Problèmes sur les systèmes d'équations à deux inconnues en seconde

Une ferme, un marché, une salle de sport : deux inconnues appellent deux équations.

Traduire un problème par un système
Résoudre un système par combinaison ou par substitution
Contrôler une solution et l'interpréter dans le contexte

Lapins et poules

Une ferme d'élevage ne contient que des lapins et des poules. On sait que :

le nombre total de têtes est $12$ ;
le nombre total de pattes est $30$.

Choisir deux inconnues et traduire l'énoncé par un système.

Une poule a deux pattes, un lapin en a quatre :

$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl\{ \begin{gather*} p + l = 12 \hspace{3em} (L_1) \\ 2p + 4l = 30 \hspace{2em} (L_2) \end{gather*} $$

$$ \text{avec} \enspace \Biggl\{ \begin{gather*} p : \text{nombre de poules} \\ l : \text{nombre de lapins} \end{gather*} $$
Résoudre ce système par substitution, puis conclure.

On isole $p$ dans $(L_1)$ :

$$ p = 12 - l $$

On remplace $p$ par $12 - l$ dans $(L_2)$ :

$$ 2(12 - l) + 4l = 30 $$

$$ 24 - 2l + 4l = 30 $$

$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{24} + 2l \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 30 $$

$$ 2l = 30 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 24} $$

$$ 2l = 6 $$

$$ \frac{2l}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} = \frac{6}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} $$

$$ l = 3 $$

On revient à $p = 12 - l$ : $p = 12 - 3 = 9$.

$$ \mathcal{S} = \Bigl\{ (9 \ ; \ 3) \Bigr\} $$

La ferme compte $9$ poules et $3$ lapins : on vérifie $9 + 3 = 12$ têtes et $2 \times 9 + 4 \times 3 = 30$ pattes.
Retrouver le nombre de lapins de cette même ferme par combinaison.

On multiplie les deux membres de $(L_1)$ par $2$, pour avoir autant de $p$ dans les deux lignes :

$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl\{ \begin{gather*} \textcolor{rgb(93 183 129)}{2 \times} (p + l) = \textcolor{rgb(93 183 129)}{2 \times} 12 \hspace{2em} (\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}L_1) \\ 2p + 4l = 30 \hspace{5em} (L_2) \end{gather*} $$

$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl\{ \begin{gather*} 2p + 2l = 24 \hspace{2em} (2L_1) \\ 2p + 4l = 30 \hspace{2em} (L_2) \end{gather*} $$

L'opération $(L_2) - (2L_1)$ élimine $p$ :

$$ 2p + 4l - (2p + 2l) = 30 - 24 $$

$$ 2p + 4l - 2p - 2l = 6 $$

$$ 2l = 6 $$

$$ \frac{2l}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} = \frac{6}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} $$

$$ l = 3 $$

Les deux méthodes donnent bien les mêmes $3$ lapins.

Les prix du marché

Deux amis ont acheté des pommes de terre et des carottes au même marché :

le premier a payé $13{,}60 \ \text{€}$ pour $2 \ \text{kg}$ de pommes de terre et $3 \ \text{kg}$ de carottes ;
le second a payé $14{,}20 \ \text{€}$ pour $1{,}5 \ \text{kg}$ de pommes de terre et $3{,}5 \ \text{kg}$ de carottes.

Traduire ces deux achats par un système, en nommant les inconnues.

$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl\{ \begin{gather*} 2p + 3c = 13{,}60 \hspace{4em} (L_1) \\ 1{,}5p + 3{,}5c = 14{,}20 \hspace{2em} (L_2) \end{gather*} $$

$$ \text{avec} \enspace \Biggl\{ \begin{gather*} p : \text{prix d'un kilogramme de pommes de terre} \ \bigl[\text{€}\bigr] \\ c : \text{prix d'un kilogramme de carottes} \ \bigl[\text{€}\bigr] \end{gather*} $$
Résoudre ce système et donner le prix d'un kilogramme de chaque légume.

