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Les casse-tête des puissances et des racines

Un film qui zoome de dix en dix, une boucle de cartes, une planète à colorier et un puzzle à pièges : quatre casse-tête pour calculer avec des puissances, des racines carrées et l'écriture scientifique, sans calculatrice.

Le message du zoom

Le film Powers of Ten (1977) multiplie par \(10\) la largeur de l'image toutes les dix secondes.

Voici onze longueurs du film. Chacune s'écrit en mètres, en écriture scientifique ; le code donne sa lettre.

Tableau de onze longueurs, du diamètre d'un proton au diamètre de la Voie lactée, avec deux colonnes à remplir : l'écriture scientifique en mètres et la lettre Objet Longueur Écriture scientifique (m) Lettre Diamètre d'un proton
$$ 0.000 \ 000 \ 000 \ 000 \ 001 \ 7 \ \text{m} $$
 Diamètre d'un atome
$$ 0.106 \times 10^{-9} \ \text{m} $$
 Taille d'un virus
$$ 0.000 \ 12 \ \text{mm} $$
 Épaisseur d'un cheveu
$$ 80 \times 10^{-6} \ \text{m} $$
 Grain de sable
$$ 0.5 \ \text{mm} $$
 Longueur d'une fourmi
$$ 0.4 \ \text{cm} $$
 Première image du film
$$ 100 \ \text{cm} $$
 Hauteur de la tour Eiffel
$$ 330 \ \text{m} $$
 Rayon de la Terre
$$ 6 \ 371 \ \text{km} $$
 Distance Terre-Soleil
$$ 150 \ \text{millions de km} $$
 Diamètre de la Voie lactée
$$ 0.95 \times 10^{21} \ \text{m} $$
Le tableau rempli : les onze écritures scientifiques, de 1.7 fois dix puissance moins 15 à 9.5 fois dix puissance 20, donnent les lettres Z, O, O, M, A, R, R, I, E, R, E Objet Longueur Écriture scientifique (m) Lettre Diamètre d'un proton
$$ 0.000 \ 000 \ 000 \ 000 \ 001 \ 7 \ \text{m} $$
$$ 1.7 \times 10^{-15} $$
 Z Diamètre d'un atome
$$ 0.106 \times 10^{-9} \ \text{m} $$
$$ 1.06 \times 10^{-10} $$
 O Taille d'un virus
$$ 0.000 \ 12 \ \text{mm} $$
$$ 1.2 \times 10^{-7} $$
 O Épaisseur d'un cheveu
$$ 80 \times 10^{-6} \ \text{m} $$
$$ 8 \times 10^{-5} $$
 M Grain de sable
$$ 0.5 \ \text{mm} $$
$$ 5 \times 10^{-4} $$
 A Longueur d'une fourmi
$$ 0.4 \ \text{cm} $$
$$ 4 \times 10^{-3} $$
 R Première image du film
$$ 100 \ \text{cm} $$
$$ 1 \times 10^{0} $$
 R Hauteur de la tour Eiffel
$$ 330 \ \text{m} $$
$$ 3.3 \times 10^{2} $$
 I Rayon de la Terre
$$ 6 \ 371 \ \text{km} $$
$$ 6.371 \times 10^{6} $$
 E Distance Terre-Soleil
$$ 150 \ \text{millions de km} $$
$$ 1.5 \times 10^{11} $$
 R Diamètre de la Voie lactée
$$ 0.95 \times 10^{21} \ \text{m} $$
$$ 9.5 \times 10^{20} $$
 E
  1. Compléter le tableau à l'aide du code ci-dessous. Lues de haut en bas, les onze lettres forment un message.
    Le code : vingt-quatre écritures scientifiques rangées par exposant croissant, chacune avec sa lettre
    $$ 1.7 \times 10^{-16} $$
     K
    $$ 1.7 \times 10^{-15} $$
     Z
    $$ 1.7 \times 10^{-14} $$
     D
    $$ 1.06 \times 10^{-10} $$
     O
    $$ 1.06 \times 10^{-8} $$
     H
    $$ 1.2 \times 10^{-7} $$
     O
    $$ 8 \times 10^{-7} $$
     B
    $$ 8 \times 10^{-6} $$
     F
    $$ 8 \times 10^{-5} $$
     M
    $$ 1.2 \times 10^{-4} $$
     T
    $$ 5 \times 10^{-4} $$
     A
    $$ 4 \times 10^{-3} $$
     R
    $$ 4 \times 10^{-1} $$
     L
    $$ 5 \times 10^{-1} $$
     U
    $$ 1 \times 10^{0} $$
     R
    $$ 1 \times 10^{2} $$
     S
    $$ 3.3 \times 10^{2} $$
     I
    $$ 6.371 \times 10^{3} $$
     C
    $$ 6.371 \times 10^{6} $$
     E
    $$ 1.5 \times 10^{8} $$
     P
    $$ 1.5 \times 10^{10} $$
     Y
    $$ 1.5 \times 10^{11} $$
     R
    $$ 9.5 \times 10^{20} $$
     E
    $$ 9.5 \times 10^{22} $$
     G

