Généralités sur les vecteurs en seconde

Un déplacement se code par deux nombres : on additionne, on multiplie et on compare les vecteurs par le calcul.

Calculer les coordonnées d'un vecteur et reconnaître deux vecteurs égaux
Calculer la norme d'un vecteur et les coordonnées d'un milieu
Additionner des vecteurs avec la relation de Chasles ou la règle du parallélogramme
Multiplier un vecteur par un réel
Démontrer que deux vecteurs sont colinéaires avec le déterminant

Sur un plan de ville, la piscine est à $300 \ \text{m}$ à l'est et $200 \ \text{m}$ au nord de la gare. Ce trajet a une direction, un sens, une longueur.

$$ \overrightarrow{GP} \begin{pmatrix} 300 \\ 200 \end{pmatrix} $$

Passer par l'arrêt de bus n'y change rien : $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{GP}$.

Un vecteur ne dit pas où l'on est, mais de combien on se déplace.

Définition

Un vecteur

Un vecteur est un déplacement représenté par une flèche. Il se note $\vec{u}$, ou $\overrightarrow{AB}$ s'il va de $A$ à $B$.

Un vecteur non nul est défini par trois caractéristiques :

une direction, un sens et une longueur (ou norme), notée $|| \vec{u} ||$.

Relation de Chasles

Aller de $A$ à $B$, puis de $B$ à $C$, c'est aller de $A$ à $C$ :

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} $$

Coordonnées d'un vecteur

Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$

Les coordonnées d'un vecteur sont le déplacement horizontal, puis vertical, notés en colonne :

Elles se calculent par :

$$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} $$

Ces coordonnées sont signées : l'ordre des points compte.

Le calcul des coordonnées d'un vecteur

La relation de Chasles, avec l'origine $O$ du repère pour point de passage, donne :

$$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} $$

Or $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ ont les coordonnées de $A$ et de $B$ :

$$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} $$
Égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont les mêmes coordonnées :

$$ \vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} = \vec{v} \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} \Longleftrightarrow \Biggl \{ \begin{gather*} x = x' \\ y = y' \end{gather*} $$

Deux vecteurs égaux dessinent un parallélogramme :

$$ ABCD \ \text{est un parallélogramme} \Longleftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $$
Vecteur nul, vecteur opposé

Le vecteur nul $\vec{0}\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix}$ a une longueur nulle.

L'opposé de $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$ est $-\vec{u}\begin{pmatrix} -x\\ -y\end{pmatrix}$ : il va en sens contraire.

L'opposé de $\overrightarrow{AB}$ va de $B$ vers $A$ :

$$ -\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} $$
Norme et milieu

Dans un repère orthonormé, par le théorème de Pythagore :

$$ ||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $$

Le milieu $I$ de $\bigl[AB\bigr]$ a pour coordonnées la moyenne de celles de $A$ et de $B$ :

$$ I \left( \frac{x_A + x_B}{2} \ ; \ \frac{y_A + y_B}{2} \right) $$

Somme de vecteurs

Coordonnées d'une somme

Les coordonnées d'une somme sont la somme des coordonnées :

$$ \vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} + \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix} = \overrightarrow{u+v} \begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix} $$

Exemple : sur la figure de Chasles,

$$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3\\ 3\end{pmatrix} + \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 4\\ -2\end{pmatrix} = \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 7\\ 1\end{pmatrix} $$
Règle du parallélogramme

La somme de deux vecteurs de même origine est la diagonale du parallélogramme :

$$ ABCD \ \text{est un parallélogramme} \Longleftrightarrow \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} $$
Différence

Soustraire un vecteur, c'est ajouter son opposé :

$$ \vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) $$

Produit par un réel

Multiplier un vecteur par un réel $k$ multiplie ses coordonnées par $k$ :

$$ \vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad k\vec{u}\begin{pmatrix} kx\\ ky\end{pmatrix} $$

Si $k > 0$, $k\vec{u}$ a le même sens que $\vec{u}$ ; si $k < 0$, le sens contraire. Sa longueur est multipliée par $|k|$.

Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et tout réel $k$ :

$$ k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v} $$

Colinéarité

Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix}$ deux vecteurs non nuls.

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'ils ont la même direction :

$$ \vec{u} \quad \text{et} \quad \vec{v} \quad \text{colinéaires} \quad \Longleftrightarrow \quad \exists k \in \mathbb{R}, \ \vec{u} = k\vec{v} $$

Le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est :

$$ \det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y $$

Quand les deux coordonnées de $\vec{v}$ sont non nulles, la colinéarité s'écrit avec deux quotients égaux :

$$ \frac{x}{x'} = \frac{y}{y'} = k $$

Le déterminant est le produit en croix de cette égalité : c'est de là qu'il vient.

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :

$$ \vec{u} \quad \text{et} \quad \vec{v} \quad \text{colinéaires} \quad \Longleftrightarrow \quad \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 $$

Définition

Un vecteur

Relation de Chasles

Coordonnées d'un vecteur

Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\)

Égalité de deux vecteurs

Vecteur nul, vecteur opposé

Norme et milieu

Somme de vecteurs

Coordonnées d'une somme

Règle du parallélogramme

Différence

Produit par un réel

Colinéarité