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Les vecteurs de papier

Une régate, un pavage d'Escher, un pantographe et un pliage : additionner et multiplier des vecteurs.

La régate

Sur la carte de route d'une régate, chaque bord est une flèche : le voilier part de \(O\) et court les six bords à la suite.

La carte de route : six flèches a, b, c, d, e, f sur un quadrillage ; le plan d'eau : le point de départ O et les trois bouées B1, B2 et B3 Carte de route
$$ \vec{a} $$
$$ \vec{b} $$
$$ \vec{c} $$
$$ \vec{d} $$
$$ \vec{e} $$
$$ \vec{f} $$
 Plan d'eau B1 B2 B3 O
Le parcours tracé à partir de O : les six bords bout à bout passent par B1, B2 et B3 et reviennent en O Carte de route
$$ \vec{a} $$
$$ \vec{b} $$
$$ \vec{c} $$
$$ \vec{d} $$
$$ \vec{e} $$
$$ \vec{f} $$
 Plan d'eau B1 B2 B3 O

  1. Écrire, à côté de chaque flèche de la carte de route, les coordonnées de son vecteur.

    $$ \vec{a}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \vec{b}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \quad \vec{c}\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \vec{d}\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix} \quad \vec{e}\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix} \quad \vec{f}\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} $$

  2. Sur le plan d'eau, tracer à partir de \(O\) les six bords mis bout à bout, dans l'ordre de \(\vec{a}\) à \(\vec{f}\). Si tout est juste, le voilier passe par les bouées \(B_1\), \(B_2\), \(B_3\), dans cet ordre, puis revient en \(O\).

    L'extrémité de chaque flèche est l'origine de la suivante : le parcours est tracé en bleu sur la figure.

  3. Le voilier atteint \(B_1\) après les bords \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\). Écrire \(\overrightarrow{OB_1}\) comme une somme de vecteurs de la carte de route, puis calculer ses coordonnées. Faire de même pour \(\overrightarrow{OB_2}\) et \(\overrightarrow{OB_3}\).

    Par la relation de Chasles, le trajet de \(O\) à une bouée est la somme des bords courus :

    $$ \overrightarrow{OB_1} = \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} $$
    $$ \overrightarrow{OB_2} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix} $$
    $$ \overrightarrow{OB_3} = \overrightarrow{OB_2} + \vec{e} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} $$

    On retrouve les déplacements lus sur le plan d'eau, de \(O\) à chaque bouée.

  4. Calculer la somme des six vecteurs, puis expliquer avec la relation de Chasles pourquoi le voilier revient en \(O\).

    $$ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{e} + \vec{f} = \begin{pmatrix} 3 + 1 - 2 - 2 - 2 + 2 \\ 1 + 3 + 2 - 1 - 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

    Mis bout à bout, les six bords vont de \(O\) au point d'arrivée : par la relation de Chasles, leur somme est le vecteur qui va de \(O\) à ce point. Elle est nulle, donc l'arrivée est en \(O\).

    $$ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{e} + \vec{f} = \vec{0} $$

Le pavage d'Escher

Le graveur Escher déformait un côté d'un parallélogramme et reportait la déformation sur le côté opposé par une translation.

La pièce 1, en dernière page, est le gabarit : un parallélogramme \(ABCD\) aux côtés \(\bigl[AB\bigr]\) et \(\bigl[AD\bigr]\) déformés.

  1. On note \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v} = \overrightarrow{AD}\). Sur la pièce 1, en carreaux, lire les coordonnées de \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\overrightarrow{AP_1}\), \(\overrightarrow{AP_2}\), \(\overrightarrow{AQ_1}\) et \(\overrightarrow{AQ_2}\). Les points \(P_1'\) et \(P_2'\) sont les images de \(P_1\) et \(P_2\) par la translation de vecteur \(\vec{v}\), \(Q_1'\) et \(Q_2'\) celles de \(Q_1\) et \(Q_2\) par la translation de vecteur \(\vec{u}\) : calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AP_1'}\), \(\overrightarrow{AP_2'}\), \(\overrightarrow{AQ_1'}\) et \(\overrightarrow{AQ_2'}\).

