Problèmes sur la géométrie euclidienne

L'aire d'un trapèze

Un trapèze a pour grande base \(a\), pour petite base \(b\) et pour hauteur \(h\). Son aire vaut :

1. Démontrer cette formule, en complétant le trapèze en un rectangle.

   On complète le trapèze en un rectangle de côtés \(a\) et \(h\), et l'on nomme \(b_1\) et \(b_2\) les deux longueurs qui s'ajoutent à \(b\) sur le côté du haut :

   

   L'aire du trapèze est celle du rectangle, moins les aires des deux triangles rectangles des bords :

   $$ \mathcal{A}_{\text{trapèze}} = \mathcal{A}_{\text{rectangle}} - \mathcal{A}_{\text{triangle} \ 1} - \mathcal{A}_{\text{triangle} \ 2} $$

   $$ \mathcal{A}_{\text{trapèze}} = ah - \frac{b_1 \times h}{2} - \frac{b_2 \times h}{2} $$

   Or \(a = b_1 + b + b_2\), donc :

   $$ \mathcal{A}_{\text{trapèze}} = (b_1 + b + b_2) h - \frac{b_1 h}{2} - \frac{b_2 h}{2} $$

   On met au même dénominateur, puis on factorise par \(h\) :

   $$ \mathcal{A}_{\text{trapèze}} = \frac{2b_1 h + 2bh + 2b_2 h - b_1 h - b_2 h}{2} $$

   $$ \mathcal{A}_{\text{trapèze}} = \frac{(b_1 + 2b + b_2) \times h}{2} $$

   $$ \mathcal{A}_{\text{trapèze}} = \frac{\bigl( \overbrace{b_1 + b + b_2}^{= \ a} + b \bigr) \times h}{2} $$

   $$ \mathcal{A}_{\text{trapèze}} = \frac{(a + b) \times h}{2} $$

Le théorème de Pythagore et sa réciproque

1. On dispose du triangle rectangle \(\bigl\{ a, b, c \bigr\}\) ci-dessous. Calculer les longueurs manquantes dans chacun des cas suivants.

   

   Dans tous les cas, le triangle est rectangle : le théorème de Pythagore s'applique.

   1. $$ a = 12 \ ; \ b = \ ? \ ; \ c = 20 $$
      $$ a^2 + b^2 = c^2 $$

      $$ 12^2 + b^2 = 20^2 $$

      $$ b^2 = 400 - 144 $$

      $$ b^2 = 256 $$

      $$ b = \sqrt{256} $$

      $$ b = 16 $$
   2. $$ a = \frac{3}{4} \ ; \ b = \frac{3}{4} \ ; \ c = \ ? $$
      $$ c^2 = a^2 + b^2 $$

      $$ c^2 = \left( \frac{3}{4} \right)^2 + \left( \frac{3}{4} \right)^2 $$

      $$ c^2 = \frac{9}{16} + \frac{9}{16} $$

      $$ c^2 = \frac{18}{16} $$

      $$ c = \frac{\sqrt{9 \times 2}}{\sqrt{16}} $$

      $$ c = \frac{3 \sqrt{2}}{4} $$
   3. $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{\alpha = 30°} \ ; \ a = \ ? \ ; \ b = \ ? \ ; \ c = 10 $$

      Deux longueurs manquent : la trigonométrie donne d'abord \(a\), côté opposé à l'angle \(\alpha\).

      $$ \sin(\alpha) = \frac{a}{c} $$

      $$ a = c \times \sin(\alpha) $$

      $$ a = 10 \times \frac{1}{2} $$

      $$ a = 5 $$

      Puis le théorème de Pythagore donne \(b\) :

      $$ 5^2 + b^2 = 10^2 $$

      $$ b^2 = 100 - 25 $$

      $$ b = \sqrt{75} $$

      $$ b = 5 \sqrt{3} $$
   4. $$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{\beta = 45°} \ ; \ a = \ ? \ ; \ b = 5 \ ; \ c = \ ? $$

      La tangente de l'angle \(\beta\) relie le côté opposé \(b\) et le côté adjacent \(a\) :

      $$ \tan(\beta) = \frac{b}{a} $$

      $$ a = \frac{b}{\tan(\beta)} $$

      $$ a = \frac{5}{1} $$

      $$ a = 5 $$

      Puis le théorème de Pythagore donne \(c\) :

      $$ c^2 = 5^2 + 5^2 $$

      $$ c^2 = 50 $$

      $$ c = \sqrt{25} \times \sqrt{2} $$

      $$ c = 5 \sqrt{2} $$
2. On change de triangle : \(\bigl\{ a, b, c \bigr\}\) est cette fois un triangle ordinaire, de plus grand côté \(c\). Vérifier s'il est rectangle dans chacun des cas suivants.

