Les droites du plan

Vecteur directeur d'une droite

Vecteur directeur

Soit $d$ une droite et $A$, $B$ deux points distincts de $d$. Tout vecteur non nul colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ est appelé vecteur directeur de $d$.

Une droite possède donc une infinité de vecteurs directeurs : ils sont tous colinéaires entre eux, et donnent tous la même direction .

Une droite passant par deux points, avec un vecteur directeur — La droite $d$ passe par $A(1 \ ; \ 1)$ et $B(4 \ ; \ 3)$ : le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} 3\\ 2\end{pmatrix}$ la dirige

Sur la figure, on lit les coordonnées du vecteur directeur en se déplaçant de $A$ vers $B$ : $3$ vers la droite, puis $2$ vers le haut.

Équation cartésienne

$$ ax + by + c = 0 \qquad \text{avec } (a \ ; \ b) \neq (0 \ ; \ 0) $$

Toute droite du plan admet une équation de cette forme, appelée équation cartésienne . Un point appartient à la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient cette équation.

Le vecteur directeur se lit directement sur les coefficients :

$$ \vec{u}\begin{pmatrix} -b\\ a\end{pmatrix} \text{ est un vecteur directeur de } d $$

La forme générale d'une équation de droite

Soit $d$ la droite passant par $A(x_A \ ; \ y_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} \alpha\\ \beta\end{pmatrix}$. Un point $M(x \ ; \ y)$ appartient à $d$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire à $\vec{u}$, c'est-à-dire si leur déterminant est nul :

$$ \det\left(\overrightarrow{AM}, \vec{u}\right) = (x - x_A)\beta - (y - y_A)\alpha = 0 $$

On développe, puis on regroupe les termes constants :

$$ \beta x - \alpha y + \left(\alpha y_A - \beta x_A\right) = 0 $$

C'est bien une équation de la forme annoncée, avec $a = \beta$, $b = -\alpha$ et $c = \alpha y_A - \beta x_A$ :

$$ ax + by + c = 0 \qquad \text{et} \qquad \vec{u}\begin{pmatrix} -b\\ a\end{pmatrix} $$

Une même droite admet une infinité d'équations cartésiennes : multiplier les trois coefficients par un même réel non nul donne la même droite.

$$ 2x - 3y + 1 = 0 \qquad \text{et} \qquad 4x - 6y + 2 = 0 $$

Équation réduite et pente

Selon que la droite est parallèle ou non à l'axe des ordonnées, son équation prend l'une des deux formes suivantes.

$$ y = mx + p \qquad (b \neq 0) $$

$$ x = k \qquad (b = 0) $$

Pente d'une droite

Pour une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, le coefficient $m$ est appelé pente , ou coefficient directeur . Il se calcule à partir de deux points distincts $A$ et $B$ de la droite :

$$ m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} $$

Sur la figure précédente, la droite $d$ passe par $A(1 \ ; \ 1)$ et $B(4 \ ; \ 3)$ :

$$ m = \frac{3 - 1}{4 - 1} = \frac{2}{3} $$

La pente est donc le quotient des coordonnées d'un vecteur directeur : à partir de $\vec{u}\begin{pmatrix} \alpha\\ \beta\end{pmatrix}$ avec $\alpha \neq 0$,

$$ m = \frac{\beta}{\alpha} $$

Le réel $p$ est l'ordonnée à l'origine : c'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.

Positions relatives de deux droites

Deux droites du plan sont soit parallèles, soit sécantes. Leurs vecteurs directeurs tranchent.

Position	Vecteurs directeurs	Pentes
Parallèles	colinéaires : $\det\left(\vec{u}, \vec{v}\right) = 0$	$m = m'$
Sécantes	non colinéaires : $\det\left(\vec{u}, \vec{v}\right) \neq 0$	$m \neq m'$

Reconnaître la position relative de deux droites

Lorsque les droites sont sécantes, leur point d'intersection s'obtient en cherchant le couple $(x \ ; \ y)$ qui vérifie les deux équations à la fois . Avec deux équations réduites, on égalise les deux expressions de $y$.

$$ y = 2x - 1 \qquad \text{et} \qquad y = -x + 5 $$

On égalise, puis on résout :

$$ 2x - 1 = -x + 5 \iff 3x = 6 \iff x = 2 $$

On reporte enfin cette valeur dans l'une des deux équations pour obtenir l'ordonnée :

$$ y = 2 \times 2 - 1 = 3 \qquad \text{d'où le point } (2 \ ; \ 3) $$

Alignement de trois points

Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

$$ A, B, C \text{ alignés} \iff \det\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right) = 0 $$

Position	Vecteurs directeurs	Pentes
Parallèles	colinéaires : \(\det\left(\vec{u}, \vec{v}\right) = 0\)	\(m = m'\)
Sécantes	non colinéaires : \(\det\left(\vec{u}, \vec{v}\right) \neq 0\)	\(m \neq m'\)