Problèmes sur les puissances et les racines carrées

Une goutte d'eau dans l'océan

L'eau des océans est estimée à environ \(1.4\) milliard de \(\text{km}^3\).

Une goutte d'eau représente un volume de \(0.001 \ \text{L}\).

1. Calculer le nombre de gouttes d'eau contenues dans les océans, en écriture scientifique.

   Mettons tout dans la même unité, le mieux est l'unité standard, le \(\text{m}^3\).

   Pour le volume total des océans, \(1 \ \text{km} = 10^3 \ \text{m}\) :

   $$ V_{\text{océans}} = 1.4 \times 10^{9} \ \bigl[\text{km}^3\bigr] $$

   $$ V_{\text{océans}} = 1.4 \times 10^{9} \times (10^3)^3 \ \bigl[\text{m}^3\bigr] $$

   $$ V_{\text{océans}} = 1.4 \times 10^{9} \times 10^9 \ \bigl[\text{m}^3\bigr] $$

   $$ V_{\text{océans}} = 1.4 \times 10^{18} \ \bigl[\text{m}^3\bigr] $$

   Pour le volume d'une goutte, \(1 \ \text{L} = 1 \ \text{dm}^3 = 10^{-3} \ \text{m}^3\) :

   $$ V_{\text{goutte}} = 1 \times 10^{-3} \ \frac{\bigl[\text{L}\bigr]}{\bigl[\text{goutte}\bigr]} $$

   $$ V_{\text{goutte}} = 1 \times 10^{-3} \times 10^{-3} \ \frac{\bigl[\text{m}^3\bigr]}{\bigl[\text{goutte}\bigr]} $$

   $$ V_{\text{goutte}} = 1 \times 10^{-6} \ \frac{\bigl[\text{m}^3\bigr]}{\bigl[\text{goutte}\bigr]} $$

   En divisant le premier résultat par le second :

   $$ N_{\text{gouttes}} = \frac{1.4 \times 10^{18} \ \bigl[\text{m}^3\bigr]}{1 \times 10^{-6} \ \frac{\bigl[\text{m}^3\bigr]}{\bigl[\text{goutte}\bigr]}} $$

   $$ N_{\text{gouttes}} = 1.4 \times 10^{18} \ \bigl[\text{m}^3\bigr] \times \frac{1}{10^{-6}} \times \frac{\bigl[\text{goutte}\bigr]}{\bigl[\text{m}^3\bigr]} $$

   $$ N_{\text{gouttes}} = 1.4 \times 10^{18} \ \cancel{\bigl[\text{m}^3\bigr]} \times 10^{6} \times \frac{\bigl[\text{goutte}\bigr]}{\cancel{\bigl[\text{m}^3\bigr]}} $$

   $$ N_{\text{gouttes}} = 1.4 \times 10^{24} \ \text{gouttes} $$

   Il y a environ \(1.4\) million de milliards de milliards de gouttes dans les océans.

   $$ (1.4 \times 10^{6} \times 10^{9} \times 10^{9}) $$

L'année-lumière

La lumière se propage dans le vide à la vitesse de \(300 \ 000 \ 000 \ \text{m/s}\). On pourra écrire cette vitesse sous la forme scientifique :

1. Convertir cette vitesse en \(\text{km/h}\).
   $$ V_{\text{vide}} = \frac{3 \times 10^8 \ \bigl[\text{m}\bigr]}{1 \ \bigl[\text{s}\bigr]} = \frac{X \ \bigl[\text{km}\bigr]}{1 \ \bigl[\text{h}\bigr]} \ ? $$

   On convertit en partant de ce que l'on connaît, puis on ajuste :

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} 1 \ \bigl[\text{km}\bigr] = 1 \ 000 \ \bigl[\text{m}\bigr] \Longleftrightarrow \frac{1}{1 \ 000} \ \bigl[\text{km}\bigr] = 1 \ \bigl[\text{m}\bigr] \\ 1 \ \bigl[\text{h}\bigr] = 3 \ 600 \ \bigl[\text{s}\bigr] \Longleftrightarrow \frac{1}{3 \ 600} \ \bigl[\text{h}\bigr] = 1 \ \bigl[\text{s}\bigr] \end{gather*} $$

   Ensuite, on remplace :

   $$ V_{\text{vide}} = \frac{3 \times 10^8 \times \frac{1}{1 \ 000} \ \bigl[\text{km}\bigr]}{\frac{1}{3 \ 600} \ \bigl[\text{h}\bigr]} $$

   Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse :

   $$ V_{\text{vide}} = 3 \times 10^8 \times 10^{-3} \times 3.6 \times 10^{3} \ \frac{\bigl[\text{km}\bigr]}{\bigl[\text{h}\bigr]} $$

   $$ V_{\text{vide}} = 1.08 \times 10^9 \ \text{km/h} $$

   Cela correspond environ à un milliard de km/h.

