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Exercices de type problème sur les droites du plan

Déterminer une équation

  1. Déterminer l'équation réduite de la droite passant par \(A(1 \ ; \ 2)\) et \(B(3 \ ; \ 8)\).
  2. La droite \(d\) a pour équation cartésienne \(2x - y + 5 = 0\). Donner un vecteur directeur de \(d\), puis sa pente.
  3. Le point \(C(-2 \ ; \ -7)\) appartient-il à la droite d'équation \(y = 3x - 1\) ?

Positions relatives

On considère les trois droites suivantes :

$$ d_1 : y = 2x - 3 $$
$$ d_2 : y = -x + 6 $$
$$ d_3 : 4x - 2y + 1 = 0 $$
  1. Montrer que \(d_1\) et \(d_3\) sont parallèles.
  2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de \(d_1\) et \(d_2\).
  3. Les droites \(d_2\) et \(d_3\) sont-elles sécantes ? Justifier.

Alignement et déterminant

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(-1 \ ; \ 2)\), \(B(2 \ ; \ 3)\) et \(C(8 \ ; \ 5)\).

  1. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
  2. Calculer \(\det\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)\) et conclure sur l'alignement de \(A\), \(B\) et \(C\).
  3. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\).