Isoler une inconnue ferait apparaître des fractions : on résout par combinaison. On multiplie $(L_1)$ par $3$ et $(L_2)$ par $4$, pour avoir $6p$ dans les deux lignes :

$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl\{ \begin{gather*} \textcolor{rgb(93 183 129)}{3 \times} (2p + 3c) = \textcolor{rgb(93 183 129)}{3 \times} 13{,}60 \hspace{4em} (\textcolor{rgb(93 183 129)}{3}L_1) \\ \textcolor{rgb(93 183 129)}{4 \times} (1{,}5p + 3{,}5c) = \textcolor{rgb(93 183 129)}{4 \times} 14{,}20 \hspace{2em} (\textcolor{rgb(93 183 129)}{4}L_2) \end{gather*} $$

$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl\{ \begin{gather*} 6p + 9c = 40{,}80 \hspace{3em} (3L_1) \\ 6p + 14c = 56{,}80 \hspace{2em} (4L_2) \end{gather*} $$

L'opération $(4L_2) - (3L_1)$ élimine $p$ :

$$ 6p + 14c - (6p + 9c) = 56{,}80 - 40{,}80 $$

$$ 6p + 14c - 6p - 9c = 16 $$

$$ 5c = 16 $$

$$ \frac{5c}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{5}} = \frac{16}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{5}} $$

$$ c = 3{,}20 $$

On reporte $c = 3{,}20$ dans $(L_1)$ :

$$ 2p + 3 \times 3{,}20 = 13{,}60 $$

$$ 2p \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 9{,}60} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 13{,}60 $$

$$ 2p = 13{,}60 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 9{,}60} $$

$$ 2p = 4 $$

$$ \frac{2p}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} = \frac{4}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} $$

$$ p = 2 $$

$$ \mathcal{S} = \Bigl\{ (2 \ ; \ 3{,}20) \Bigr\} $$

Le kilogramme de pommes de terre coûte $2 \ \text{€}$, celui de carottes $3{,}20 \ \text{€}$. Contrôle sur le second achat : $1{,}5 \times 2 + 3{,}5 \times 3{,}20 = 3 + 11{,}20 = 14{,}20$.
Un troisième ami achète, au même marché, $3 \ \text{kg}$ de pommes de terre et $2 \ \text{kg}$ de carottes. Calculer ce qu'il paie.

$$ 3 \times 2 + 2 \times 3{,}20 = 6 + 6{,}40 $$

$$ 12{,}40 \ \text{€} $$

Un système avec des carrés

Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tels que :

$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl\{ \begin{gather*} a + b = 42 \hspace{3em} (L_1) \\ a^2 - b^2 = 84 \hspace{2em} (L_2) \end{gather*} $$

Factoriser $a^2 - b^2$.

C'est une différence de deux carrés :

$$ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) $$
À l'aide de $(L_1)$, en déduire la valeur de $a - b$.

D'après la question précédente, $(L_2)$ s'écrit $(a + b)(a - b) = 84$. On y remplace $a + b$ par $42$ :

$$ 42(a - b) = 84 $$

$$ \frac{42(a - b)}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{42}} = \frac{84}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{42}} $$

$$ a - b = 2 $$
Résoudre le système formé par $(L_1)$ et cette nouvelle équation, puis donner $a$ et $b$.

$$ (\mathcal{S'}) \enspace \Biggl\{ \begin{gather*} a + b = 42 \hspace{2em} (L_1) \\ a - b = 2 \hspace{3em} (L_3) \end{gather*} $$

Les coefficients de $b$ sont opposés : l'opération $(L_1) + (L_3)$ élimine $b$ sans rien multiplier.

$$ a + b + a - b = 42 + 2 $$

$$ 2a = 44 $$

$$ \frac{2a}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} = \frac{44}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} $$

$$ a = 22 $$

On reporte $a = 22$ dans $(L_1)$ :

$$ 22 + b = 42 $$

$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{22} + b \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 42 $$

$$ b = 42 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 22} $$

$$ b = 20 $$

$$ \mathcal{S} = \Bigl\{ (22 \ ; \ 20) \Bigr\} $$

Contrôle dans le système de départ : $22 + 20 = 42$ et $22^2 - 20^2 = 484 - 400 = 84$.

La copie de Léo

Pour résoudre le système suivant, Léo a choisi la combinaison :

$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl\{ \begin{gather*} 2x + y = 7 \hspace{3em} (L_1) \\ 2x - 3y = - 5 \hspace{2em} (L_2) \end{gather*} $$

Voici sa copie :

$$ (L_1) - (L_2) : \hspace{2em} 2x + y - 2x - 3y = 7 + 5 $$

$$ - 2y = 12 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} y = - 6 $$

$$ (L_1) : \hspace{2em} 2x - 6 = 7 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} x = 6{,}5 $$

Léo conclut que le couple $(6{,}5 \ ; \ {-}6)$ est la solution.

Vérifier que le couple de Léo satisfait $(L_1)$, mais pas $(L_2)$.