    Par exemple :

    $$ 0.106 \times 10^{-9} = 1.06 \times 10^{-1} \times 10^{-9} = 1.06 \times 10^{-10} $$

    Et \(150\) millions de kilomètres valent \(1.5 \times 10^{8} \ \text{km}\), soit \(1.5 \times 10^{11} \ \text{m}\).

    $$ \text{ZOOM ARRIÈRE} $$
  2. L'ordre de grandeur d'une longueur est la puissance de \(10\) de son écriture scientifique. Donner celui de l'épaisseur du cheveu et celui du rayon de la Terre, puis calculer combien de secondes le film met pour passer de l'un à l'autre.

    L'épaisseur du cheveu, \(8 \times 10^{-5} \ \text{m}\), a pour ordre de grandeur \(10^{-5}\) ; le rayon de la Terre, \(6.371 \times 10^{6} \ \text{m}\), a pour ordre de grandeur \(10^{6}\).

    $$ \frac{10^{6}}{10^{-5}} = 10^{6 - (-5)} = 10^{11} $$

    Il faut onze multiplications par \(10\), de dix secondes chacune :

    $$ 11 \times 10 = 110 \ \text{s} $$

La boucle des exposants

Chaque carte porte un nombre, « J'ai … », et une question, « Qui a … ? », dont la réponse est sur une autre carte.

