Géométrie du triangle

Dans un triangle ordinaire

Dans un triangle ordinaire \(\bigl \{ a, b, c\bigr\}\) avec :

Sommes des angles

La somme des angles d'un triangle vaut \(180°\).

Aire d'un triangle

Pour l'aire du triangle, on projette une hauteur sur un côté, par exemple \(c\) :

D'où :

En général, l'aire d'un triangle vaut :

Similarités de deux triangles

Deux triangles semblables

Deux triangles sont dits semblables lorsqu'ils ont:

• leurs longueurs respectives proportionnelles;

• leurs angles respectivement égaux.

Il existe un rapport \(\textcolor{rgb(163 96 190)}{k}\) entre les longueurs respectives :

Ce rapport \(\textcolor{rgb(163 96 190)}{k}\) correspond à :

• un agrandissement (si \(\textcolor{rgb(163 96 190)}{k} > 1\));

• une réduction (si \(\textcolor{rgb(163 96 190)}{k} < 1\));

• une conservation (si \(\textcolor{rgb(163 96 190)}{k} = 1\)).

Les angles sont conservés :

Il existe trois cas de similitude :

Théorème(s) de Thalès

Soit un triangle \(ADE\), \(B \in (AD)\) et \(C \in (AE)\).

Première configuration : deux triangles semblables imbriqués \( ABC \) et \( ADE \).

Seconde configuration : deux triangles semblables par l'extérieur.

1. Théorème

   Le parallélisme donne des longueurs proportionnelles :

   $$(BC) \parallel (DE) \Longrightarrow \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \hspace{2em} \bigl(\text{Thalès (théorème)} \bigr) $$

   Et aussi sa contraposée:

   $$ \Biggl( \frac{AB}{AD} \neq \frac{AC}{AE}\Biggr) \quad \text{ou} \quad \Biggl(\frac{AB}{AD} \neq \frac{BC}{DE} \Biggr) \quad \text{ou} \quad \Biggl(\frac{AC}{AE} \neq \frac{BC}{DE}\Biggr) \Longrightarrow (BC) \cancel{\parallel} (DE) \hspace{2em} \bigl(\text{Thalès (contraposée)} \bigr) $$
2. Réciproque

   La réciproque déduit une relation de parallélisme de relations de proportionnalité :

   $$ \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \Longrightarrow (BC) \parallel (DE) \hspace{2em} \bigl(\text{Thalès (réciproque)} \bigr) $$
3. Équivalence

   Les deux implications forment une équivalence :

   $$ (BC) \parallel (DE) \Longleftrightarrow \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \hspace{2em} \bigl(\text{Thalès (équivalence)} \bigr) $$
4. Corollaire du théorème de Thalès

   

   Les milieux de deux côtés donnent une parallèle au troisième :

   $$ \Bigl( D \ \text{milieu de} \bigl[ AB \bigr] \Bigr) \quad \text{et} \quad \Bigl( E \ \text{milieu de} \bigl[ AC \bigr] \Bigr) \Longrightarrow \biggl( (DE) \parallel (BC) \biggr) \quad \text{et} \quad \Biggl( DE = \frac{1}{2}BC \Biggr) \hspace{2em} \bigl(\text{Thalès (théorème des milieux)} \bigr) $$

Dans un triangle rectangle

Théorème(s) de Pythagore

Soit un triangle \( \bigl \{ a,b,c \bigr \}\), où \(c\) est le plus grand côté.

1. Théorème

   

   Si le triangle est rectangle entre \(a\) et \(b\), on en déduit une égalité entre ses longueurs :

   $$ (a \perp b) \Longrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \hspace{2em} \bigl(\text{Pythagore (théorème)} \bigr) $$
   
   

   Et aussi sa contraposée:

   $$ a^2 + b^2 \neq c^2 \Longrightarrow (a \cancel{\perp} b) \hspace{2em} \bigl(\text{Pythagore (contraposée)} \bigr) $$

   Le théorème de Pythagore

   On projette la hauteur \( h_c\) sur l'hypoténuse \( c\), qui se divise en \(m\) et \(n\).

   

   Dans le triangle \(\{a, b, c\}\) : \(\alpha + \beta + 90° = 180°\).

   
   

   Le triangle \(\{m, \; h_c, \; a\}\) a un angle droit et l'angle \(\beta\) : son troisième angle est \(\alpha\).

   De même, le triangle \(\{h_c, \; n, \; b\}\) a un angle droit et l'angle \(\alpha\) : son troisième angle est \(\beta\).

   
   

   

   Ces triangles ont les mêmes angles : ils sont semblables, d'où :

   $$ \frac{a}{c} = \frac{m}{a} = \frac{h_c}{b} \hspace{2em} (1) $$

   $$ \frac{b}{c} = \frac{n}{b} = \frac{h_c}{a} \hspace{2em} (2) $$

   De \((1)\) et \((2)\) :

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} a^2 = cm \hspace{2em} (3) \\ b^2 = cn \hspace{2em} \ (4) \end{gather*} $$

   
   

   En additionnant \((3) \) et \((4)\) :

   $$ a^2 + b^2 = cm + cn $$

   $$ a^2 + b^2 = c(m + n) $$

   
   

   Or \(m + n = c\) :

   $$ a \perp b \Longrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \hspace{2em} \bigl(\text{Pythagore (théorème)} \bigr) $$
2. Réciproque

   

   La réciproque déduit de cette égalité le caractère rectangle du triangle :

   $$ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow (a \perp b) \hspace{2em} \bigl(\text{Pythagore (réciproque)} \bigr) $$
   
   

   Et aussi la contraposée de la réciproque:

   $$ (a \cancel{\perp} b) \Longrightarrow a^2 + b^2 \neq c^2 \hspace{2em} \bigl(\text{Pythagore (réciproque contraposée)} \bigr) $$
3. Équivalence

   Les deux forment une équivalence :

   $$ (a \perp b) \Longleftrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \hspace{2em} \bigl(\text{Pythagore (équivalence)} \bigr) $$
4. Triangle de proportions \((3 \ / \ 4 \ / \ 5)\)

   

   Soit \( k \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^*_+ \) et un triangle de côtés \( \Bigl \{ a = 3k, \ b = 4k, \ c = 5k \Bigr \} \) :

   Tout triangle de proportions \((3 \ / \ 4 \ / \ 5)\) est un triangle rectangle

   Tout triangle de proportions \((3 \ / \ 4 \ / \ 5)\) est un triangle rectangle

   On calcule :

   $$ a^2 + b^2 = (3k)^2 + (4k)^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2 $$

   $$ c^2 = (5k)^2 = 25k^2 $$

   On a :

   $$ \forall k \in \mathbb{R}^*_+, \ a^2 + b^2 = c^2 $$

   D'après la réciproque du théorème de Pythagore :

   $$ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow (a \perp b) \hspace{2em} \bigl(\text{Pythagore (réciproque)} \bigr) $$

   Le triangle est rectangle entre \(a\) et \(b\).

Trigonométrie

Les règles de trigonométrie s'appliquent dans un triangle rectangle.

Pour un angle \(\alpha\) :

Exemple :

Dans le triangle rectangle suivant :

Pour l'angle \(\alpha\) :

$$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} $$

$$\cos(\alpha) = \frac{b}{c} $$

$$\tan(\alpha) = \frac{a}{b} $$