2. La Lune se trouve à environ \(384 \ 400 \ \text{km}\) de la Terre. Calculer le temps que met un faisceau de lumière envoyé depuis la Terre pour arriver sur la Lune.

   On convertit d'abord la vitesse en \(\text{km/s}\) : \(3 \times 10^8 \ \text{m/s} = 3 \times 10^5 \ \text{km/s}\). On peut alors faire un produit en croix :

   $$ \frac{3 \times 10^5 \ \bigl[\text{km}\bigr]}{1 \ \bigl[\text{s}\bigr]} = \frac{384 \ 400 \ \bigl[\text{km}\bigr]}{t \ \bigl[\text{s}\bigr]} $$

   $$ t = \frac{384 \ 400}{3 \times 10^5} \ \bigl[\text{s}\bigr] $$

   $$ t \approx 1.28 \ \text{s} $$
3. Une année-lumière correspond à la distance parcourue par la lumière dans le vide pendant un an. Évaluer cette distance en \(\text{km}\), en comptant \(365\) jours dans une année.

   On enchaîne les conversions, en partant de la vitesse en \(\text{km/s}\) :

   $$ d_{AL} = 3 \times 10^5 \ \frac{\bigl[\text{km}\bigr]}{\bigl[\text{s}\bigr]} \times \frac{3 \ 600 \ \bigl[\text{s}\bigr]}{\bigl[\text{h}\bigr]} \times \frac{24 \ \bigl[\text{h}\bigr]}{\bigl[\text{j}\bigr]} \times \frac{365 \ \bigl[\text{j}\bigr]}{\bigl[\text{an}\bigr]} \times 1 \ \bigl[\text{an}\bigr] $$

   $$ d_{AL} = 9.4608 \times 10^{12} \ \text{km} $$

   $$ d_{AL} \approx 9.5 \times 10^{12} \ \text{km} $$

   Cela correspond environ à dix mille milliards de km.

La consommation électrique française

La consommation électrique en France est répartie par secteur de la manière suivante :

En 2020, le résidentiel et le tertiaire ne sont plus distingués : on travaille sur l'année 2019.

1. Lire sur le graphique la consommation du secteur résidentiel en 2019, puis l'écrire en \(\text{Wh}\) sous forme scientifique.

   En 2019, le secteur résidentiel va d'environ \(280 \ \text{TWh}\) à environ \(440 \ \text{TWh}\) sur le graphique :

   $$ E_{\text{résidentiel}} \approx 440 - 280 = 160 \ \text{TWh} $$

   Le préfixe « téra » vaut \(10^{12}\) :

   $$ E_{\text{résidentiel}} \approx 1.6 \times 10^{2} \times 10^{12} \ \text{Wh} $$

   $$ E_{\text{résidentiel}} \approx 1.6 \times 10^{14} \ \text{Wh} $$
2. La consommation électrique d'une personne sur une année complète est de \(2 \ 223 \ \text{kWh}\). Estimer le nombre de personnes dont ce secteur a couvert les besoins en électricité en 2019.

   Pour trouver le nombre de personnes que cela couvre, on divise la consommation du secteur par celle d'une personne :

   $$ N_{\text{personnes}} = \frac{\frac{1.6 \times 10^{14} \ \bigl[\text{Wh}\bigr]}{\bigl[\text{an}\bigr]}}{\frac{2.223 \times 10^6 \ \bigl[\text{Wh}\bigr]}{\bigl[\text{an}\bigr] \bigl[\text{personne}\bigr]}} $$

   On transforme la division en multipliant par l'inverse, et on élimine en haut et en bas ce qui est commun :

   $$ N_{\text{personnes}} = \frac{1.6 \times 10^{14} \ \cancel{\bigl[\text{Wh}\bigr]}}{\cancel{\bigl[\text{an}\bigr]}} \times \frac{\cancel{\bigl[\text{an}\bigr]} \bigl[\text{personne}\bigr]}{2.223 \times 10^6 \ \cancel{\bigl[\text{Wh}\bigr]}} $$

   $$ N_{\text{personnes}} = \frac{1.6}{2.223} \times 10^{8} \ \bigl[\text{personne}\bigr] $$

   $$ N_{\text{personnes}} \approx 7 \times 10^{7} \ \text{personnes} $$

   Soit environ \(70\) millions de personnes : c'est l'ordre de grandeur de la population française.