Dans $(L_1)$ :

$$ 2 \times 6{,}5 + (- 6) = 13 - 6 = 7 $$

Dans $(L_2)$ :

$$ 2 \times 6{,}5 - 3 \times (- 6) = 13 + 18 = 31 \neq - 5 $$

Le couple satisfait $(L_1)$, dont Léo s'est servi pour calculer $x$, mais pas $(L_2)$ : ce n'est pas la solution du système.
Repérer la ligne fausse de la copie et expliquer l'erreur.

La première ligne est fausse. Retrancher $(L_2)$, c'est retrancher tout le membre $2x - 3y$ : il faut l'écrire entre parenthèses, et le signe de chacun de ses termes change. Léo a changé celui de $2x$, mais pas celui de $- 3y$.

$$ 2x + y - (2x - 3y) = 2x + y - 2x + 3y $$
Corriger la résolution de ce même système et donner sa solution.

L'opération $(L_1) - (L_2)$, avec ses parenthèses :

$$ 2x + y - (2x - 3y) = 7 - (- 5) $$

$$ 2x + y - 2x + 3y = 12 $$

$$ 4y = 12 $$

$$ \frac{4y}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{4}} = \frac{12}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{4}} $$

$$ y = 3 $$

On reporte $y = 3$ dans $(L_1)$ :

$$ 2x \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 3} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 7 $$

$$ 2x = 7 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 3} $$

$$ 2x = 4 $$

$$ \frac{2x}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} = \frac{4}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} $$

$$ x = 2 $$

$$ \mathcal{S} = \Bigl\{ (2 \ ; \ 3) \Bigr\} $$

Cette fois le couple satisfait les deux lignes : $2 \times 2 + 3 = 7$ et $2 \times 2 - 3 \times 3 = - 5$.

Choisir sa salle de sport

Chaque mois, une salle de sport facture un abonnement fixe, auquel s'ajoute un même prix pour chaque séance. Inès y est inscrite :

en janvier, elle est venue $6$ fois et a payé $39 \ \text{€}$ ;
en février, elle est venue $10$ fois et a payé $55 \ \text{€}$.

Traduire ces deux factures par un système, en nommant les inconnues.

$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl\{ \begin{gather*} a + 6s = 39 \hspace{2em} (L_1) \\ a + 10s = 55 \hspace{2em} (L_2) \end{gather*} $$

$$ \text{avec} \enspace \Biggl\{ \begin{gather*} a : \text{prix de l'abonnement mensuel} \ \bigl[\text{€}\bigr] \\ s : \text{prix d'une séance} \ \bigl[\text{€}\bigr] \end{gather*} $$
Résoudre ce système et donner le prix de l'abonnement et celui d'une séance.

Les deux lignes ont le même coefficient devant $a$ : l'opération $(L_2) - (L_1)$ l'élimine.

$$ a + 10s - (a + 6s) = 55 - 39 $$

$$ a + 10s - a - 6s = 16 $$

$$ 4s = 16 $$

$$ \frac{4s}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{4}} = \frac{16}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{4}} $$

$$ s = 4 $$

On reporte $s = 4$ dans $(L_1)$ :

$$ a + 6 \times 4 = 39 $$

$$ a \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 24} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 39 $$

$$ a = 39 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 24} $$

$$ a = 15 $$

$$ \mathcal{S} = \Bigl\{ (15 \ ; \ 4) \Bigr\} $$

L'abonnement coûte $15 \ \text{€}$ par mois et chaque séance $4 \ \text{€}$. Contrôle sur février : $15 + 10 \times 4 = 55$.
Une autre salle ne demande aucun abonnement et facture $8 \ \text{€}$ la séance. Déterminer à partir de combien de séances dans le mois la salle d'Inès devient la moins chère.

Pour $n$ séances dans le mois, Inès paie $15 + 4n$ dans sa salle et $8n$ dans l'autre. Sa salle est la moins chère quand :

$$ 15 \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 4n} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{<} 8n $$

$$ 15 < 8n \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 4n} $$

$$ 15 < 4n $$

$$ \frac{15}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{4}} < \frac{4n}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{4}} $$

$$ 3{,}75 < n $$

Un nombre de séances est entier : il faut en faire au moins $4$.

$$ n \geqslant 4 $$

Contrôle : pour $4$ séances, $15 + 16 = 31 \ \text{€}$ contre $32 \ \text{€}$ ; pour $3$ séances, $27 \ \text{€}$ contre $24 \ \text{€}$.