    $$ \vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \vec{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \quad \overrightarrow{AP_1}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \quad \overrightarrow{AP_2}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \overrightarrow{AQ_1}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \overrightarrow{AQ_2}\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} $$

    L'image de \(P_1\) par la translation de vecteur \(\vec{v}\) vérifie \(\overrightarrow{P_1P_1'} = \vec{v}\), donc par la relation de Chasles :

    $$ \overrightarrow{AP_1'} = \overrightarrow{AP_1} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} $$
    $$ \overrightarrow{AP_2'} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \quad \overrightarrow{AQ_1'} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \overrightarrow{AQ_2'} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} $$
    Le gabarit terminé : en rouge, l'image du côté déformé AB par la translation de vecteur v ; en vert, l'image du côté AD par la translation de vecteur u A P1 B C D P1′ P2′ Q1′ Q2′

  2. Placer \(P_1'\), \(P_2'\), \(Q_1'\) et \(Q_2'\) sur la pièce 1, tracer les lignes brisées \(DP_1'P_2'C\) et \(BQ_1'Q_2'C\), puis découper le gabarit en suivant tout son contour.

    Le contour du gabarit compte douze sommets ; les deux lignes tracées sont les images des deux lignes en pointillés.

  3. Dans le cadre, tracer le gabarit posé avec \(A\) sur \(A_1\) et \(B\) sur \(B_1\) : c'est la tuile 1. Tracer ses images par les translations de vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{u} + \vec{v}\), numérotées 2, 3 et 4 : si le gabarit est juste, elles s'emboîtent sans trou.

    Le cadre du pavage : un quadrillage et les deux points A1 et B1 où poser les sommets A et B du gabarit A1 B1
    Les quatre tuiles tracées au gabarit : la tuile 1 et ses images par les translations de vecteurs u, v et u + v s'emboîtent sans trou ni chevauchement 1 2 3 4 A1 B1

    Pour la tuile 2, le sommet \(A\) du gabarit va en \(B_1\), image de \(A_1\) par la translation de vecteur \(\vec{u}\) ; pour la tuile 3, en \(D_1\) ; pour la tuile 4, en \(C_1\), car \(\overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{B_1C_1} = \vec{u} + \vec{v}\). Le gabarit glisse sans tourner.

  4. Expliquer pourquoi la tuile 1 et la tuile 3 se touchent sans trou ni chevauchement : quelle ligne ont-elles en commun ?

    Le haut de la tuile 1 est la ligne \(DP_1'P_2'C\), image de son bas \(AP_1P_2B\) par la translation de vecteur \(\vec{v}\).

    La tuile 3 est l'image de la tuile 1 par cette même translation : son bas est donc lui aussi l'image de \(AP_1P_2B\).

    Les deux tuiles partagent donc exactement la ligne \(DP_1'P_2'C\) : ni trou, ni chevauchement.

Le pantographe

En 1603, l'astronome Christoph Scheiner invente le pantographe, un losange articulé de règles qui pivote autour d'un point fixe \(O\) : quand une pointe suit le dessin en \(M\), un crayon trace le point \(M'\) tel que \(\overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM}\). Le nombre \(k\) se règle sur l'appareil.

  1. Le pantographe est réglé sur \(k = 2\). Lire les coordonnées des sommets et de l'œil du poisson, calculer celles de leurs images \(A'\) à \(G'\), puis tracer le poisson agrandi. Si tout est juste, c'est le même poisson, deux fois plus grand.