3. On passe du secteur entier à une seule personne. Une personne qui pédalerait pour produire sa propre électricité fournirait une puissance moyenne de \(75 \ \text{W}\) pendant \(2 \ \text{h}\). Calculer l'énergie produite, puis dire si cette personne pourrait couvrir ses besoins quotidiens en pédalant chaque jour.

   En deux heures, elle produit une énergie de :

   $$ E = 75 \ \bigl[\text{W}\bigr] \times 2 \ \bigl[\text{h}\bigr] = 150 \ \bigl[\text{Wh}\bigr] $$

   Ses besoins sont de \(2.223 \times 10^6 \ \text{Wh}\) à l'année, soit par jour :

   $$ \frac{2.223 \times 10^6}{365} \approx 6.1 \times 10^3 \ \text{Wh} $$

   À \(75 \ \text{W}\), le temps de pédalage nécessaire vaut :

   $$ X = \frac{6.1 \times 10^3 \ \bigl[\text{Wh}\bigr]}{75 \ \bigl[\text{W}\bigr]} $$

   $$ X \approx 81 \ \text{h} $$

   $$ 81 \ \text{h} > 24 \ \text{h} $$

   Il faudrait pédaler plus de trois jours pour couvrir les besoins d'une seule journée : c'est impossible.

Le temps d'une vie

Lina est née le \(4\) août \(2010\). On compte \(365\) jours dans une année.

1. Calculer le nombre de secondes d'une année, puis l'écrire en écriture scientifique.

   On enchaîne les conversions, des jours aux secondes :

   $$ t_{\text{an}} = 365 \ \bigl[\text{j}\bigr] \times \frac{24 \ \bigl[\text{h}\bigr]}{\bigl[\text{j}\bigr]} \times \frac{3 \ 600 \ \bigl[\text{s}\bigr]}{\bigl[\text{h}\bigr]} $$

   $$ t_{\text{an}} = 31 \ 536 \ 000 \ \text{s} $$

   $$ t_{\text{an}} = 3.153 \ 6 \times 10^{7} \ \text{s} $$
2. Lina fêtera son milliard de secondes, soit \(10^{9} \ \text{s}\) après sa naissance. Calculer l'âge qu'elle aura ce jour-là, en années entières.

   On divise cette durée par celle d'une année :

   $$ \frac{10^{9}}{3.153 \ 6 \times 10^{7}} = \frac{1}{3.153 \ 6} \times 10^{9 - 7} $$

   $$ \frac{10^{9}}{3.153 \ 6 \times 10^{7}} \approx 0.317 \times 10^{2} \approx 31.7 $$

   $$ 31 \ \text{ans} $$

   Lina fêtera son milliard de secondes en \(2042\).

3. On passe à une vie entière. Trancher : « Une vie de \(80\) ans dure plus de trois milliards de secondes. »
   $$ 80 \times 3.153 \ 6 \times 10^{7} = 252.288 \times 10^{7} $$

   $$ 80 \times 3.153 \ 6 \times 10^{7} \approx 2.52 \times 10^{9} \ \text{s} $$

   Les \(20\) jours des années bissextiles n'ajoutent qu'environ \(1.7 \times 10^{6} \ \text{s}\) :

   $$ \text{faux : environ } 2.5 \times 10^{9} \ \text{s} $$

L'origine du jeu d'échecs

Selon la légende, l'inventeur présumé des échecs, en Inde, aurait créé ce jeu pour démontrer au roi sa faiblesse sans la présence de son entourage. Pour le remercier, le roi lui proposa de choisir sa récompense, et il demanda alors seulement quelques grains de blé...

Il invita le roi à poser un grain de blé sur la première case, puis deux sur la deuxième, puis quatre sur la troisième, et ainsi de suite en doublant à chaque fois jusqu'à la soixante-quatrième case de l'échiquier.

1. Déterminer le nombre de grains de blé posés sur la dernière case de l'échiquier, sous forme d'une puissance de \(2\), puis en donner l'ordre de grandeur.

   Case	1	2	3	4	5	6	...
   Nombre de grains	1	2	4	8	16	32	...
   Puissance de \(2\)	\(2^0\)	\(2^1\)	\(2^2\)	\(2^3\)	\(2^4\)	\(2^5\)	...

   Sur la case de rang \(k\), il y a \(2^{k-1}\) grains : l'exposant vaut un de moins que le rang de la case.