   

   1. $$ a = 4 \ ; \ b = 5 \ ; \ c = 6 $$
      $$ a^2 + b^2 = 16 + 25 $$

      $$ a^2 + b^2 = 41 $$

      $$ c^2 = 6^2 $$

      $$ c^2 = 36 $$

      Donc \(a^2 + b^2 \neq c^2\), et d'après la contraposée du théorème de Pythagore :

      $$ a^2 + b^2 \neq c^2 \Longrightarrow (a \cancel{\perp} b) \hspace{2em} \bigl( \text{Pythagore (contraposée)} \bigr) $$

      $$ \text{le triangle n'est pas rectangle} $$
   2. $$ a = 2 \ ; \ b = 4 \ ; \ c = 5 $$
      $$ a^2 + b^2 = 4 + 16 $$

      $$ a^2 + b^2 = 20 $$

      $$ c^2 = 5^2 $$

      $$ c^2 = 25 $$

      Donc \(a^2 + b^2 \neq c^2\), et d'après la contraposée du théorème de Pythagore :

      $$ a^2 + b^2 \neq c^2 \Longrightarrow (a \cancel{\perp} b) \hspace{2em} \bigl( \text{Pythagore (contraposée)} \bigr) $$

      $$ \text{le triangle n'est pas rectangle} $$
   3. $$ a = \frac{5}{3} \ ; \ b = \frac{\sqrt{11}}{3} \ ; \ c = 2 $$
      $$ a^2 + b^2 = \left( \frac{5}{3} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{11}}{3} \right)^2 $$

      $$ a^2 + b^2 = \frac{25}{9} + \frac{11}{9} $$

      $$ a^2 + b^2 = \frac{36}{9} $$

      $$ a^2 + b^2 = 4 $$

      $$ c^2 = 2^2 $$

      $$ c^2 = 4 $$

      Donc \(a^2 + b^2 = c^2\), et d'après la réciproque du théorème de Pythagore :

      $$ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow (a \perp b) \hspace{2em} \bigl( \text{Pythagore (réciproque)} \bigr) $$

      $$ \text{le triangle est rectangle} $$

   4. Dans ce dernier cas, les côtés sont proportionnels à \(3\), \(4\) et \(5\) : \(a = 3k\), \(b = 4k\) et \(c = 5k\), avec \(k > 0\). Démontrer la proposition suivante.

      Tout triangle dont les côtés sont proportionnels à \(3\), \(4\) et \(5\) est un triangle rectangle.

      $$ a^2 + b^2 = (3k)^2 + (4k)^2 $$

      $$ a^2 + b^2 = 9k^2 + 16k^2 $$

      $$ a^2 + b^2 = 25k^2 $$

      $$ c^2 = (5k)^2 $$

      $$ c^2 = 25k^2 $$

      Quel que soit \(k > 0\), on a donc \(a^2 + b^2 = c^2\), et d'après la réciproque du théorème de Pythagore :

      $$ \text{le triangle est rectangle, pour tout} \ k > 0 $$

Le quadrilatère inscrit dans un autre quadrilatère

Sur le graphique ci-dessous, on trace un quadrilatère quelconque \(ABCD\), puis les points \(I\), \(J\), \(K\) et \(L\), milieux respectifs de \(\bigl[AB\bigr]\), de \(\bigl[BC\bigr]\), de \(\bigl[CD\bigr]\) et de \(\bigl[DA\bigr]\).

1. On étudie le quadrilatère \(IJKL\).

   1. Construire la figure, puis conjecturer la nature du quadrilatère \(IJKL\).

      

      Ses côtés opposés semblent parallèles :

      $$ IJKL \ \text{semble être un parallélogramme} $$

   2. Démontrer cette conjecture.

      Dans le triangle \(ABD\), \(I\) et \(L\) sont les milieux respectifs de \(\bigl[AB\bigr]\) et de \(\bigl[AD\bigr]\). D'après le théorème des milieux, \((IL) \parallel (BD)\). Dans le triangle \(CBD\), \(J\) et \(K\) sont les milieux de \(\bigl[CB\bigr]\) et de \(\bigl[CD\bigr]\), donc de même \((JK) \parallel (BD)\).

      Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles :

      $$ (IL) \parallel (JK) $$

      Le même raisonnement dans les triangles \(BAC\) et \(DAC\) donne \((IJ) \parallel (AC)\) et \((LK) \parallel (AC)\), donc :

      $$ (IJ) \parallel (LK) $$

      Le quadrilatère \(IJKL\) a ses côtés opposés parallèles deux à deux :

      $$ IJKL \ \text{est un parallélogramme} $$

Construction d'un hexagone régulier

On travaille sur le graphique suivant.

1. Construire un hexagone régulier en suivant les étapes ci-dessous.

   1. Tracer le cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(R = 4\).

   2. Prendre l'écartement du rayon au compas et, en piquant sur un point du cercle, reporter une marque sur le cercle.

   3. Recommencer depuis chaque nouvelle marque, jusqu'à retomber sur le point de départ.

   4. Tracer les trois droites qui joignent deux marques opposées en passant par \(O\), puis les six côtés de l'hexagone.

   

   Le rayon se reporte exactement six fois sur le cercle : les six marques sont les sommets de l'hexagone, et les trois diagonales passant par \(O\) le découpent en six triangles.