Douze cartes « J'ai … Qui a … ? » sur trois rangées de quatre ; la carte Départ porte « J'ai 1 » ; chaque carte a un rond pour son numéro Départ - J'ai :
$$ 1 $$
 Qui a :
$$ 2^{-3} \times 2^{5} \ ? $$
 J'ai :
$$ 4 $$
 Qui a :
$$ \frac{10^{3}}{10^{5}} \ ? $$
 J'ai :
$$ 0.01 $$
 Qui a :
$$ \left(3^{-1}\right)^{-2} \ ? $$
 J'ai :
$$ 9 $$
 Qui a :
$$ -2^{4} \ ? $$
 J'ai :
$$ -16 $$
 Qui a :
$$ \frac{2^{4}}{2^{7}} \ ? $$
 J'ai :
$$ 0.125 $$
 Qui a :
$$ 2^{3} \times 5^{3} \ ? $$
 J'ai :
$$ 10^{3} $$
 Qui a :
$$ \frac{5^{-1}}{5^{-3}} \ ? $$
 J'ai :
$$ 25 $$
 Qui a :
$$ \left(10^{-2}\right)^{3} \ ? $$
 J'ai :
$$ 0.000 \ 001 $$
 Qui a :
$$ (-2)^{4} \ ? $$
 J'ai :
$$ 16 $$
 Qui a :
$$ 3^{-5} \times 3^{2} \ ? $$
 J'ai :
$$ \frac{1}{27} $$
 Qui a :
$$ \frac{6^{4}}{2^{4}} \ ? $$
 J'ai :
$$ 3^{4} $$
 Qui a :
$$ \left(5^{-2}\right)^{0} \ ? $$
Les douze cartes numérotées dans l'ordre de la boucle : 1, 4, 0.01, 9, moins 16, 0.125, 10 puissance 3, 25, un millionième, 16, un vingt-septième, 3 puissance 4, puis retour au départ Départ - J'ai :
$$ 1 $$
 Qui a :
$$ 2^{-3} \times 2^{5} \ ? $$
 1 J'ai :
$$ 4 $$
 Qui a :
$$ \frac{10^{3}}{10^{5}} \ ? $$
 2 J'ai :
$$ 0.01 $$
 Qui a :
$$ \left(3^{-1}\right)^{-2} \ ? $$
 3 J'ai :
$$ 9 $$
 Qui a :
$$ -2^{4} \ ? $$
 4 J'ai :
$$ -16 $$
 Qui a :
$$ \frac{2^{4}}{2^{7}} \ ? $$
 5 J'ai :
$$ 0.125 $$
 Qui a :
$$ 2^{3} \times 5^{3} \ ? $$
 6 J'ai :
$$ 10^{3} $$
 Qui a :
$$ \frac{5^{-1}}{5^{-3}} \ ? $$
 7 J'ai :
$$ 25 $$
 Qui a :
$$ \left(10^{-2}\right)^{3} \ ? $$
 8 J'ai :
$$ 0.000 \ 001 $$
 Qui a :
$$ (-2)^{4} \ ? $$
 9 J'ai :
$$ 16 $$
 Qui a :
$$ 3^{-5} \times 3^{2} \ ? $$
 10 J'ai :
$$ \frac{1}{27} $$
 Qui a :
$$ \frac{6^{4}}{2^{4}} \ ? $$
 11 J'ai :
$$ 3^{4} $$
 Qui a :
$$ \left(5^{-2}\right)^{0} \ ? $$
 12
  1. Numéroter les cartes de \(1\) à \(12\) dans l'ordre de la boucle, à partir de la carte Départ : la dernière y ramène.
    $$ 2^{-3} \times 2^{5} = 2^{-3 + 5} = 2^{2} = 4 $$
    $$ \frac{10^{3}}{10^{5}} = 10^{3 - 5} = 10^{-2} = 0.01 $$
    $$ \left(3^{-1}\right)^{-2} = 3^{(-1) \times (-2)} = 3^{2} = 9 $$
    $$ \frac{2^{4}}{2^{7}} = 2^{-3} = \frac{1}{8} = 0.125 \quad \text{et} \quad 2^{3} \times 5^{3} = (2 \times 5)^{3} = 10^{3} $$
    $$ \frac{5^{-1}}{5^{-3}} = 5^{-1 - (-3)} = 5^{2} = 25 \quad \text{et} \quad \left(10^{-2}\right)^{3} = 10^{-6} = 0.000 \ 001 $$
    $$ 3^{-5} \times 3^{2} = 3^{-3} = \frac{1}{27} \quad \text{et} \quad \frac{6^{4}}{2^{4}} = \left(\frac{6}{2}\right)^{4} = 3^{4} $$

    Enfin \(\left(5^{-2}\right)^{0} = 1\) : la boucle revient à la carte Départ.

  2. Les cartes qui demandent \(-2^{4}\) et \((-2)^{4}\) ne mènent pas à la même carte. Expliquer pourquoi.

    Dans \(-2^{4}\), seul \(2\) est élevé à la puissance \(4\), puis on prend l'opposé ; dans \((-2)^{4}\), c'est \(-2\) qui est multiplié quatre fois par lui-même.

    $$ -2^{4} = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16 $$
    $$ (-2)^{4} = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16 $$

La planète cachée

Colorier chaque case selon la valeur simplifiée de son expression, où \(a\) est un entier : en bleu une valeur de la forme \(a\sqrt{2}\), en rouge une valeur de la forme \(a\sqrt{3}\), en vert un entier. Les autres cases restent blanches.

