Expression de l'équation cartésienne d'une droite dans le plan

À partir d'un vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta\end{pmatrix}\) et d'un point \(A\bigl( x_0 \ ; \ y_0 \bigr)\) de la droite \(\mathscr{D}\), on détermine une équation cartésienne de cette droite :

Déterminer une équation cartésienne d'une droite

Soit une droite \(\mathscr{D}\) de vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta\end{pmatrix}\), passant par le point fixe \(A\bigl( x_0 \ ; \ y_0 \bigr)\).

On prend un point mobile \(M\bigl( x \ ; \ y \bigr)\). Il appartient à \(\mathscr{D}\) si et seulement si les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\overrightarrow{AM}\) sont colinéaires :

$$ \vec{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta\end{pmatrix} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x - x_0\\ y - y_0 \end{pmatrix} $$

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :

$$ \det \left(\overrightarrow{AM}, \ \vec{u} \right) = 0 $$

$$ (x - x_0) \beta - (y - y_0) \alpha = 0 $$

$$ \beta x - \beta x_0 - \alpha y + \alpha y_0 = 0 $$

$$ \beta x - \alpha y + \underbrace { \alpha y_0 - \beta x_0 }_{c} = 0 $$

Soit :

$$ ax + by + c = 0 \hspace{2em} \text{avec} \hspace{2em} a = \beta, \quad b = - \alpha $$

On retrouve le vecteur directeur du cours : \(\vec{u}\begin{pmatrix} - b \\ a \end{pmatrix}\).

Exemple :

À partir du vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et du point \(A\bigl( 1 \ ; \ 4 \bigr)\) de la droite \(\mathscr{D}\), cherchons une équation cartésienne de \(\mathscr{D}\). Pour \(M\bigl( x \ ; \ y \bigr)\), les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\vec{u}\) sont colinéaires :

On vérifie avec \(A\) : \(3 \times 1 - 2 \times 4 + 5 = 0\).