    Un repère et le petit poisson : museau A, dos B, attache de la queue C, queue D et E, ventre F, œil G −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1 1 2 3 4 5 6 0 A B C D E F G O
    Nom
    \(A\)
    \(B\)
    \(C\)
    \(D\)
    \(E\)
    \(F\)
    \(G\)
    Point \(M\)
    \(\bigl( \hspace{1.4em} \ ; \ \hspace{1.4em} \bigr)\)
    \(\bigl( \hspace{1.4em} \ ; \ \hspace{1.4em} \bigr)\)
    \(\bigl( \hspace{1.4em} \ ; \ \hspace{1.4em} \bigr)\)
    \(\bigl( \hspace{1.4em} \ ; \ \hspace{1.4em} \bigr)\)
    \(\bigl( \hspace{1.4em} \ ; \ \hspace{1.4em} \bigr)\)
    \(\bigl( \hspace{1.4em} \ ; \ \hspace{1.4em} \bigr)\)
    \(\bigl( \hspace{1.4em} \ ; \ \hspace{1.4em} \bigr)\)
    Image \(M'\)
    \(\bigl( \hspace{1.4em} \ ; \ \hspace{1.4em} \bigr)\)
    \(\bigl( \hspace{1.4em} \ ; \ \hspace{1.4em} \bigr)\)
    \(\bigl( \hspace{1.4em} \ ; \ \hspace{1.4em} \bigr)\)
    \(\bigl( \hspace{1.4em} \ ; \ \hspace{1.4em} \bigr)\)
    \(\bigl( \hspace{1.4em} \ ; \ \hspace{1.4em} \bigr)\)
    \(\bigl( \hspace{1.4em} \ ; \ \hspace{1.4em} \bigr)\)
    \(\bigl( \hspace{1.4em} \ ; \ \hspace{1.4em} \bigr)\)

    Les coordonnées de \(\overrightarrow{OM}\) sont celles de \(M\), car \(O\) est l'origine du repère. Par exemple :

    $$ \overrightarrow{OA}\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OA}\begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix} $$
    Le poisson agrandi par le pantographe de coefficient 2, en vert ; le petit poisson retourné de coefficient moins un demi, en violet ; les points de Léo en rouge −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1 1 2 3 4 5 6 0 A′ B′ C′ D′ E′ F′ G′ A′′ GL FL A B C D E F G O
    Nom
    \(A\)
    \(B\)
    \(C\)
    \(D\)
    \(E\)
    \(F\)
    \(G\)
    Point \(M\)
    \((5 \ ; \ 2)\)
    \((3 \ ; \ 3)\)
    \((2 \ ; \ 2)\)
    \((1 \ ; \ 3)\)
    \((1 \ ; \ 1)\)
    \((3 \ ; \ 1)\)
    \((4 \ ; \ 2)\)
    Image \(M'\)
    \((10 \ ; \ 4)\)
    \((6 \ ; \ 6)\)
    \((4 \ ; \ 4)\)
    \((2 \ ; \ 6)\)
    \((2 \ ; \ 2)\)
    \((6 \ ; \ 2)\)
    \((8 \ ; \ 4)\)

  2. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et de \(\overrightarrow{A'B'}\), puis de \(\overrightarrow{CD}\) et de \(\overrightarrow{C'D'}\). Que remarque-t-on ? Qu'en déduire pour les côtés du poisson agrandi ?

    $$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \overrightarrow{A'B'}\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \overrightarrow{C'D'}\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} $$
    $$ \overrightarrow{A'B'} = 2\overrightarrow{AB} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{C'D'} = 2\overrightarrow{CD} $$

    Chaque côté du grand poisson est colinéaire au côté correspondant du petit, de même sens : il lui est parallèle, et deux fois plus long.

  3. Léo a reproduit le poisson à main levée. Il a placé l'image de l'œil \(G\) en \(G_L(6 \ ; \ 3)\) et celle de \(F\) en \(F_L(7 \ ; \ 2)\). Calculer \(\det\bigl(\overrightarrow{OG}, \overrightarrow{OG_L}\bigr)\) et \(\det\bigl(\overrightarrow{OF}, \overrightarrow{OF_L}\bigr)\), puis dire pour chaque point s'il est aligné avec \(O\) et son modèle, et s'il est le bon.

    $$ \det\bigl(\overrightarrow{OG}, \overrightarrow{OG_L}\bigr) = 4 \times 3 - 2 \times 6 = 0 $$

    Les points \(O\), \(G\) et \(G_L\) sont alignés, mais \(\overrightarrow{OG_L} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OG}\) : \(G_L\) est trop près de \(O\), le bon point est \(G'(8 \ ; \ 4)\).

    $$ \det\bigl(\overrightarrow{OF}, \overrightarrow{OF_L}\bigr) = 3 \times 2 - 7 \times 1 = -1 $$

    Le déterminant n'est pas nul : \(O\), \(F\) et \(F_L\) ne sont pas alignés, même si l'œil ne le voit presque pas. Le bon point est \(F'(6 \ ; \ 2)\).