   Comme un échiquier est un carré de \(8\) cases sur \(8\) cases, il y a \(64\) cases.

   Soit en appelant \(n\) le nombre de grains de blé sur la dernière case :

   $$ n = 2^{63} \approx 9.2 \times 10^{18} $$

   $$ n \approx 10^{19} \ \text{grains} $$

   Cela représente environ dix milliards de milliards de grains de blé, sur la seule dernière case.

2. On compte maintenant tous les grains de l'échiquier. Leur nombre total vaut :
   $$ S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + \ldots + 2^{63} $$
   Calculer \(2S - S\), puis en déduire \(S\) sous la forme d'une puissance de \(2\) diminuée de \(1\).

   Multiplier par \(2\) augmente chaque exposant de \(1\) :

   $$ 2S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{64} $$

   Dans la différence, tous les termes de \(2^1\) à \(2^{63}\) s'éliminent :

   $$ 2S - S = 2^{64} - 2^0 $$

   $$ S = 2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19} \ \text{grains} $$
3. On reste sur ce total. Un grain de blé pèse environ \(0.05 \ \text{g}\), et le monde récolte environ \(8 \times 10^{8} \ \text{t}\) de blé par an. Trancher : « Une année de récolte mondiale suffirait à payer l'inventeur. »

   La masse totale, en grammes, puis en tonnes avec \(1 \ \text{t} = 10^{6} \ \text{g}\) :

   $$ M = 1.8 \times 10^{19} \times 5 \times 10^{-2} = 9 \times 10^{17} \ \text{g} $$

   $$ M = 9 \times 10^{11} \ \text{t} $$

   On la compare à une récolte annuelle :

   $$ \frac{9 \times 10^{11}}{8 \times 10^{8}} \approx 1.1 \times 10^{3} $$

   $$ \text{faux : il faudrait plus de mille ans de récolte} $$

La datation au carbone 14

À la mort d'un être vivant, le carbone 14 qu'il contient se désintègre : sa quantité est divisée par \(2\) tous les \(5 \ 730\) ans environ. Cette durée s'appelle la demi-vie.

1. Justifier qu'au bout de \(n\) demi-vies, il reste la fraction \(2^{-n}\) du carbone 14 de départ, puis la calculer pour \(n = 3\), en écriture décimale.

   Chaque demi-vie multiplie la quantité par \(\frac{1}{2}\). Au bout de \(n\) demi-vies :

   $$ \underbrace{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \ldots \times \frac{1}{2}}_\text{\(n\) facteurs} = \frac{1}{2^n} = 2^{-n} $$

   $$ 2^{-3} = \frac{1}{8} = 0.125 $$
2. Les appareils ne mesurent plus le carbone 14 quand il en reste moins d'un millième. Le programme suivant cherche le nombre de demi-vies au bout duquel on passe sous ce seuil. Compléter la ligne 3, puis donner la valeur affichée, en la justifiant par les puissances de \(2\).

   n = 0
   fraction = 1
   while ......................:
       fraction = fraction / 2
       n = n + 1
   print(n)

   La boucle tourne tant que la fraction n'est pas passée sous \(0.001\) :

   while fraction >= 0.001:

   Après \(9\) demi-vies, puis après \(10\) :

   $$ 2^{-9} = \frac{1}{512} > \frac{1}{1 \ 000} \quad \text{et} \quad 2^{-10} = \frac{1}{1 \ 024} < \frac{1}{1 \ 000} $$

   $$ \text{le programme affiche } 10 $$
3. En déduire l'âge au-delà duquel le carbone 14 ne date plus un objet.
   $$ 10 \times 5 \ 730 = 57 \ 300 $$

   $$ \text{environ } 5.7 \times 10^{4} \ \text{ans} $$

Corriger une copie

Voici les réponses d'un élève. Certaines sont fausses.

1. Pour les écritures a) et b), dire si l'égalité est juste, et corriger celles qui sont fausses.

   a) Le nombre \(0.000 \ 52\) est plus petit que \(1\) : son exposant est négatif. On déplace la virgule de \(4\) rangs vers la droite pour obtenir \(5.2\) :

   $$ 0.000 \ 52 = 5.2 \times 10^{-4} $$

   b) Le nombre \(35\) vaut \(3.5 \times 10^{1}\) : la puissance de \(10\) augmente d'un rang, elle ne diminue pas.

   $$ 35 \times 10^{6} = 3.5 \times 10^{1} \times 10^{6} $$

   $$ 35 \times 10^{6} = 3.5 \times 10^{7} $$

   Les deux égalités a) et b) sont fausses.

