	Po et Pio
   \(k\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
   \(1{,}024^k\)	\(1{,}024 \ 0\)	..........	..........	..........	..........
   Écart	\(2{,}40 \ \%\)	..........	..........	..........	..........

   On écrit \(2^{10} = 1 \ 024 = 1{,}024 \times 10^3\), puis on applique la puissance d'une puissance et la puissance d'un produit :

   $$ 2^{10k} = \bigl(2^{10}\bigr)^k = \bigl(1{,}024 \times 10^3\bigr)^k $$

   $$ 2^{10k} = 1{,}024^k \times 10^{3k} $$

   L'unité de l'ordinateur est donc \(1{,}024^k\) fois plus grande que celle du fabricant, de même rang \(k\) :

   Unités	ko et Kio	Mo et Mio	Go et Gio	To et Tio	Po et Pio
   \(k\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
   \(1{,}024^k\)	\(1{,}024 \ 0\)	\(1{,}048 \ 6\)	\(1{,}073 \ 7\)	\(1{,}099 \ 5\)	\(1{,}125 \ 9\)
   Écart	\(2{,}40 \ \%\)	\(4{,}86 \ \%\)	\(7{,}37 \ \%\)	\(9{,}95 \ \%\)	\(12{,}59 \ \%\)

   Multiplier par \(1{,}024\), plus grand que \(1\), fait toujours grandir l'écart : il reste sous \(10 \ \%\) jusqu'au \(\text{To}\), puis le dépasse à partir du \(\text{Po}\).

   $$ \text{faux : l'écart dépasse } 10 \ \% \text{ dès le Po} $$
3. On change d'objet. Une adresse IPv6, qui repère un appareil sur Internet, s'écrit avec \(128\) chiffres binaires : il en existe \(2^{128}\). Sans calculatrice, prouver que \(2^{128}\) est compris entre \(3 \times 10^{38}\) et \(4{,}5 \times 10^{38}\). On pourra écrire \(2^{128} = 2^8 \times \bigl(2^{10}\bigr)^{12}\), et vérifier que \((1 + x)^2 \geqslant 1 + 2x\) pour tout réel \(x\).

   D'après la question 2, avec \(k = 12\) :

   $$ 2^{128} = 256 \times 1{,}024^{12} \times 10^{36} $$

   Minorer : \((1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 \geqslant 1 + 2x\). Pour \(x \geqslant 0\), les deux membres sont positifs, et la fonction carré est croissante sur les positifs : on peut élever au carré.

   $$ (1 + x)^4 \geqslant (1 + 2x)^2 \geqslant 1 + 4x \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} (1 + x)^8 \geqslant (1 + 4x)^2 \geqslant 1 + 8x $$

   On multiplie ces deux inégalités entre nombres positifs :

   $$ (1 + x)^{12} \geqslant (1 + 8x)(1 + 4x) = 1 + 12x + 32x^2 \geqslant 1 + 12x $$

   Avec \(x = 0{,}024\), \(1{,}024^{12} \geqslant 1{,}288\), et \(256 \times 1{,}288 = 329{,}728\).

   Majorer : \(1{,}024^2 = 1{,}048 \ 576 < 1{,}05\), puis \(1{,}024^4 < 1{,}05^2 = 1{,}102 \ 5 < 1{,}2\). On multiplie trois fois membre à membre cette inégalité entre nombres positifs :

   $$ 1{,}024^{12} < 1{,}2^3 = 1{,}728 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 256 \times 1{,}728 = 442{,}368 $$

   $$ 329{,}728 \times 10^{36} \leqslant 2^{128} < 442{,}368 \times 10^{36} $$

   $$ 3 \times 10^{38} < 2^{128} < 4{,}5 \times 10^{38} $$

   Vérification à la calculatrice : \(2^{128} \approx 3{,}40 \times 10^{38}\).

