Les puissances et les racines carrées

Puissances de \(x\)

Soit \((x, y)\) deux réels, et \((a, b)\) deux entiers naturels.

On définit une puissance de \(x\) par :

Exemples :

1. La puissance d'un produit s'écrit :

   $$ (xy)^a = \hspace{0.2em} x^a \times y^a $$

   Puissance de produit

   $$ (xy)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {xy \times xy \times xy \times xy \times xy ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$

   Par commutativité :

   $$ (xy)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x\times x \times x...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {y \times y \times y \times y \times y ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$

   Soit,

   $$ (xy)^a = \hspace{0.2em} x^a \times y^a $$

   Exemple :

   $$ (3 \times 4)^2 = 12^2 = 144 $$

   Et avec la formule :

   $$ C = (3 \times 4)^2 $$

   $$ C = 3^2 \times 4^2 $$

   $$ C = 9 \times 16 $$

   $$ C = 144 $$

2. Pour \(y \neq 0\), la puissance d'un quotient s'écrit :

   $$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$

   Puissance de quotient

   $$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {\frac{x}{y} \times \frac{x}{y} \times \frac{x}{y} \times \frac{x}{y} \times \frac{x}{y} ...} _\text{ \(a\) facteurs } \hspace{2em} \text{avec} \ (y \neq 0) $$

   De même :

   $$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x\times x \times x...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {\frac{1}{y} \times \frac{1}{y} \times \frac{1}{y} \times \frac{1}{y} \times \frac{1}{y} ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$

   $$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = x^a \times \frac{1}{y^a} $$

   Soit,

   $$ \left(\frac{x}{y} \right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$

   $$ \text{avec} \ (y \neq 0) $$

   Exemple :

   $$ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $$

   Et avec la formule :

   $$ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8} $$

3. Le produit de deux puissances de même base s'écrit :

   $$ x^a \times x^b = x^{a+b} $$

   Produit de puissances (de même base)

   $$ x^a \times x^b = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \times \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(b\) facteurs } $$

   $$ x^a \times x^b = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ... \times \hspace{0.2em} x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \((a+b)\) facteurs } $$

   Soit,

   $$ x^a \times x^b = x^{a+b} $$

   Exemple :

   $$ 1 \ 000 \times 100 = 100 \ 000 $$

   Et avec la formule :

   $$ 10^3 \times 10^2 = 10^{3 + 2} = 10^5 \hspace{2em} (= 100 \ 000) $$

4. Pour \(x \neq 0\), la puissance zéro vaut :

   $$ x^0 = 1 $$

   La puissance zéro

   Par le produit de puissances :

   $$ x^a \times x^0 = x^{a+0} $$

   $$ x^a \times x^0 = x^{a} $$

   En divisant tout par \( x^a \) :

   $$ \frac{x^a}{\textcolor{rgb(157 171 234)}{x^a}} \times x^0 = \frac{x^a}{\textcolor{rgb(157 171 234)}{x^a}} $$

   Soit,

   $$ x^0 = 1 $$

5. Pour \(x \neq 0\), l'inverse de \(x\) s'écrit :

   $$ x^{-1} = \frac{1}{x} $$

   L'inverse d'une puissance

   Pour tout réel \(x\) :

   $$ x \times \frac{1}{x} = 1 \hspace{2em} \text{avec} \ (x \neq 0) $$

   Cherchons \(\textcolor{rgb(93 183 129)}{n}\) tel que :

   $$ x \times x^{\textcolor{rgb(93 183 129)}{n}} = 1 \hspace{2em} (1) $$

   Or :

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} x^a \times x^{b} = x^{a + b} \\ x^0 = 1 \end{gather*}$$

   Dans \((1)\) :

   $$ x^{1+\textcolor{rgb(93 183 129)}{n}} = x^0 $$

   D'où :

   $$ 1+\textcolor{rgb(93 183 129)}{n} = 0 \Longrightarrow \textcolor{rgb(93 183 129)}{n} = -1 $$

   Soit,

   $$ x^{-1} = \frac{1}{x} $$

   Exemple : les puissances de \(10\), de \(10^3\) à \(10^{-2}\).