2. On étudie cet hexagone régulier, de centre \(O\) et de rayon \(R\).

   1. Justifier à partir de la construction que les six triangles de centre \(O\) sont équilatéraux.

      Chacun de ces triangles a deux côtés qui sont des rayons du cercle, de longueur \(R\). Son troisième côté est un côté de l'hexagone, reporté au compas avec l'écartement \(R\). Ses trois côtés mesurent \(R\) :

      $$ \text{les six triangles sont équilatéraux} $$

   2. En déduire la somme des angles de l'hexagone.

      Les angles d'un triangle équilatéral mesurent \(60°\). En chaque sommet, l'angle de l'hexagone est formé de deux de ces angles, et mesure donc \(120°\). Il y a six sommets :

      $$ S = 6 \times 120° $$

      $$ S = 720° $$

   3. Exprimer l'aire de l'hexagone en fonction de \(R\), puis la calculer pour \(R = 4\).

      Dans un triangle équilatéral de côté \(R\), la hauteur \(h\) tombe au milieu du côté opposé. Le théorème de Pythagore dans l'un des deux demi-triangles donne :

      $$ \left( \frac{R}{2} \right)^2 + h^2 = R^2 $$

      $$ h^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} $$

      $$ h^2 = \frac{3R^2}{4} $$

      $$ h = \frac{\sqrt{3}}{2} R $$

      L'aire d'un triangle vaut alors :

      $$ \mathcal{A}_{\text{triangle}} = \frac{R \times h}{2} $$

      $$ \mathcal{A}_{\text{triangle}} = \frac{1}{2} \times R \times \frac{\sqrt{3}}{2} R $$

      $$ \mathcal{A}_{\text{triangle}} = \frac{\sqrt{3}}{4} R^2 $$

      L'hexagone est formé de six de ces triangles :

      $$ \mathcal{A}_{\text{hexagone}} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} R^2 $$

      $$ \mathcal{A}_{\text{hexagone}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} R^2 $$

      Pour \(R = 4\) :

      $$ \mathcal{A}_{\text{hexagone}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 16 $$

      $$ \mathcal{A}_{\text{hexagone}} = 24 \sqrt{3} \approx 41{,}6 \ \text{unités d'aire} $$

Deux triangles rectangles imbriqués

Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(B\), avec \(AB = 4\) et \(BC = 6\). On place \(K\), le milieu de \(\bigl[BC\bigr]\), puis \(M\), le projeté orthogonal de \(K\) sur le côté \(\bigl[AC\bigr]\).

1. Justifier que les triangles \(ABC\) et \(KMC\) sont semblables, puis calculer \(AC\), \(MK\) et \(MC\).

   Les triangles \(ABC\) et \(KMC\) sont rectangles, en \(B\) et en \(M\), et ont l'angle de sommet \(C\) en commun. Ils ont deux angles deux à deux égaux : ils sont semblables, et le troisième angle est aussi le même.

   

   Le théorème de Pythagore dans \(ABC\) donne l'hypoténuse :

   $$ AC^2 = 4^2 + 6^2 $$

   $$ AC^2 = 52 $$

   $$ AC = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13} $$

   Le sommet \(B\) correspond à \(M\) (angle droit), \(C\) à \(C\), et \(A\) à \(K\). Les longueurs sont proportionnelles, avec \(KC = 3\) puisque \(K\) est le milieu de \(\bigl[BC\bigr]\) :

   $$ \frac{MK}{BA} = \frac{MC}{BC} = \frac{KC}{AC} $$

   $$ \frac{MK}{4} = \frac{MC}{6} = \frac{3}{2 \sqrt{13}} $$

   $$ MK = \frac{4 \times 3}{2 \sqrt{13}} $$

   $$ MK = \frac{6}{\sqrt{13}} = \frac{6 \sqrt{13}}{13} $$

   $$ MC = \frac{6 \times 3}{2 \sqrt{13}} $$

   $$ MC = \frac{9}{\sqrt{13}} = \frac{9 \sqrt{13}}{13} $$
2. Le point \(M\) partage le même segment \(\bigl[AC\bigr]\) en deux. En déduire la longueur \(AM\), puis vérifier les résultats précédents en calculant \(MK^2 + MC^2\).

   Le point \(M\) est sur \(\bigl[AC\bigr]\), donc \(AM = AC - MC\) :

   $$ AM = 2 \sqrt{13} - \frac{9 \sqrt{13}}{13} $$

   $$ AM = \frac{26 \sqrt{13}}{13} - \frac{9 \sqrt{13}}{13} $$

   $$ AM = \frac{17 \sqrt{13}}{13} $$

   Le triangle \(KMC\) est rectangle en \(M\), d'hypoténuse \(KC = 3\) : on doit retrouver \(3^2 = 9\).

   $$ MK^2 + MC^2 = \frac{36}{13} + \frac{81}{13} $$

   $$ MK^2 + MC^2 = \frac{117}{13} $$

   $$ MK^2 + MC^2 = 9 = KC^2 $$

Relations trigonométriques

Dans le triangle rectangle \(\bigl\{ a, b, c \bigr\}\) ci-dessous, on sait que \(\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

1. Calculer les deux autres rapports trigonométriques de l'angle \(\alpha\) : \(\cos(\alpha)\) et \(\tan(\alpha)\).

   Aide : \(\alpha\) est un angle aigu du triangle rectangle, donc \(\cos(\alpha)\) est positif. Des deux nombres dont le carré vaut \(\cos^2(\alpha)\), c'est le positif qui convient.