2. On passe aux calculs c) et d) : dire de même si chaque égalité est juste, et corriger celles qui sont fausses.

   c) La puissance d'un produit porte sur chacun de ses facteurs, le \(2\) compris :

   $$ (2 \times 10^{3})^2 = 2^2 \times (10^{3})^2 $$

   $$ (2 \times 10^{3})^2 = 4 \times 10^{6} $$

   d) On divise les nombres entre eux, et les puissances de \(10\) entre elles :

   $$ \frac{6 \times 10^{-2}}{3 \times 10^{-5}} = \frac{6}{3} \times 10^{-2 - (-5)} $$

   $$ \frac{6 \times 10^{-2}}{3 \times 10^{-5}} = 2 \times 10^{3} $$

   L'égalité c) est fausse, l'égalité d) est juste.

3. Un autre nombre \(N\) vérifie \(N \times 10^{-3} = 4.7 \times 10^{2}\). Retrouver \(N\) en écriture scientifique.

   On divise les deux membres par \(10^{-3}\) :

   $$ \frac{N \times 10^{-3}}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{10^{-3}}} = \frac{4.7 \times 10^{2}}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{10^{-3}}} $$

   $$ N = 4.7 \times 10^{2 - (-3)} $$

   $$ N = 4.7 \times 10^{5} $$

Les globules rouges autour de la Terre

Le corps d'un adulte contient environ \(5 \ \text{L}\) de sang, et chaque \(\text{mm}^3\) de sang contient environ \(5 \times 10^{6}\) globules rouges. Un globule rouge a la forme d'un petit disque de \(7 \times 10^{-6} \ \text{m}\) de diamètre. Le tour de la Terre mesure environ \(4 \times 10^{4} \ \text{km}\).

1. Convertir le volume de sang en \(\text{mm}^3\).

   On a \(1 \ \text{L} = 1 \ \text{dm}^3\), et \(1 \ \text{dm} = 10^{2} \ \text{mm}\), donc :

   $$ 1 \ \text{dm}^3 = (10^{2})^3 \ \text{mm}^3 = 10^{6} \ \text{mm}^3 $$

   $$ V = 5 \times 10^{6} \ \text{mm}^3 $$
2. Calculer le nombre de globules rouges contenus dans ce sang, en écriture scientifique.
   $$ N = 5 \times 10^{6} \times 5 \times 10^{6} $$

   $$ N = 25 \times 10^{12} $$

   $$ N = 2.5 \times 10^{13} \ \text{globules rouges} $$
3. On aligne ces globules rouges bout à bout. Dire si cette file ferait le tour de la Terre, et si oui, combien de fois.

   La longueur de la file vaut le nombre de globules multiplié par le diamètre d'un globule :

   $$ L = 2.5 \times 10^{13} \times 7 \times 10^{-6} \ \text{m} $$

   $$ L = 17.5 \times 10^{7} \ \text{m} = 1.75 \times 10^{8} \ \text{m} $$

   On convertit en \(\text{km}\), avec \(1 \ \text{m} = 10^{-3} \ \text{km}\), pour comparer au tour de la Terre :

   $$ L = 1.75 \times 10^{5} \ \text{km} $$

   $$ \frac{1.75 \times 10^{5}}{4 \times 10^{4}} = 0.4375 \times 10^{1} = 4.375 $$

   $$ \text{La file ferait plus de } 4 \text{ fois le tour de la Terre.} $$

La frise de carrés

Trois carrés d'aires \(8 \ \text{cm}^2\), \(18 \ \text{cm}^2\) et \(50 \ \text{cm}^2\) sont posés côte à côte, alignés par leur base. On note \(L\) la longueur de la frise.

1. Écrire le côté de chaque carré sous la forme \(a\sqrt{2}\), avec \(a\) entier.

   On fait apparaître un carré parfait sous chaque racine :

   $$ \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} $$

   $$ \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} $$

   $$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} $$
2. On reste sur la frise. En déduire sa longueur \(L\) sous la même forme, puis en donner une valeur approchée au millimètre.
   $$ L = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} $$

   $$ L = 10\sqrt{2} \approx 14.1 \ \text{cm} $$
3. Paul remplace les trois carrés par un seul, d'aire \(8 + 18 + 50 = 76 \ \text{cm}^2\). Il affirme que son côté mesure \(L\). Trancher.