Une grille de cinq colonnes, de A à E, et de cinq lignes, de 1 à 5 : chaque case porte une expression avec des racines carrées A B C D E 1 2 3 4 5
$$ \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{15}} $$
$$ \sqrt{80} $$
$$ 2\sqrt{32} $$
$$ \sqrt{28} $$
$$ \sqrt{2} \times \sqrt{6} $$
$$ \sqrt{5} + \sqrt{20} $$
$$ \sqrt{32} - \sqrt{2} $$
$$ \sqrt{3} \times \sqrt{6} $$
$$ \sqrt{2} + \sqrt{8} $$
$$ \sqrt{18} \times \sqrt{3} $$
$$ \sqrt{3} \times \sqrt{27} $$
$$ \left(3\sqrt{2}\right)^{2} $$
$$ \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} $$
$$ \sqrt{\frac{98}{2}} $$
$$ \sqrt{2} \times \sqrt{8} $$
$$ \sqrt{20} $$
$$ \sqrt{8} $$
$$ \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} $$
$$ \sqrt{50} $$
$$ \sqrt{150} $$
$$ \sqrt{27} + \sqrt{3} $$
$$ \sqrt{3} \times \sqrt{8} $$
$$ \sqrt{72} $$
$$ \sqrt{2} \times \sqrt{3} $$
$$ \frac{\sqrt{60}}{\sqrt{2}} $$
La grille coloriée : une planète bleue apparaît, traversée par un anneau vert qui la dépasse des deux côtés, avec trois étoiles rouges ; le ciel reste blanc A B C D E 1 2 3 4 5
$$ \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{15}} $$
$$ \sqrt{80} $$
$$ 2\sqrt{32} $$
$$ \sqrt{28} $$
$$ \sqrt{2} \times \sqrt{6} $$
$$ \sqrt{5} + \sqrt{20} $$
$$ \sqrt{32} - \sqrt{2} $$
$$ \sqrt{3} \times \sqrt{6} $$
$$ \sqrt{2} + \sqrt{8} $$
$$ \sqrt{18} \times \sqrt{3} $$
$$ \sqrt{3} \times \sqrt{27} $$
$$ \left(3\sqrt{2}\right)^{2} $$
$$ \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} $$
$$ \sqrt{\frac{98}{2}} $$
$$ \sqrt{2} \times \sqrt{8} $$
$$ \sqrt{20} $$
$$ \sqrt{8} $$
$$ \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} $$
$$ \sqrt{50} $$
$$ \sqrt{150} $$
$$ \sqrt{27} + \sqrt{3} $$
$$ \sqrt{3} \times \sqrt{8} $$
$$ \sqrt{72} $$
$$ \sqrt{2} \times \sqrt{3} $$
$$ \frac{\sqrt{60}}{\sqrt{2}} $$
  1. Colorier la grille. Si tout est juste, une planète à anneau apparaît.

    La planète est bleue, son anneau vert, les trois étoiles rouges ; le ciel reste blanc. Par exemple :

    $$ \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \quad \text{et} \quad \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{45}{15}} = \sqrt{3} $$
    $$ \left(3\sqrt{2}\right)^{2} = 3^{2} \times \left(\sqrt{2}\right)^{2} = 9 \times 2 = 18 $$
  2. Justifier par le calcul que la case \(\mathrm{E1}\) est rouge, et que la case \(\mathrm{B5}\) reste blanche.
    $$ \sqrt{2} \times \sqrt{6} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} $$
    $$ \sqrt{3} \times \sqrt{8} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6} $$

    La case \(\mathrm{E1}\) vaut \(2\sqrt{3}\) : elle est rouge. La case \(\mathrm{B5}\) vaut \(2\sqrt{6}\), ni entier, ni de la forme \(a\sqrt{2}\) ou \(a\sqrt{3}\) : elle reste blanche.

Le puzzle des pièges

Les neuf pièces à découper sont sur la dernière page. Deux pièces voisines se touchent par deux écritures du même nombre ; il reste sur le bord du grand triangle neuf écritures, toutes fausses.

Le cadre du puzzle : un grand triangle équilatéral de 15.9 centimètres de côté, partagé en pointillés en neuf petits triangles
Le puzzle assemblé : chaque côté commun à deux pièces porte une expression et sa valeur ; les neuf pièges, en rouge, restent sur le bord du grand triangle
$$ 8 $$
$$ \sqrt{3} $$
$$ 7 $$
 B
$$ \sqrt{26} $$
$$ 0.6 $$
$$ 5 $$
 E
$$ \sqrt{8} + \sqrt{18} $$
$$ \sqrt{169 - 25} $$
$$ 3 - \pi $$
 D
$$ \sqrt{27} - \sqrt{12} $$
$$ 5\sqrt{2} $$
$$ \sqrt{9 + 16} $$
 A
$$ -6 $$
$$ -3 $$
$$ \sqrt{2} - 1 $$
 F
$$ \sqrt{(-6)^{2}} $$
$$ 0.06 $$
$$ \left(-\sqrt{3}\right)^{2} $$
 H
$$ \sqrt{(3 - \pi)^{2}} $$
$$ \sqrt{15} $$
$$ 1 - \sqrt{2} $$
 G
$$ \sqrt{0.36} $$
$$ 6 $$
$$ \sqrt{(1 - \sqrt{2})^{2}} $$
 C
$$ 12 $$
$$ \pi - 3 $$
$$ 3 $$
 I
  1. Découper les neuf pièces, les assembler dans le grand triangle, puis les coller.