Le planeur de Gimli

Le \(23\) juillet \(1983\), un Boeing 767 d'Air Canada doit voler de Montréal à Edmonton avec \(22 \ 300 \ \text{kg}\) de kérosène. Ses jauges sont en panne : l'équipe au sol mesure le volume présent dans les réservoirs, puis calcule le volume à ajouter. Un litre de kérosène a une masse de \(0{,}803 \ \text{kg}\), soit \(1{,}77 \ \text{lb}\), la livre valant \(0{,}453 \ 6 \ \text{kg}\).

1. Vérifier les calculs de la fiche, puis trouver l'erreur de l'équipe.
   $$ 7 \ 682 \times 1{,}77 = 13 \ 597{,}14 $$

   $$ 22 \ 300 - 13 \ 597 = 8 \ 703 $$

   $$ 8 \ 703 \div 1{,}77 \approx 4 \ 916{,}9 $$

   Les calculs sont justes, mais \(1{,}77\) est la masse d'un litre en livres. Le produit \(7 \ 682 \times 1{,}77\) donne donc des livres, que l'équipe soustrait ensuite à des kilogrammes.

   $$ 13 \ 597 \ \text{est une masse en livres, pas en kilogrammes} $$
2. Refaire la fiche avec des unités correctes. Quel volume fallait-il ajouter ?

   On garde les kilogrammes d'un bout à l'autre, avec \(0{,}803 \ \text{kg}\) par litre :

   $$ 7 \ 682 \times 0{,}803 \approx 6 \ 169 \ \text{kg} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 22 \ 300 - 6 \ 169 = 16 \ 131 \ \text{kg} $$

   $$ 16 \ 131 \div 0{,}803 \approx 20 \ 088{,}4 \ \text{L} $$

   $$ \text{environ } 20 \ 090 \ \text{L} $$

   C'est à peu près quatre fois les \(4 \ 917 \ \text{L}\) ajoutés.

3. L'avion a décollé après l'ajout des \(4 \ 917 \ \text{L}\). Calculer la masse de kérosène à bord, en kilogrammes puis en livres, et la comparer à la masse prévue.

   Les réservoirs contenaient \(7 \ 682 + 4 \ 917 = 12 \ 599 \ \text{L}\) :

   $$ 12 \ 599 \times 0{,}803 \approx 10 \ 117 \ \text{kg} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 10 \ 117 \div 0{,}453 \ 6 \approx 22 \ 304 \ \text{lb} $$

   $$ \frac{10 \ 117}{22 \ 300} \approx 0{,}454 $$

   $$ 22 \ 300 \ \text{lb au lieu de } 22 \ 300 \ \text{kg} \text{, soit } 45 \ \% \text{ de la masse prévue} $$

   Le kérosène s'est épuisé en plein vol, et l'avion a plané jusqu'à l'ancienne base aérienne de Gimli.

4. On note \(M\) la masse prévue, \(V_0\) le volume mesuré, \(\rho\) la vraie masse volumique et \(\rho'\) le nombre utilisé à sa place. Démontrer que la fiche fait embarquer une masse \(M \times \frac{\rho}{\rho'}\), quel que soit \(V_0\). Trancher alors : « Avec des réservoirs vides au départ, l'erreur aurait été moins grave. »

   La fiche calcule la masse à bord \(\rho' V_0\), puis la masse manquante \(M - \rho' V_0\), qu'elle divise par \(\rho'\). Le volume total vaut :

   $$ V_0 + \frac{M - \rho' V_0}{\rho'} = V_0 + \frac{M}{\rho'} - V_0 = \frac{M}{\rho'} $$

   Sa vraie masse est ce volume multiplié par \(\rho\) :

   $$ m = M \times \frac{\rho}{\rho'} $$

   \(V_0\) a disparu du résultat : avec des réservoirs vides, la fiche aurait fait embarquer exactement la même masse, soit \(\frac{0{,}803}{1{,}77} \approx 0{,}454\) fois la masse prévue, comme à la question 3.

   $$ \text{faux : l'erreur ne dépend pas du volume de départ} $$