Cent articles pour cent euros

Le foyer du lycée veut acheter exactement $100$ articles à la papeterie, pour exactement $100 \ \text{€}$ : des stylos-plumes, des carnets et des crayons, au moins un article de chaque sorte. Les crayons se vendent par lots de $3$.

On note $x$ le nombre de stylos-plumes, $y$ celui de carnets et $z$ celui de crayons. Traduire l'énoncé par un système, puis éliminer $z$ pour montrer que $7x + 4y = 100$.

Un crayon coûte $\frac{1}{3} \ \text{€}$ :

$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl\{ \begin{gather*} x + y + z = 100 \hspace{3em} (L_1) \\ 5x + 3y + \frac{z}{3} = 100 \hspace{2em} (L_2) \end{gather*} $$

On multiplie les deux membres de $(L_2)$ par $3$ :

$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{3 \times} \left(5x + 3y + \frac{z}{3}\right) = \textcolor{rgb(93 183 129)}{3 \times} 100 $$

$$ 15x + 9y + z = 300 \hspace{2em} (3L_2) $$

L'opération $(3L_2) - (L_1)$ élimine $z$ :

$$ 15x + 9y + z - (x + y + z) = 300 - 100 $$

$$ 14x + 8y = 200 $$

$$ \frac{14x + 8y}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} = \frac{200}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{2}} $$

$$ 7x + 4y = 100 $$

Montrer que $x$ est un multiple de $4$, puis trouver tous les achats possibles et prouver qu'il n'y en a pas d'autre.

D'après la question précédente, $7x = 100 - 4y = 4(25 - y)$ est un multiple de $4$. Or :

$$ x = 8x - 7x = 4 \times 2x - 4(25 - y) = 4(2x - 25 + y) $$

$x$ est donc un multiple de $4$. Comme $y \geqslant 1$, $7x \leqslant 100 - 4 = 96$, donc $x \leqslant 13$ : avec $x \geqslant 1$, il reste $x = 4$, $x = 8$ ou $x = 12$. Pour chacun, $y = \frac{100 - 7x}{4}$ et $z = 100 - x - y$ :

Stylos-plumes $x$	Carnets $y$	Crayons $z$	Prix $\bigl[\text{€}\bigr]$
$4$	$18$	$78$	$20 + 54 + 26 = 100$
$8$	$11$	$81$	$40 + 33 + 27 = 100$
$12$	$4$	$84$	$60 + 12 + 28 = 100$

Les trois nombres de crayons sont des multiples de $3$ : les lots tombent juste.

$$ (x \ ; \ y \ ; \ z) = (4 \ ; \ 18 \ ; \ 78) \hspace{2em} (8 \ ; \ 11 \ ; \ 81) \hspace{2em} (12 \ ; \ 4 \ ; \ 84) $$

La papeterie baisse le prix du stylo-plume à $4{,}50 \ \text{€}$. Prouver que le foyer ne peut plus acheter $100$ articles pour exactement $100 \ \text{€}$, avec au moins un article de chaque sorte.

La ligne $(L_2)$ devient $4{,}5x + 3y + \frac{z}{3} = 100$. On l'élimine comme à la question 1 : multipliée par $3$, elle donne $13{,}5x + 9y + z = 300$, et en retranchant $(L_1)$ :

$$ 12{,}5x + 8y = 200 $$

$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{2 \times} (12{,}5x + 8y) = \textcolor{rgb(93 183 129)}{2 \times} 200 $$

$$ 25x + 16y = 400 $$

Ainsi $25x = 400 - 16y = 16(25 - y)$ est un multiple de $16 = 2^4$. Or $25 = 5^2$ ne contient pas le facteur $2$ : les quatre facteurs $2$ de $16$ sont dans $x$, qui est un multiple de $16$.

Comme $y \geqslant 1$, $25x \leqslant 400 - 16 = 384$, donc $x \leqslant 15$. Le seul multiple de $16$ qui convient est $x = 0$ : aucun stylo-plume.

$$ \text{Impossible avec au moins un article de chaque sorte} $$

Sans cette condition, il reste deux achats : $25$ carnets et $75$ crayons, ou $16$ stylos-plumes et $84$ crayons, puisque $16 \times 4{,}5 + \frac{84}{3} = 72 + 28 = 100$. La baisse de prix a fait disparaître les trois achats de la question 2.

Les deux résistances

Nora a deux résistances de valeurs inconnues $R_1$ et $R_2$, en ohms. Deux résistances en série équivalent à une résistance $R_1 + R_2$ ; en dérivation, à une résistance $\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$. Nora mesure les deux montages à l'ohmmètre.