    La racine du carré d'un nombre est sa valeur absolue, toujours positive. Comme \(\sqrt{2} > 1\) et \(\pi > 3\) :

    $$ \sqrt{\left(1 - \sqrt{2}\right)^{2}} = \left|\, 1 - \sqrt{2} \,\right| = \sqrt{2} - 1 \quad \text{et} \quad \sqrt{(3 - \pi)^{2}} = \pi - 3 $$

    Une racine ne se calcule pas terme à terme :

    $$ \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \quad \text{et} \quad \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 $$
    $$ \sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \quad \text{et} \quad \sqrt{27} - \sqrt{12} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3} $$

    Enfin \(\sqrt{(-6)^{2}} = \sqrt{36} = 6\), \(\left(-\sqrt{3}\right)^{2} = 3\) et \(\sqrt{0.36} = 0.6\), car \(0.6^{2} = 0.36\).

  2. Choisir trois des écritures restées sur le bord. Pour chacune, écrire l'égalité fausse qu'elle propose, puis la corriger.

    Chaque écriture du bord est l'erreur qu'on fait sur une des expressions :

    $$ \sqrt{(-6)^{2}} = -6 \ \text{est fausse} : \sqrt{(-6)^{2}} = 6 $$
    $$ \sqrt{9 + 16} = 7 \ \text{est fausse} : \sqrt{9 + 16} = 5 $$
    $$ \sqrt{0.36} = 0.06 \ \text{est fausse} : \sqrt{0.36} = 0.6 $$

    De même, \(1 - \sqrt{2}\), \(3 - \pi\) et \(-3\) sont négatifs, \(8\) vaudrait \(\sqrt{169} - \sqrt{25}\), \(\sqrt{26}\) vaudrait \(\sqrt{8 + 18}\), et \(\sqrt{15}\) vaudrait \(\sqrt{27 - 12}\).

  3. Démontrer que, pour tout réel \(a\), \(\sqrt{a^{2}} = |\, a \,|\). On pourra distinguer le cas \(a \geqslant 0\) et le cas \(a < 0\).

    Le nombre \(\sqrt{a^{2}}\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a^{2}\).

    Si \(a \geqslant 0\) : \(a\) est positif et son carré vaut \(a^{2}\), donc \(\sqrt{a^{2}} = a = |\, a \,|\).

    Si \(a < 0\) : \(-a\) est positif et \((-a)^{2} = a^{2}\), donc \(\sqrt{a^{2}} = -a = |\, a \,|\).

    $$ \sqrt{a^{2}} = |\, a \,| $$

Les pièces du puzzle des pièges, à découper en suivant les pointillés.

Les neuf pièces du puzzle à découper, nommées de A à I, pointe en haut ; chaque côté porte une écriture
$$ \sqrt{27} - \sqrt{12} $$
$$ 5\sqrt{2} $$
$$ \sqrt{9 + 16} $$
 A
$$ 8 $$
$$ \sqrt{3} $$
$$ 7 $$
 B
$$ \sqrt{0.36} $$
$$ 6 $$
$$ \sqrt{(1 - \sqrt{2})^{2}} $$
 C
$$ \sqrt{8} + \sqrt{18} $$
$$ \sqrt{169 - 25} $$
$$ 3 - \pi $$
 D
$$ \sqrt{26} $$
$$ 0.6 $$
$$ 5 $$
 E
$$ -6 $$
$$ -3 $$
$$ \sqrt{2} - 1 $$
 F
$$ \sqrt{(3 - \pi)^{2}} $$
$$ \sqrt{15} $$
$$ 1 - \sqrt{2} $$
 G
$$ \sqrt{(-6)^{2}} $$
$$ 0.06 $$
$$ \left(-\sqrt{3}\right)^{2} $$
 H
$$ 12 $$
$$ \pi - 3 $$
$$ 3 $$
 I