   Un carré de côté \(L\) aurait pour aire :

   $$ L^2 = \bigl(10\sqrt{2}\bigr)^2 = 100 \times 2 = 200 \ \text{cm}^2 $$

   Or \(200 \neq 76\) : le côté du carré de Paul vaut \(\sqrt{76} \approx 8.7 \ \text{cm}\).

   $$ \text{faux : } \sqrt{8 + 18 + 50} \neq \sqrt{8} + \sqrt{18} + \sqrt{50} $$

Le format A4

Une feuille A3, pliée en deux, donne deux feuilles A4 de même forme : le rapport de la longueur à la largeur ne change pas. On note \(L\) la longueur et \(l\) la largeur de la feuille A3.

1. Traduire l'égalité des rapports des deux feuilles, puis démontrer que \(L^2 = 2l^2\).

   La feuille A4 a pour longueur \(l\) et pour largeur \(\frac{L}{2}\) :

   $$ \frac{L}{l} = \frac{l}{\frac{L}{2}} = \frac{2l}{L} $$

   Par produit en croix :

   $$ L^2 = 2l^2 $$
2. En déduire que \(L = l\sqrt{2}\).

   \(L\) est positif : c'est la racine carrée de \(2l^2\).

   $$ L = \sqrt{2l^2} = \sqrt{2} \times \sqrt{l^2} $$

   Comme \(l\) est positif, \(\sqrt{l^2} = l\) :

   $$ L = l\sqrt{2} $$
3. On passe à une vraie feuille A4, de \(21 \ \text{cm}\) sur \(29.7 \ \text{cm}\). Vérifier qu'elle respecte ce rapport, au millième près.
   $$ \frac{29.7}{21} \approx 1.414 \quad \text{et} \quad \sqrt{2} \approx 1.414 $$

   $$ \frac{29.7}{21} \approx \sqrt{2} $$
4. On reste sur cette feuille A4, dont on prend la longueur égale à \(21\sqrt{2} \ \text{cm}\). Démontrer que sa diagonale mesure \(21\sqrt{3} \ \text{cm}\), puis en donner une valeur approchée au millimètre.

   D'après le théorème de Pythagore, dans le triangle rectangle formé par deux côtés et la diagonale \(d\) :

   $$ d^2 = 21^2 + \bigl(21\sqrt{2}\bigr)^2 = 441 + 441 \times 2 = 3 \times 441 $$

   $$ d = \sqrt{3} \times \sqrt{441} $$

   $$ d = 21\sqrt{3} \approx 36.4 \ \text{cm} $$

Le pendule de Foucault

En \(1851\), Léon Foucault suspend sous la coupole du Panthéon, à Paris, un pendule de \(67 \ \text{m}\) de long. La durée d'un aller-retour, appelée période, vaut en secondes :

où \(L\) est la longueur du pendule en mètres, et \(g = 9.81 \ \text{m/s}^2\).

1. Calculer la période du pendule du Panthéon, au dixième de seconde.
   $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{67}{9.81}} $$

   $$ T \approx 16.4 \ \text{s} $$
2. On quitte le Panthéon pour un pendule quelconque. Trancher : « Un pendule quatre fois plus long a une période quatre fois plus longue. »

   Un pendule de longueur \(4L\) a pour période :

   $$ T' = 2\pi \sqrt{\frac{4L}{g}} = 2\pi \times \sqrt{4} \times \sqrt{\frac{L}{g}} $$

   $$ T' = 2 \times 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = 2T $$

   $$ \text{faux : la période est multipliée par } 2 $$

   Pour doubler la période, il faut quadrupler la longueur.

3. On fait le chemin inverse : partir de la période pour trouver la longueur. Exprimer \(L\) en fonction de \(T\) et de \(g\), puis calculer la longueur d'un pendule qui bat la seconde, c'est-à-dire de période \(2 \ \text{s}\), au centimètre.

   On isole la racine, puis on élève au carré les deux membres, qui sont positifs :

   $$ \frac{T}{2\pi} = \sqrt{\frac{L}{g}} $$

   $$ \frac{T^2}{4\pi^2} = \frac{L}{g} $$

   $$ L = \frac{g T^2}{4\pi^2} $$

   $$ L = \frac{9.81 \times 2^2}{4\pi^2} = \frac{9.81}{\pi^2} $$

   $$ L \approx 0.99 \ \text{m} $$

Une simplification trop rapide

Pour tout réel \(x\), on pose :

Un élève simplifie en \(f(x) = x - 3\).