6. La puissance d'une puissance s'écrit :

   $$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$

   Puissance de puissance

   $$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { x^a \times x^a \times x^a \times x^a \times x^a ...} _\text{ \(b\) facteurs } $$

   $$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } } _\text{ \(b \times a \) facteurs } $$

   $$ (x^a)^b = \hspace{0.2em} \underbrace { x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x... } _\text{ \(b \times a \) facteurs } $$

   Et,

   $$ (x^a)^b = x^{ab} $$

   Par commutativité :

   $$ (x^b)^a = x^{ab} $$

   Soit,

   $$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$

   Exemple :

   $$ (4^2)^3 = 16^3 = 4 \ 096$$

   Et avec la formule :

   $$ (4^2)^3 = 4^6 = 4 \ 096$$

7. Pour \(x \neq 0\), le quotient de deux puissances de même base s'écrit :

   $$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$

   Quotient de puissances (de même base)

   $$ \frac{x^a}{x^b} = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \times \hspace{0.2em} \underbrace {\frac{1}{x} \times \frac{1}{x} \times \frac{1}{x} \times \frac{1}{x} \times \frac{1}{x} ...} _\text{ \(b\) facteurs } $$

   Avec \(\frac{1}{x} = x^{-1}\) :

   $$ \frac{x^a}{x^b} = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \times \hspace{0.2em} \underbrace {x^{-1} \times x^{-1} \times x^{-1} \times x^{-1} \times x^{-1} ...} _\text{ \(b\) facteurs } $$

   D'où :

   $$ \frac{x^a}{x^b} = \hspace{0.2em} x^a \times \hspace{0.2em} \left( x^{-1} \right)^b $$

   Par puissance de puissance :

   $$ \frac{x^a}{x^b} = \hspace{0.2em} x^a \times \hspace{0.2em} x^{-b} $$

   Par produit de puissances :

   $$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$

   Exemple :

   $$ \frac{1 \ 000}{100} = 10 $$

   Et avec la formule :

   $$ \frac{10^3}{10^2} = 10^{3 - 2} = 10^1 \hspace{2em} (= 10) $$

8. Résumé des formules
   $$ \forall (x, y) \in \hspace{0.05em}\mathbb{R}^2, \ \forall (a,b) \in \hspace{0.05em} \mathbb{N}^2, $$

   Propriété	Condition	Formule
   Puissance de produit	$$ $$	$$ (xy)^a = x^a y ^a $$
   Puissance de quotient	$$ y \neq 0 $$	$$ \left( \frac{x}{y} \right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$
   Produit de puissances (de même base)	$$ $$	$$ x^a x^b = x^{a+b} $$
   Quotient de puissances (de même base)	$$ x \neq 0 $$	$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$
   Puissance de puissance	$$ $$	$$ (x^a)^b = (x^b)^a = x^{ab} $$
   Nombre à la puissance zéro	$$ x \neq 0 $$	$$ x^0 = 1 $$
   Inverse	$$ x \neq 0 $$	$$ \frac{1}{x} = x^{-1} $$
   Inverse de puissance	$$ x \neq 0 $$	$$ \frac{1}{x^a} = x^{-a} $$

L'écriture scientifique

1. Présentation

   L'écriture scientifique facilite les calculs :

   • avec de très grands nombres

   • avec de très petits nombres

   
   

   Un nombre s'y écrit comme un nombre à virgule multiplié par une puissance de 10.

   Exemple : \(1.8 \times 10^{7}\)

   $$ \underbrace{1.8} _\text{nombre \(D\)} \times \underbrace{10^{7}} _\text{puissance de \(10\)} $$
   
   

   Ce nombre à virgule est formé :

   • avant la virgule : un seul chiffre différent de 0 :

     $$ 1 \leqslant |\, D \,| < 10 \hspace{2em} \text{avec} \ (D \in \mathbb{D}) $$

   • après la virgule : autant de chiffres que le permettent les chiffres significatifs.

   
   

   Exemple : la distance Terre-lune.

   $$ D_{\text{Terre}-\text{lune}} = 384 \ 400 \ \text{km} $$

   En écriture scientifique :

   $$ D_{\text{Terre}-\text{lune}} = 3.844 \times 10^5 \ \text{km} $$

   En unités du système international \((S.I.)\) :

   $$D_{[\text{Terre}-\text{lune}]} = 3.844 \times 10 ^8 \ \text{m} $$
2. Ordre de grandeur

   L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 de son écriture scientifique.

   
   

   Exemple : la distance Terre-lune.

   $$ D_{\text{Terre}-\text{lune}} = 3.844 \times 10^\textcolor{rgb(232 124 124)}{5} \ \text{km} $$
   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{\bigl(\text{l'ordre de grandeur est } 5 \bigr)} $$

3. Gestion des chiffres significatifs

   Les chiffres significatifs

   Les chiffres significatifs d'un nombre indiquent sa précision.

   Ce sont tous les chiffres à partir du premier chiffre non nul.

   Leur gestion dépend de l'opération :

   1. Addition / soustraction : \(+/-\)

      Le résultat a autant de chiffres après la virgule que la donnée qui en a le moins.

      Exemple :

      $$A = 7.56 \times 10^3 + 4.5471 \times 10^2 $$

      Avec la puissance commune \(10^2\) :

      $$A = 75.6 \times 10^2 + 4.5471 \times 10^2 $$
      $$A = 80.1\textcolor{rgb(232 124 124)}{471} \times 10^2 $$
      $$A = 80.1\times 10^2 $$
      $$A = 8.01\times 10^3 $$

   2. Multiplication / division : \(\times/\div\)

      Le résultat a autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins.