Traduire les deux mesures par un système, puis montrer que $R_1 + R_2 = 50$ et $R_1 R_2 = 600$.

$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl\{ \begin{gather*} R_1 + R_2 = 50 \hspace{3em} (L_1) \\ \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 12 \hspace{2em} (L_2) \end{gather*} $$

D'après $(L_1)$, le dénominateur de $(L_2)$ vaut $50$ :

$$ \frac{R_1 R_2}{50} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \ 50} = 12 \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \ 50} $$

$$ R_1 + R_2 = 50 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} R_1 R_2 = 600 $$
Retrouver les deux résistances. On pourra développer $(R_1 - 20)(R_1 - 30)$.

On isole $R_2 = 50 - R_1$, et on remplace dans $R_1 R_2 = 600$ :

$$ R_1(50 - R_1) = 600 $$

$$ 50R_1 - R_1^2 = 600 $$

On regroupe tous les termes dans le membre de droite :

$$ 0 = R_1^2 - 50R_1 + 600 $$

Or $(R_1 - 20)(R_1 - 30) = R_1^2 - 30R_1 - 20R_1 + 600 = R_1^2 - 50R_1 + 600$ :

$$ (R_1 - 20)(R_1 - 30) = 0 $$

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : $R_1 = 20$ ou $R_1 = 30$, et alors $R_2 = 30$ ou $R_2 = 20$.

$$ \mathcal{S} = \Bigl\{ (20 \ ; \ 30) \ ; \ (30 \ ; \ 20) \Bigr\} $$

Les deux résistances valent $20 \ \Omega$ et $30 \ \Omega$. Vérification : $20 + 30 = 50$ et $\frac{20 \times 30}{50} = \frac{600}{50} = 12$.
Avec deux autres résistances, Tom lit $50 \ \Omega$ en série et $13 \ \Omega$ en dérivation. Prouver qu'il a mal lu l'une des deux mesures. On pourra développer $(R_1 - 25)^2$.

Comme à la question 1, les deux mesures donnent $R_1 + R_2 = 50$ et $R_1 R_2 = 13 \times 50 = 650$. Comme à la question 2 :

$$ R_1^2 - 50R_1 + 650 = 0 $$

Or $(R_1 - 25)^2 = R_1^2 - 50R_1 + 625$, donc l'équation s'écrit :

$$ (R_1 - 25)^2 + 25 = 0 $$

Un carré est positif ou nul : le membre de gauche vaut au moins $25$, et ne s'annule jamais.

$$ \mathcal{S} = \varnothing : \text{Tom a mal lu une mesure} $$
Prouver que, pour deux résistances quelconques, la résistance en dérivation ne dépasse jamais le quart de la résistance en série. Dans quel cas lui est-elle égale ?

Notons $s = R_1 + R_2$, strictement positive. On compare $\frac{R_1 R_2}{s}$ à $\frac{s}{4}$ en multipliant par $4s$, qui est positif, sans changer le sens de l'inégalité :

$$ \frac{R_1 R_2}{s} \leqslant \frac{s}{4} \hspace{2em} \Longleftrightarrow \hspace{2em} 4R_1 R_2 \leqslant s^2 $$

Or :

$$ s^2 - 4R_1 R_2 = R_1^2 + 2R_1 R_2 + R_2^2 - 4R_1 R_2 = R_1^2 - 2R_1 R_2 + R_2^2 = (R_1 - R_2)^2 $$

Un carré est positif ou nul, donc $4R_1 R_2 \leqslant s^2$, avec égalité seulement si $R_1 = R_2$.

$$ \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \leqslant \frac{R_1 + R_2}{4} \hspace{2em} \text{égalité si et seulement si} \ R_1 = R_2 $$

Vérification : pour $50 \ \Omega$ en série, la dérivation ne dépasse pas $12{,}5 \ \Omega$. Nora lit $12 \ \Omega$, c'est possible ; Tom lit $13 \ \Omega$, c'est impossible, comme à la question 3.

Stylos-plumes \(x\)	Carnets \(y\)	Crayons \(z\)	Prix \(\bigl[\text{€}\bigr]\)
\(4\)	\(18\)	\(78\)	\(20 + 54 + 26 = 100\)
\(8\)	\(11\)	\(81\)	\(40 + 33 + 27 = 100\)
\(12\)	\(4\)	\(84\)	\(60 + 12 + 28 = 100\)