  4. Pour un poisson deux fois plus petit, tête en bas, de l'autre côté de \(O\) : donner \(k\), puis placer l'image \(A''\) du museau.

    Un vecteur de sens contraire, deux fois plus court : \(k = -\frac{1}{2}\).

    $$ \overrightarrow{OA''} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{OA} \quad \Longrightarrow \quad A''({-}2.5 \ ; \ {-}1) $$

Le pliage de Varignon

En 1731, Varignon étudie les milieux des côtés d'un quadrilatère : la pièce 2, en dernière page, est quadrillée au centimètre.

  1. Découper la pièce 2, puis la plier pour amener \(A\) sur \(B\) : le pli coupe \(\bigl[AB\bigr]\) en son milieu \(I\), à marquer. Marquer de même les milieux \(J\), \(K\), \(L\) des trois autres côtés, coller la pièce dans le cadre, chaque sommet sur son point, et tracer \(IJKL\).

    Le cadre de collage : un repère et les quatre points A, B, C et D où poser les sommets de la pièce 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 0 A B C D
    La pièce collée, ses quatre plis en bleu et le quadrilatère des milieux IJKL en rouge : un parallélogramme 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 0 I J K L A B C D

  2. Calculer les coordonnées des milieux \(I\), \(J\), \(K\) et \(L\) : si les plis sont justes, ces points tombent sur eux.

    Milieu
    \(I\) de \(\bigl[AB\bigr]\)
    \(J\) de \(\bigl[BC\bigr]\)
    \(K\) de \(\bigl[CD\bigr]\)
    \(L\) de \(\bigl[DA\bigr]\)
    Coordonnées
    \(\bigl( \hspace{1.4em} \ ; \ \hspace{1.4em} \bigr)\)
    \(\bigl( \hspace{1.4em} \ ; \ \hspace{1.4em} \bigr)\)
    \(\bigl( \hspace{1.4em} \ ; \ \hspace{1.4em} \bigr)\)
    \(\bigl( \hspace{1.4em} \ ; \ \hspace{1.4em} \bigr)\)
    $$ I\left( \frac{2 + 8}{2} \ ; \ \frac{2 + 0}{2} \right) = I(5 \ ; \ 1) $$
    Milieu
    \(I\) de \(\bigl[AB\bigr]\)
    \(J\) de \(\bigl[BC\bigr]\)
    \(K\) de \(\bigl[CD\bigr]\)
    \(L\) de \(\bigl[DA\bigr]\)
    Coordonnées
    \((5 \ ; \ 1)\)
    \((9 \ ; \ 4)\)
    \((5 \ ; \ 7)\)
    \((1 \ ; \ 4)\)

  3. On passe au cas général : \(ABCD\) est quelconque. En passant par \(B\), démontrer que \(\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\), puis de même que \(\overrightarrow{LK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\), et conclure.

    La relation de Chasles fait passer par \(B\) :

    $$ \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BJ} $$

    \(I\) est le milieu de \(\bigl[AB\bigr]\) et \(J\) celui de \(\bigl[BC\bigr]\) :

    $$ \overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\right) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} $$

    De même, en passant par \(D\) :

    $$ \overrightarrow{LK} = \overrightarrow{LD} + \overrightarrow{DK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} $$

    Donc \(\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{LK}\), quel que soit le quadrilatère \(ABCD\) :

    $$ \text{les milieux des côtés d'un quadrilatère forment un parallélogramme} $$

Les pièces des exercices 2 et 4. La pièce 1 se découpe une fois terminée ; la pièce 2 suit les pointillés.

Les deux pièces à découper : le gabarit d'Escher à terminer, côtés AB et AD déjà déformés, et le quadrilatère ABCD quadrillé A B C D P1 P2 Q1 Q2 Pièce 1 A B C D Pièce 2