Les droites du plan en seconde

Dans un repère, une droite se décrit par une direction et par une équation : on passe de l'une à l'autre.

Lire ou donner un vecteur directeur d'une droite
Déterminer une équation cartésienne d'une droite
Écrire l'équation réduite et calculer la pente à partir de deux points
Reconnaître deux droites parallèles ou sécantes et calculer leur point d'intersection
Démontrer que trois points sont alignés

Une rampe d'accès monte de $5 \ \text{cm}$ par mètre parcouru : une pente de $5 \ \%$. Sur $6 \ \text{m}$, elle gagne $30 \ \text{cm}$.

Dans un repère, cette rampe est la droite d'équation $y = 0.05x$ : le $0.05$ est sa pente.

Une droite, c'est un déplacement régulier : la montée reste proportionnelle à l'avancée.

Vecteur directeur d'une droite

Vecteur directeur

Soit $d$ une droite et $A$, $B$ deux points distincts de $d$. Tout vecteur non nul colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ est appelé vecteur directeur de $d$.

Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires : ils donnent la même direction.

Une droite passant par deux points, avec un vecteur directeur — La droite $d$ passe par $A(1 \ ; \ 1)$ et $B(4 \ ; \ 3)$ : le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} 3\\ 2\end{pmatrix}$ la dirige

De $A$ à $B$ : $3$ vers la droite, $2$ vers le haut.

Équation cartésienne

Pour trois réels $a$, $b$ et $c$ :

$$ ax + by + c = 0 \hspace{2em} \text{avec} \ \bigl((a \ ; \ b) \neq (0 \ ; \ 0)\bigr) $$

Toute droite du plan admet une équation de cette forme, appelée équation cartésienne. Un point appartient à la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient cette équation.

Un vecteur directeur se lit sur les coefficients :

$$ \vec{u}\begin{pmatrix} -b\\ a\end{pmatrix} \text{ est un vecteur directeur de } d $$

Multiplier les trois coefficients par un même réel non nul donne la même droite :

$$ 2x - 3y + 1 = 0 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 4x - 6y + 2 = 0 $$

Équation réduite et pente

Une droite admet une équation réduite :

$$ y = mx + p \hspace{2em} (b \neq 0) $$

$$ x = k \hspace{2em} (b = 0) $$

Pente d'une droite

Le coefficient $m$ est appelé pente, ou coefficient directeur. Pour deux points distincts $A$ et $B$ de la droite:

$$ m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} $$

Pour $A(1 \ ; \ 1)$ et $B(4 \ ; \ 3)$ :

$$ m = \frac{3 - 1}{4 - 1} = \frac{2}{3} $$

Avec un vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} \alpha\\ \beta\end{pmatrix}$ tel que $\alpha \neq 0$ :

$$ m = \frac{\beta}{\alpha} $$

Le réel $p$ est l'ordonnée à l'origine : l'ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées.

Positions relatives de deux droites

Deux droites du plan sont parallèles ou sécantes :

Position	Vecteurs directeurs	Pentes
Parallèles	colinéaires : $\det\left(\vec{u}, \vec{v}\right) = 0$	$m = m'$
Sécantes	non colinéaires : $\det\left(\vec{u}, \vec{v}\right) \neq 0$	$m \neq m'$

Reconnaître la position relative de deux droites

Le point d'intersection de deux droites sécantes vérifie les deux équations à la fois. Par exemple :

$$ y = 2x - 1 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} y = -x + 5 $$

On égalise, puis on résout :

$$ 2x - 1 = -x + 5 \iff 3x = 6 \iff x = 2 $$

On reporte dans l'une des équations :

$$ y = 2 \times 2 - 1 = 3 $$

Les deux droites se coupent au point :

$$ (2 \ ; \ 3) $$

Alignement de trois points

Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

$$ A, B, C \text{ alignés} \iff \det\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right) = 0 $$

Position	Vecteurs directeurs	Pentes
Parallèles	colinéaires : \(\det\left(\vec{u}, \vec{v}\right) = 0\)	\(m = m'\)
Sécantes	non colinéaires : \(\det\left(\vec{u}, \vec{v}\right) \neq 0\)	\(m \neq m'\)