   La relation fondamentale donne \(\cos^2(\alpha)\) :

   $$ \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 $$

   $$ \cos^2(\alpha) = 1 - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 $$

   $$ \cos^2(\alpha) = 1 - \frac{3}{4} $$

   $$ \cos^2(\alpha) = \frac{1}{4} $$

   Et comme \(\cos(\alpha) > 0\) :

   $$ \cos(\alpha) = \frac{1}{2} $$

   La tangente est le quotient du sinus par le cosinus :

   $$ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $$

   $$ \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 $$

   $$ \tan(\alpha) = \sqrt{3} $$
2. Dans ce même triangle, en déduire \(\sin(\beta)\), \(\cos(\beta)\) et \(\tan(\beta)\), puis donner les mesures des angles \(\alpha\) et \(\beta\).

   Le côté opposé à \(\beta\) est le côté adjacent à \(\alpha\), et inversement :

   $$ \sin(\beta) = \frac{b}{c} = \cos(\alpha) $$

   $$ \sin(\beta) = \frac{1}{2} $$

   $$ \cos(\beta) = \frac{a}{c} = \sin(\alpha) $$

   $$ \cos(\beta) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

   $$ \tan(\beta) = \frac{b}{a} = \frac{1}{\tan(\alpha)} $$

   $$ \tan(\beta) = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

   L'angle aigu dont le cosinus vaut \(\frac{1}{2}\) est une valeur remarquable : \(\alpha = 60°\). Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires, donc \(\beta = 90° - 60°\), ce que confirme \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\).

   $$ \alpha = 60° \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \beta = 30° $$

Deux cercles tangents

Deux cercles de centres \(O\) et \(O'\) et de rayons \(R\) et \(r\), avec \(R > r\), sont tangents extérieurement. Leurs diamètres \(\bigl[AB\bigr]\) et \(\bigl[A'B'\bigr]\) sont parallèles, et les droites \((AA')\) et \((BB')\) se coupent en \(K\).

1. On cherche où se trouve le point \(K\).

   1. Justifier que les points \(O\), \(O'\) et \(K\) sont alignés.

      Dans le triangle \(KAB\), \(A'\) est sur \(\bigl[KA\bigr]\), \(B'\) sur \(\bigl[KB\bigr]\) et \((A'B') \parallel (AB)\). D'après le théorème de Thalès :

      $$ \frac{KA'}{KA} = \frac{KB'}{KB} = \frac{A'B'}{AB} = \frac{2r}{2R} = \frac{r}{R} $$

      La droite \((KO)\) coupe \(\bigl[A'B'\bigr]\) en un point \(P\). Le théorème de Thalès dans le triangle \(KAO\), puis dans le triangle \(KBO\), donne :

      $$ \frac{A'P}{AO} = \frac{KA'}{KA} = \frac{r}{R} $$

      $$ \frac{B'P}{BO} = \frac{KB'}{KB} = \frac{r}{R} $$

      Comme \(AO = BO = R\), on obtient \(A'P = B'P = r\) : le point \(P\) est le milieu de \(\bigl[A'B'\bigr]\), c'est-à-dire \(O'\). Le point \(O'\) est donc sur la droite \((KO)\) :

      Les points \(O\), \(O'\) et \(K\) sont alignés, et le théorème de Thalès dans le triangle \(KAO\) donne aussi :

      $$ \frac{KO'}{KO} = \frac{r}{R} $$

   2. En fonction de \(R\) et de \(r\), déterminer \(OO'\), puis en déduire \(O'K\) et \(OK\).

      Les cercles sont tangents extérieurement : le point de contact est sur \(\bigl[OO'\bigr]\), à la distance \(R\) de \(O\) et \(r\) de \(O'\).

      $$ OO' = R + r $$

      Le point \(O'\) est entre \(K\) et \(O\), donc \(KO = KO' + R + r\). La relation \(R \times KO' = r \times KO\) s'écrit alors :

      $$ R \times KO' \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{=} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{r \times KO'} + r(R + r) $$

      $$ R \times KO' \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- r \times KO'} = r(R + r) $$

      $$ (R - r) \times KO' = r(R + r) $$

      On divise les deux membres par \(R - r\), qui n'est pas nul :

      $$ \frac{(R - r) \times KO'}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{R - r}} = \frac{r(R + r)}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{R - r}} $$

      $$ O'K = \frac{r(R + r)}{R - r} $$

      Puis :

      $$ OK = \frac{r(R + r)}{R - r} + (R + r) $$

      $$ OK = \frac{r(R + r) + (R - r)(R + r)}{R - r} $$

      $$ OK = \frac{R(R + r)}{R - r} $$

De Laillé à Seattle le long d'un parallèle

On dispose des coordonnées GPS suivantes :

On admet que les deux villes ont la même latitude, celle de Laillé, et que la Terre est une boule de rayon \(R = 6 \ 378 \ \text{km}\).