1. Calculer \(f(1)\) avec l'expression de départ, puis avec celle de l'élève. Conclure.
   $$ f(1) = \sqrt{1 - 6 + 9} = \sqrt{4} = 2 $$

   $$ 1 - 3 = - 2 $$

   Les deux résultats diffèrent :

   $$ \text{la simplification de l'élève est fausse} $$
2. Développer \((x - 3)^2\), puis démontrer que \(f(x) = |\, x - 3 \,|\) pour tout réel \(x\).
   $$ (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 $$

   La racine d'un carré est la valeur absolue du nombre :

   $$ f(x) = \sqrt{(x - 3)^2} $$

   $$ f(x) = |\, x - 3 \,| $$
3. On garde cette écriture. Donner les réels \(x\) pour lesquels l'élève avait raison.

   Une valeur absolue vaut le nombre lui-même quand ce nombre est positif :

   $$ |\, x - 3 \,| = x - 3 \Longleftrightarrow x - 3 \geqslant 0 $$

   $$ x \geqslant 3 $$
4. Résoudre l'équation \(f(x) = 2\).

   \(|\, x - 3 \,| = 2\) : la distance de \(x\) à \(3\) vaut \(2\).

   $$ x = 3 - 2 \quad \text{ou} \quad x = 3 + 2 $$

   $$ \mathcal{S} = \Bigl\{ 1 \ ; \ 5 \Bigr\} $$

Le disque dur de 1 To

Un disque dur est vendu pour \(1 \ \text{To}\), soit \(10^{12}\) octets : le fabricant, en bleu, passe d'une unité à la suivante en multipliant par \(10^3\). Branché sur un ordinateur, il n'affiche que \(931 \ \text{Go}\) : l'ordinateur, en vert, multiplie par \(2^{10} = 1 \ 024\), et compte en réalité en \(\text{Gio}\).

1. Vérifier que \(10^{12}\) octets font environ \(931 \ \text{Gio}\).

   D'après la figure, \(1 \ \text{Gio}\) vaut \(\bigl(2^{10}\bigr)^3 = 2^{30}\) octets :

   $$ \frac{10^{12}}{2^{30}} = \frac{1 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000}{1 \ 073 \ 741 \ 824} $$

   $$ 10^{12} \ \text{octets} \approx 931.3 \ \text{Gio} $$
2. Démontrer que \(2^{10k} = 1.024^k \times 10^{3k}\) pour tout entier naturel \(k\), puis compléter le tableau, où l'écart compare deux unités de même rang. Trancher : « L'écart entre les deux façons de compter ne dépasse jamais \(10 \ \%\). »

   Unités	ko et Kio	Mo et Mio	Go et Gio	To et Tio	Po et Pio
   \(k\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
   \(1.024^k\)	\(1.024 \ 0\)	..........	..........	..........	..........
   Écart	\(2.40 \ \%\)	..........	..........	..........	..........

   On écrit \(2^{10} = 1 \ 024 = 1.024 \times 10^3\), puis on applique la puissance d'une puissance et la puissance d'un produit :

   $$ 2^{10k} = \bigl(2^{10}\bigr)^k = \bigl(1.024 \times 10^3\bigr)^k $$

   $$ 2^{10k} = 1.024^k \times 10^{3k} $$

   L'unité de l'ordinateur est donc \(1.024^k\) fois plus grande que celle du fabricant, de même rang \(k\) :

   Unités	ko et Kio	Mo et Mio	Go et Gio	To et Tio	Po et Pio
   \(k\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
   \(1.024^k\)	\(1.024 \ 0\)	\(1.048 \ 6\)	\(1.073 \ 7\)	\(1.099 \ 5\)	\(1.125 \ 9\)
   Écart	\(2.40 \ \%\)	\(4.86 \ \%\)	\(7.37 \ \%\)	\(9.95 \ \%\)	\(12.59 \ \%\)

   Multiplier par \(1.024\), plus grand que \(1\), fait toujours grandir l'écart : il reste sous \(10 \ \%\) jusqu'au \(\text{To}\), puis le dépasse à partir du \(\text{Po}\).

   $$ \text{faux : l'écart dépasse } 10 \ \% \text{ dès le Po} $$
3. On change d'objet. Une adresse IPv6, qui repère un appareil sur Internet, s'écrit avec \(128\) chiffres binaires : il en existe \(2^{128}\). Sans calculatrice, prouver que \(2^{128}\) est compris entre \(3 \times 10^{38}\) et \(4.5 \times 10^{38}\). On pourra écrire \(2^{128} = 2^8 \times \bigl(2^{10}\bigr)^{12}\), et vérifier que \((1 + x)^2 \geqslant 1 + 2x\) pour tout réel \(x\).

