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Le ferme de lapins et de poules
Une ferme d'élevage ne contient que des lapins et des poules. On sait aussi que :
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le nombre total de têtes est de 12
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le nombre total de pattes est de 30
Combien y a-t-il de lapins et de poules dans cette ferme ?
L'énoncé nous amène à résoudre le système suivant :
Cette exercice est une occasion de montrer les trois méthodes.
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1 ère méthode : combinaison
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} p + l = 12 \hspace{5em} (L_1) \\ 2p + 4l = 30 \hspace{4em} (L_2) \end{gather*} $$On multiplie la première ligne par 2 par la mettre à niveau de la seconde.
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} \textcolor{rgb(232 124 124)}{2}p + \textcolor{rgb(232 124 124)}{2}l = \textcolor{rgb(232 124 124)}{2 \times}12 \hspace{5em} (\textcolor{rgb(232 124 124)}{2}L_1) \\ 2p + 4l = 30 \hspace{6.8em} (L_2) \end{gather*} $$$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} 2p + 2l = 24 \hspace{5em} (2L_1) \\ 2p + 4l = 30 \hspace{5.4em} (L_2) \end{gather*} $$À présent, on peut faire l'opération \((L_2) - (2L_1)\) :
$$ (L_2) - (2L_1) $$$$ \Longleftrightarrow $$$$ 2p + 4l - (2p + 2l) = 30 - 24 $$$$ 2p + 4l - 2p - 2l = 6 $$$$ 2l = 6 $$$$ l = \frac{6}{2} $$$$ p = 9 $$ -
2 ème méthode : substitution
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} p + l = 12 \hspace{5em} (L_1) \\ 2p + 4l = 30 \hspace{4em} (L_2) \end{gather*} $$$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} \textcolor{#6187B2}{p} = 12 - l \hspace{5em} (L_1') \\ 2\textcolor{#6187B2}{p} + 4l = 30 \hspace{4em} (L_2) \end{gather*} $$On peut maintenant injecter la valeur de \(p\) présente dans \((L_1')\) dans son équivalent dans \((L_2)\) :
$$ (L_1') \longmapsto (L_2) $$$$ \Longleftrightarrow $$$$ 2\textcolor{#6187B2}{(12 - l)} + 4l = 30 $$$$ 24 -2l + 4l = 30 $$$$ 2l = 30 - 24 $$$$ 2l = 6 $$$$ l = \frac{6}{2} $$$$ p = 9 $$ -
3 ème méthode : intersection de deux fonctions affines
$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} p + l = 12 \hspace{5em} (L_1) \\ 2p + 4l = 30 \hspace{4em} (L_2) \end{gather*} $$$$ (\mathcal{S}) \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} p = 12 - l \hspace{5em} \\ 2p = 30 - 4l \hspace{4em} \end{gather*} $$$$ (\mathcal{S}) \enspace \left \{ \begin{gather*} p = 12 - l \hspace{5em} (L_1^*) \\ \\ p = \frac{30 - 4l}{2} \hspace{4em} (L_2^*) \end{gather*} \right \} $$Comme on cherche un couple unique \((p,\ l)\) qui convient, on \((p = p)\), et de fait :
$$ p = p $$$$ \Longleftrightarrow $$$$ 12 - l = \frac{30 - 4l}{2} $$On peut multiplier chaque membre par 2 pour simplifier :
$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{2}(12 - l) = \textcolor{rgb(232 124 124)}{2 \times \biggl(}\frac{30 - 4l}{2}\textcolor{rgb(232 124 124)}{\biggr)} $$$$ 24 - 2l = 30 - 4l $$$$ 4l - 2l = 30 - 24 $$$$ 2l = 6 $$$$ l = \frac{6}{2} $$$$ p = 9 $$ -
Déduction du second paramètre
Pour déterminer \(p\), on reprend une des lignes de notre système :
$$ p + \textcolor{#6187B2}{l} = 12 \hspace{3em} (L_1) $$$$ p + \textcolor{#6187B2}{3} = 12 $$$$ p = 12 - 3 $$$$ p = 9 $$
Au final, on a trouvé le résultat suivant :
Les prix du marché
Deux amis ont acheté tous deux des pommes de terres ainsi que des carottes au marché :
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le premier a acheté : \(2 \ kg\) de pommes de terres et \(3 \ kg\) de carottes pour \(13.60 \text{ €}\)
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le second a acheté : \(1.5 \ kg\) de pommes de terres et \(3.5 \ kg\) de carottes pour \(14.20 \text{ €}\)
Quels sont les prix respectifs des pommes de terre et des carottes ?
On a le système suivant :
Le mieux pour ce problème est de résoudre par combinaison.
Maintenant, on peut faire la soustraction des deux lignes :
On en déduit \(p\) avec par exemple la ligne \((3L_1)\) :
Soit le résultat suivant :
Le système complexe
Soit \((a, b) \in \mathbb{N}\) deux entiers naturels.
Trouver la valeur du couple unique de solutions \((a, b)\) qui résoud le système \((S)\) suivant :
On commence par factorisation \((L_2)\)
On peut maintenant injecter la valeur de \((a+b)\) de \((L_1)\) dans son équivalent dans \((L_2^*)\) :
On développe \((L_2^{**})\), puis on se retrouve avec un nouveau système \((S')\) à résoudre :
Résolvons--le par combinaison :
On peut maintenant soustraire les deux lignes :
Enfin, on détermine l'autre paramétre grâce à une des lignes :
Soit le résultat suivant :