1. On va de Laillé à Seattle en restant sur ce même parallèle. Calculer le rayon \(R'\) du cercle parallèle, puis la longueur du trajet, arrondie au kilomètre.

   Le centre de la Terre, le centre du parallèle et la ville forment un triangle rectangle d'hypoténuse \(R\). Le rayon \(R'\) du parallèle y est le côté adjacent à l'angle de latitude \(\alpha\) :

   $$ \cos(\alpha) = \frac{R'}{R} $$

   $$ R' = 6 \ 378 \times \cos(47{,}978823°) $$

   $$ R' \approx 4 \ 269{,}47 \ \text{km} $$

   Les deux villes sont séparées en longitude de :

   $$ \bigl( - 1{,}721482 \bigr) - \bigl( - 122{,}206822 \bigr) = 120{,}48534° $$

   La longueur d'un arc est proportionnelle à son angle : un tour complet, \(360°\), mesure \(2 \pi R'\).

   $$ L = 2 \pi R' \times \frac{120{,}48534}{360} $$

   $$ L \approx 8 \ 978 \ \text{km} $$

Théorème de Pythagore et demi-disques

Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\), et le cercle de diamètre \(\bigl[BC\bigr]\), qui passe par \(A\). Sur les côtés \(\bigl[AB\bigr]\) et \(\bigl[AC\bigr]\), on construit vers l'extérieur les demi-disques de diamètres \(\bigl[AB\bigr]\) et \(\bigl[AC\bigr]\).

On note \(S_{ABC}\) l'aire du triangle \(ABC\), et \(S_1\) et \(S_2\) les aires des parties des demi-disques de diamètres \(\bigl[AB\bigr]\) et \(\bigl[AC\bigr]\) situées hors du disque de diamètre \(\bigl[BC\bigr]\).

1. Démontrer que \(S_{ABC} = S_1 + S_2\).

   Un demi-disque de diamètre \(d\) a pour aire \(\frac{1}{2} \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 = \frac{\pi d^2}{8}\).

   Aux deux petits demi-disques, on retire ce qu'ils ont en commun avec le demi-disque de diamètre \(\bigl[BC\bigr]\) situé du côté de \(A\) : ce demi-disque privé du triangle \(ABC\).

   $$ S_1 + S_2 = \frac{\pi AB^2}{8} + \frac{\pi AC^2}{8} - \left( \frac{\pi BC^2}{8} - S_{ABC} \right) $$

   $$ S_1 + S_2 = \frac{\pi}{8} \bigl( AB^2 + AC^2 - BC^2 \bigr) + S_{ABC} $$

   Or le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) : d'après le théorème de Pythagore, \(AB^2 + AC^2 = BC^2\).

   $$ S_1 + S_2 = \frac{\pi}{8} \underbrace{\bigl( BC^2 - BC^2 \bigr)}_{= \ 0} + S_{ABC} $$

   $$ S_{ABC} = S_1 + S_2 $$

Le yin et le yang

Le yin et le yang sont un emblème de la philosophie chinoise. Très présent dans le taoïsme, le symbole représente :

• la nature double des choses (le féminin et le masculin, le vide et le plein, le chaud et le froid...) ;

• le mouvement perpétuel de la vie.

Sur la figure suivante, le point \(K\) se déplace sur le diamètre \(\bigl[AB\bigr]\). Les deux parties sont délimitées par le grand cercle et par deux demi-cercles de diamètres \(\bigl[AK\bigr]\) et \(\bigl[KB\bigr]\) ; on note \(S_1\) l'aire de la partie sombre et \(S_2\) celle de la partie claire.

1. Montrer que le rapport des deux aires est égal au rapport des deux longueurs séparées par \(K\) : \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{AK}{KB}\).

   Un demi-disque de diamètre \(d\) a pour aire \(\frac{\pi d^2}{8}\). La partie sombre est le demi-disque supérieur de diamètre \(\bigl[AB\bigr]\), plus le demi-disque inférieur de diamètre \(\bigl[AK\bigr]\), moins le demi-disque supérieur de diamètre \(\bigl[KB\bigr]\) ; la partie claire, l'inverse :

   $$ S_1 = \frac{\pi}{8} \bigl( AB^2 + AK^2 - KB^2 \bigr) $$

   $$ S_2 = \frac{\pi}{8} \bigl( AB^2 - AK^2 + KB^2 \bigr) $$

   Or \(AB = AK + KB\). On développe \(AB^2\) dans chaque parenthèse :

   $$ AB^2 + AK^2 - KB^2 = AK^2 + 2 AK \times KB + KB^2 + AK^2 - KB^2 = 2 AK \bigl( AK + KB \bigr) $$

   $$ AB^2 - AK^2 + KB^2 = AK^2 + 2 AK \times KB + KB^2 - AK^2 + KB^2 = 2 KB \bigl( AK + KB \bigr) $$

   Le rapport se simplifie par \(\frac{\pi}{8}\), puis par \(2 \bigl( AK + KB \bigr)\) :

   $$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{\cancel{2} AK \cancel{\bigl( AK + KB \bigr)}}{\cancel{2} KB \cancel{\bigl( AK + KB \bigr)}} $$

   $$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{AK}{KB} $$

L'antenne des trois villages

Trois villages \(A\), \(B\) et \(C\) forment un triangle rectangle en \(B\), avec \(AB = 5 \ \text{km}\) et \(BC = 12 \ \text{km}\). La communauté de communes veut installer une antenne relais au point \(O\) situé à la même distance des trois villages.