   D'après la question 2, avec \(k = 12\) :

   $$ 2^{128} = 256 \times 1.024^{12} \times 10^{36} $$

   Minorer : \((1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 \geqslant 1 + 2x\). Pour \(x \geqslant 0\), les deux membres sont positifs, et la fonction carré est croissante sur les positifs : on peut élever au carré.

   $$ (1 + x)^4 \geqslant (1 + 2x)^2 \geqslant 1 + 4x \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} (1 + x)^8 \geqslant (1 + 4x)^2 \geqslant 1 + 8x $$

   On multiplie ces deux inégalités entre nombres positifs :

   $$ (1 + x)^{12} \geqslant (1 + 8x)(1 + 4x) = 1 + 12x + 32x^2 \geqslant 1 + 12x $$

   Avec \(x = 0.024\), \(1.024^{12} \geqslant 1.288\), et \(256 \times 1.288 = 329.728\).

   Majorer : \(1.024^2 = 1.048 \ 576 < 1.05\), puis \(1.024^4 < 1.05^2 = 1.102 \ 5 < 1.2\). On multiplie trois fois membre à membre cette inégalité entre nombres positifs :

   $$ 1.024^{12} < 1.2^3 = 1.728 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 256 \times 1.728 = 442.368 $$

   $$ 329.728 \times 10^{36} \leqslant 2^{128} < 442.368 \times 10^{36} $$

   $$ 3 \times 10^{38} < 2^{128} < 4.5 \times 10^{38} $$

   Vérification à la calculatrice : \(2^{128} \approx 3.40 \times 10^{38}\).

La balance faussée

Une balance à deux plateaux a des bras de longueurs \(g\) et \(d\) différentes. Un sac de farine posé sur le plateau de gauche est équilibré par \(1.6 \ \text{kg}\) ; posé sur le plateau de droite, par \(2.5 \ \text{kg}\).

À l'équilibre, chaque masse multipliée par la longueur de son bras donne le même produit des deux côtés.

1. On note \(m\) la masse du sac. Écrire les deux égalités d'équilibre, puis démontrer que \(m^2 = 1.6 \times 2.5\), en les multipliant membre à membre. En déduire \(m\).
   $$ \begin{cases} m \times g = 1.6 \times d \\ m \times d = 2.5 \times g \end{cases} $$

   En multipliant membre à membre :

   $$ m^2 \times g d = 1.6 \times 2.5 \times g d $$

   On divise par \(g d\), non nul :

   $$ m^2 = 1.6 \times 2.5 = 4 $$

   \(m\) est positif :

   $$ m = \sqrt{4} = 2 \ \text{kg} $$
2. On passe au cas général. Un objet de masse \(M\) est équilibré par une masse \(p\) quand il est à gauche, et par une masse \(q\) quand il est à droite. Démontrer que \(M = \sqrt{p} \times \sqrt{q}\).

   Le même calcul, avec \(p\) et \(q\) à la place de \(1.6\) et \(2.5\), donne \(M^2 = pq\). Comme \(M\) est positif :

   $$ M = \sqrt{pq} $$

   $$ M = \sqrt{p} \times \sqrt{q} $$
3. On reste sur ce cas général, du côté du prix : le marchand fait payer la moyenne des deux pesées, \(\frac{p + q}{2}\). Démontrer que :
   $$ \frac{p + q}{2} - \sqrt{pq} = \frac{\bigl(\sqrt{p} - \sqrt{q}\bigr)^2}{2} $$
   Trancher alors : « Avec ce calcul, le client ne paie jamais moins que ce qu'il emporte. »

   On développe le carré, avec \(\bigl(\sqrt{p}\bigr)^2 = p\) et \(\sqrt{p} \times \sqrt{q} = \sqrt{pq}\) :

   $$ \bigl(\sqrt{p} - \sqrt{q}\bigr)^2 = p - 2\sqrt{pq} + q $$

   En divisant par \(2\) :

   $$ \frac{\bigl(\sqrt{p} - \sqrt{q}\bigr)^2}{2} = \frac{p + q}{2} - \sqrt{pq} $$

   Un carré est positif, donc \(\frac{p + q}{2} \geqslant \sqrt{pq}\) : la moyenne vaut au moins la vraie masse. Pour le sac, \(2.05 \ \text{kg}\) au lieu de \(2 \ \text{kg}\).

   $$ \text{vrai : il paie trop, sauf si } p = q $$