      Exemple :

      $$B = 3.197 \times 10^1 \times 7.14628 \times 10^{-3} $$
      $$B = 22.84\textcolor{rgb(232 124 124)}{665716} \times 10^{-2} $$
      $$B = 22.84 \times 10^{-2} $$
      $$B = 2.284 \times 10^{-1} $$

Les racines carrées

1. Définition

   La racine carrée d'un réel \(a \geqslant 0\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a\) :

   $$ \sqrt{a} \geqslant 0 \quad \text{et} \quad \bigl(\sqrt{a}\bigr)^2 = a \hspace{2em} (a \geqslant 0) $$

   Exemple :

   $$ \sqrt{49} = 7 \hspace{2em} (7 \geqslant 0 \quad \text{et} \quad 7^2 = 49) $$

   Un nombre négatif n'a pas de racine carrée.

2. Produit et quotient

   La racine d'un produit est le produit des racines :

   $$ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \hspace{2em} (a \geqslant 0 \quad \text{et} \quad b \geqslant 0) $$

   Racine d'un produit

   Le nombre \(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\) est positif, comme produit de deux nombres positifs. Par la puissance d'un produit, son carré vaut :

   $$ \bigl(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\bigr)^2 = \bigl(\sqrt{a}\bigr)^2 \times \bigl(\sqrt{b}\bigr)^2 $$

   $$ \bigl(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\bigr)^2 = ab $$

   C'est donc le nombre positif dont le carré vaut \(ab\) :

   $$ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} $$

   Exemple : un carré d'aire \(50\) se découpe en \(25\) carrés d'aire \(2\).

   $$ E = \sqrt{50} $$

   $$ E = \sqrt{25 \times 2} $$

   $$ E = \sqrt{25} \times \sqrt{2} $$

   $$ E = 5\sqrt{2} $$

   De même, la racine d'un quotient est le quotient des racines :

   $$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \hspace{2em} (a \geqslant 0 \quad \text{et} \quad b > 0) $$

   Exemple :

   $$ \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4} $$
3. Racine d'un carré

   La racine du carré d'un nombre redonne ce nombre s'il est positif :

   $$ \sqrt{a^2} = a \hspace{2em} (a \geqslant 0) $$

   Pour un réel quelconque, la racine de son carré est sa valeur absolue :

   $$ \sqrt{a^2} = \left|\, a \,\right| \hspace{2em} (a \in \mathbb{R}) $$

   Avec \(a = - 5\), écrire \(\sqrt{a^2} = a\) donnerait \(5 = - 5\) :

   $$ \sqrt{(- 5)^2} = \sqrt{25} = 5 $$

   $$ \sqrt{(- 5)^2} = \left|\, - 5 \,\right| = 5 $$
4. Racine d'une somme

   La racine d'une somme est inférieure ou égale à la somme des racines :

   $$ \sqrt{a + b} \leqslant \sqrt{a} + \sqrt{b} \hspace{2em} (a \geqslant 0 \quad \text{et} \quad b \geqslant 0) $$

   L'inégalité de la racine carrée

   Lemme :

   Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

   $$ \forall (a,b) \in \hspace{0.03em} \left[ \mathbb{R}^+ \right]^2, $$

   $$ a \leqslant b \Longleftrightarrow a^2 \leqslant b^2 $$

   Comparons les carrés des deux membres :

   $$ \left(\sqrt{a + b}\right)^2 = a + b \hspace{2em} (1) $$

   $$ \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 = a \textcolor{rgb(93 183 129)}{+ 2\sqrt{a} \sqrt{b} } + b \hspace{2em} (2) $$

   \((2)\) compte un terme positif de plus : elle est la plus grande. D'après le lemme :

   $$ \left[ \left(\sqrt{a + b}\right)^2 \leqslant \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 \right] \Longleftrightarrow \left[ \sqrt{a + b}\leqslant \sqrt{a} + \sqrt{b} \right] $$

   D'où :

   $$\sqrt{a + b} \leqslant \sqrt{a} + \sqrt{b} \hspace{2em} (a \geqslant 0 \quad \text{et} \quad b \geqslant 0) $$

   Exemple :

   $$ \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$

   $$ \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 $$

   $$ \sqrt{9 + 16} < \sqrt{9} + \sqrt{16} $$
5. Réduire une somme de racines

   Une somme de racines ne se réunit donc pas sous une seule racine. Pour la réduire, on simplifie chaque racine, puis on regroupe celles qui portent le même nombre sous la racine :

   $$ F = \sqrt{12} + \sqrt{27} $$

   $$ F = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} $$

   $$ F = 5\sqrt{3} $$