1. Tracer sur la figure les médiatrices de \(\bigl[AB\bigr]\) et de \(\bigl[BC\bigr]\), et nommer \(O\) leur point d'intersection. Démontrer que \(OA = OB = OC\), puis que \(O\) est aussi sur la médiatrice de \(\bigl[AC\bigr]\).

   Tout point de la médiatrice d'un segment est à égale distance de ses extrémités. \(O\) est sur la médiatrice de \(\bigl[AB\bigr]\), donc \(OA = OB\) ; il est sur celle de \(\bigl[BC\bigr]\), donc \(OB = OC\).

   $$ OA = OB = OC $$

   En particulier \(OA = OC\). Réciproquement, un point à égale distance des extrémités d'un segment est sur sa médiatrice : \(O\) est sur la médiatrice de \(\bigl[AC\bigr]\). Les trois médiatrices se coupent donc en \(O\), centre du cercle circonscrit au triangle \(ABC\).

2. L'antenne choisie porte à \(6 \ \text{km}\), et le vendeur assure qu'elle couvre les trois villages. Dans un repère orthonormé d'origine \(B\), d'unité le kilomètre, on a \(A\bigl[0 \ ; \ 5\bigr]\) et \(C\bigl[12 \ ; \ 0\bigr]\). Déterminer les coordonnées de \(O\), puis trancher.

   \(\bigl[AB\bigr]\) est porté par l'axe des ordonnées, de milieu \(\bigl[0 \ ; \ 2{,}5\bigr]\) : sa médiatrice est la droite horizontale passant par ce milieu, et tous ses points ont pour ordonnée \(2{,}5\). De même, la médiatrice de \(\bigl[BC\bigr]\) est verticale et passe par \(\bigl[6 \ ; \ 0\bigr]\) : ses points ont pour abscisse \(6\).

   $$ O\Bigl[ 6 \ ; \ 2{,}5 \Bigr] $$

   La distance de \(O\) à \(B\) donne le rayon d'action nécessaire :

   $$ OB = \sqrt{6^2 + 2{,}5^2} $$

   $$ OB = \sqrt{36 + 6{,}25} $$

   $$ OB = \sqrt{42{,}25} $$

   $$ OA = OB = OC = 6{,}5 \ \text{km} $$

   Les trois villages sont exactement à \(6{,}5 \ \text{km}\) de l'antenne, plus loin que sa portée de \(6 \ \text{km}\) : le vendeur a tort, aucun des trois n'est couvert. Le point \(O\) est d'ailleurs le milieu de l'hypoténuse \(\bigl[AC\bigr]\), qui mesure \(13 \ \text{km}\).

   $$ \text{l'antenne ne couvre aucun des trois villages} $$

Le triangle du ferronnier

Un ferronnier découpe entièrement une barre d'acier de \(90 \ \text{cm}\) en trois morceaux, dont les longueurs \(a\), \(b\) et \(c\), en centimètres, sont des nombres entiers. Il les soude en un triangle rectangle d'hypoténuse \(c\), avec \(a \leqslant b\).

1. Vérifier que les longueurs \(15\), \(36\) et \(39\) conviennent. Le ferronnier aurait préféré un triangle aux côtés proportionnels à \(3\), \(4\) et \(5\) : est-ce possible ?
   $$ 15 + 36 + 39 = 90 $$

   Le plus grand côté mesure \(39\). On calcule séparément :

   $$ 15^2 + 36^2 = 225 + 1 \ 296 = 1 \ 521 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 39^2 = 1 \ 521 $$

   L'égalité de Pythagore est vérifiée ; d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle, d'hypoténuse \(39\).

   $$ a = 15 \hspace{2em} b = 36 \hspace{2em} c = 39 \hspace{2em} \text{conviennent} $$

   Des côtés proportionnels à \(3\), \(4\) et \(5\) s'écrivent \(3k\), \(4k\) et \(5k\), avec \(k > 0\) :

   $$ 3k + 4k + 5k = 90 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} 12k = 90 \hspace{2em} \text{d'où} \hspace{2em} k = 7{,}5 $$

   Les côtés mesureraient \(22{,}5\), \(30\) et \(37{,}5 \ \text{cm}\), qui ne sont pas tous entiers.

   Un triangle aux côtés proportionnels à \(3\), \(4\) et \(5\) est impossible.

