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Autour du cercle, deux résultats : des mesures à calculer, et un angle droit caché dans un demi-cercle.
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Calculer la longueur d'un cercle et l'aire d'un disque
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Calculer l'aire d'un secteur de disque à partir de son angle
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Reconnaître un triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle
Une roue de vélo mesure \(70 \ \text{cm}\) de diamètre. Un tour de roue avance de la longueur du cercle :
Le tour d'un cercle et l'aire du disque se calculent avec \(\pi\).
Longueur du cercle et aire du disque
Soit un cercle de rayon \(R\).
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Longueur du cercle
La longueur du cercle, ou périmètre, est :
$$ \mathcal{P} = 2 \pi R $$ -
Disque entier
L'aire du disque entier est :
$$ \mathcal{A}_{\text{disque}} = \pi R^2 $$ -
Secteur de disque
un cercle de rayon \(R\) balayé par un angle au centre \(\alpha\) L'aire d'un secteur est proportionnelle à son angle au centre. Pour un angle \(\alpha\) en degrés :
$$ \mathcal{A}_{\text{secteur}} = \frac{\alpha}{360} \times \pi R^2 $$Exemple :
Un secteur de rayon \(3 \ \text{cm}\) et d'angle \(60°\) :
$$ \mathcal{A} = \frac{60}{360} \times \pi \times 3^2 $$$$ \mathcal{A} = \frac{9\pi}{6} $$$$ \mathcal{A} = 1.5\pi \simeq 4.71 \ \text{cm}^2 $$
Triangle inscrit dans un demi-cercle
Soit un triangle \(ABC\) inscrit dans un cercle de diamètre \(\bigl[BC\bigr]\).
Il est rectangle en \(A\) :
Si un triangle inscrit dans un cercle a pour côté un diamètre, alors il est rectangle.