2. On a toujours \(c = 90 - a - b\). Démontrer que \(a^2 + b^2 = c^2\) équivaut à \((90 - a)(90 - b) = 4 \ 050\).

   On développe \(c^2\) avec l'identité \((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\), en posant \(x = 90 - a\) et \(y = b\) :

   $$ c^2 = (90 - a)^2 - 2(90 - a)b + b^2 = 8 \ 100 - 180a + a^2 - 180b + 2ab + b^2 $$

   L'égalité \(a^2 + b^2 = c^2\) équivaut donc, en retranchant \(a^2 + b^2\) aux deux membres, à :

   $$ 0 = 8 \ 100 - 180a - 180b + 2ab $$

   puis, en divisant les deux membres par \(2\), à :

   $$ ab - 90a - 90b + 4 \ 050 = 0 $$

   On développe l'autre expression :

   $$ (90 - a)(90 - b) = 8 \ 100 - 90a - 90b + ab $$

   L'égalité \((90 - a)(90 - b) = 4 \ 050\) équivaut, en retranchant \(4 \ 050\) aux deux membres, à \(ab - 90a - 90b + 4 \ 050 = 0\) : c'est la même condition.

   $$ a^2 + b^2 = c^2 \iff (90 - a)(90 - b) = 4 \ 050 $$
3. On pose \(u = 90 - a\) et \(v = 90 - b\). Justifier que \(a \neq b\), puis que \(45 < v < u < 90\) et \(v^2 < 4 \ 050\).

   Si \(a = b\), alors \(c^2 = 2a^2\), et \(\sqrt{2} = \frac{c}{a}\) serait le quotient de deux entiers. Or \(\sqrt{2}\) est irrationnel : \(a \neq b\), donc \(a < b\), et \(v < u\).

   La longueur \(a\) est positive, donc \(u = 90 - a < 90\). Comme \(uv = 4 \ 050\) :

   $$ v = \frac{4 \ 050}{u} > \frac{4 \ 050}{90} = 45 $$

   Enfin, \(v < u\) et \(v > 0\) donnent \(v \times v < u \times v\) :

   $$ 45 < v < u < 90 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} v^2 < 4 \ 050 $$

   Comme \(63^2 = 3 \ 969\) et \(64^2 = 4 \ 096\), l'entier \(v\) est compris entre \(46\) et \(63\).

4. Trouver tous les triangles que le ferronnier peut souder, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre.

   L'entier \(v\) divise \(4 \ 050 = 2 \times 3^4 \times 5^2\) : il n'a pas d'autre facteur premier que \(2\), \(3\) et \(5\), et au plus un facteur \(2\). Entre \(46\) et \(63\), les seuls entiers sans autre facteur premier que \(2\), \(3\) et \(5\) sont \(48\), \(50\), \(54\) et \(60\) ; or \(48 = 2^4 \times 3\) et \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\) ont trop de facteurs \(2\).

   $$ v = 50 \hspace{2em} \text{ou} \hspace{2em} v = 54 $$

   On en déduit \(u = \frac{4 \ 050}{v}\), puis \(a = 90 - u\), \(b = 90 - v\) et \(c = 90 - a - b\) :

   $$ v = 50 : \quad u = 81 \hspace{2em} a = 9 \hspace{2em} b = 40 \hspace{2em} c = 41 $$

   $$ v = 54 : \quad u = 75 \hspace{2em} a = 15 \hspace{2em} b = 36 \hspace{2em} c = 39 $$

   Dans les deux cas, \(u\) et \(v\) sont entre \(45\) et \(90\) : \(a = 90 - u\), \(b = 90 - v\) et \(c = u + v - 90\) sont des entiers positifs de somme \(90\), et \((90 - a)(90 - b) = 4 \ 050\), donc \(a^2 + b^2 = c^2\) d'après la question 2. Tout triangle qui convient passe par l'une de ces deux valeurs de \(v\) : il n'y en a pas d'autre.

   Le ferronnier peut souder exactement deux triangles : \(9\), \(40\) et \(41 \ \text{cm}\), ou \(15\), \(36\) et \(39 \ \text{cm}\).

   Vérification : \(9^2 + 40^2 = 81 + 1 \ 600 = 1 \ 681 = 41^2\).

Le kiosque du parc

Un parc a la forme d'un triangle équilatéral \(ABC\) de \(120 \ \text{m}\) de côté, bordé par trois rues ; ses hauteurs mesurent \(h = 60\sqrt{3} \approx 103{,}9 \ \text{m}\). La mairie veut y construire un kiosque \(M\), relié à chaque rue par une allée perpendiculaire à la rue : \(\bigl[MP\bigr]\), \(\bigl[MQ\bigr]\) et \(\bigl[MR\bigr]\). Le prix des travaux dépend de la longueur totale \(L = MP + MQ + MR\) des allées.

1. Calculer \(L\) lorsque le kiosque est au sommet \(A\), puis lorsqu'il est au milieu \(K\) de la hauteur \(\bigl[AH\bigr]\) issue de \(A\). Que peut-on conjecturer ?

   Au sommet \(A\) : les allées vers \((AB)\) et \((AC)\) ont une longueur nulle, et l'allée vers \((BC)\) est la hauteur \(\bigl[AH\bigr]\).

   $$ L = 0 + 0 + h = h $$

   Au milieu \(K\) de \(\bigl[AH\bigr]\) : l'allée vers \((BC)\) est \(\bigl[KH\bigr]\), et \(KH = \frac{h}{2}\). Le triangle \(ABC\) est équilatéral : la hauteur \((AH)\) est son axe de symétrie, et partage l'angle de \(60°\) en \(A\) en deux angles de \(30°\). Dans le triangle \(AKR\), rectangle en \(R\), d'hypoténuse \(AK = \frac{h}{2}\) :

   $$ KR = AK \times \sin(30°) = \frac{h}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{h}{4} $$

   Par symétrie, \(KQ = KR\) :

   $$ L = \frac{h}{2} + \frac{h}{4} + \frac{h}{4} = h $$

   $$ L = h = 60\sqrt{3} \approx 103{,}9 \ \text{m} \hspace{2em} \text{dans les deux cas} $$

   On conjecture que la longueur totale des allées vaut \(h\), où que soit le kiosque.

2. Démontrer cette conjecture pour un kiosque placé n'importe où dans le parc, en découpant le triangle \(ABC\) en trois triangles de sommet \(M\).

   Les triangles \(MBC\), \(MCA\) et \(MAB\) recouvrent le triangle \(ABC\) sans se chevaucher. Leurs bases mesurent \(120 \ \text{m}\), et leurs hauteurs issues de \(M\) sont les allées :

   $$ \mathcal{A}_{ABC} = \mathcal{A}_{MBC} + \mathcal{A}_{MCA} + \mathcal{A}_{MAB} $$

   $$ \frac{120 \times h}{2} = \frac{120 \times MP}{2} + \frac{120 \times MQ}{2} + \frac{120 \times MR}{2} $$

   $$ 60h = 60(MP + MQ + MR) $$

   $$ \frac{60h}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{60}} = \frac{60(MP + MQ + MR)}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{60}} $$

   $$ MP + MQ + MR = h $$

   Si le kiosque est au bord du parc, l'un des trois triangles est aplati, d'aire nulle, et l'égalité reste vraie. Où que soit le kiosque, les allées mesurent en tout \(60\sqrt{3} \approx 103{,}9 \ \text{m}\) : son emplacement ne change pas le prix.

3. On change de parc : un square en forme de triangle \(DEF\) rectangle en \(D\), avec \(DE = 60 \ \text{m}\), \(DF = 80 \ \text{m}\) et \(EF = 100 \ \text{m}\). Le kiosque \(M\) peut s'y placer n'importe où, bords compris, et l'on note \(u\), \(v\) et \(w\) les longueurs des allées qui mènent aux rues \((DE)\), \((DF)\) et \((EF)\). Le jardinier affirme que, là encore, \(u + v + w\) ne dépend pas de l'emplacement du kiosque. Trancher.

   On compare deux emplacements.

   Au coin \(E\) : \(E\) est sur les rues \((DE)\) et \((EF)\), donc \(u = w = 0\). La rue \((DE)\) est perpendiculaire à \((DF)\) : l'allée vers \((DF)\) est \(\bigl[ED\bigr]\), et \(v = 60\).

   $$ u + v + w = 60 \ \text{m} $$

   Au coin \(D\) : \(u = v = 0\), et \(w\) est la hauteur du triangle issue de \(D\). L'aire du square, calculée de deux façons, la donne :

   $$ \frac{DE \times DF}{2} = \frac{EF \times w}{2} \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} 60 \times 80 = 100 \times w \hspace{2em} \text{d'où} \hspace{2em} w = 48 $$

   $$ u + v + w = 48 \ \text{m} $$

   Le jardinier a tort : la longueur totale vaut \(60 \ \text{m}\) au coin \(E\), mais \(48 \ \text{m}\) au coin \(D\).

4. Où placer le kiosque dans ce même square pour que la longueur totale des allées soit la plus petite ? Prouver qu'aucun autre emplacement ne fait mieux. On pourra exprimer l'aire du square à l'aide de \(u\), \(v\) et \(w\), puis comparer \(100(u + v + w)\) à \(60u + 80v + 100w\).

   Comme dans le parc, on découpe le square en trois triangles de sommet \(M\), de bases \(DE\), \(DF\) et \(EF\) :

   $$ \frac{60 \times 80}{2} = \frac{60u}{2} + \frac{80v}{2} + \frac{100w}{2} $$

   $$ 60u + 80v + 100w = 4 \ 800 $$

   Les longueurs \(u\) et \(v\) sont positives ou nulles :

   $$ 100(u + v + w) = 60u + 80v + 100w + 40u + 20v = 4 \ 800 + 40u + 20v \geqslant 4 \ 800 $$

   $$ u + v + w \geqslant 48 $$

   L'égalité n'a lieu que si \(40u + 20v = 0\), c'est-à-dire \(u = v = 0\) : le kiosque est à la fois sur la rue \((DE)\) et sur la rue \((DF)\), donc au coin \(D\). Partout ailleurs, la longueur totale dépasse \(48 \ \text{m}\).

   Le kiosque se place au coin \(D\), avec une seule allée de \(48 \ \text{m}\), perpendiculaire à la rue \((EF)\).