Afficher en version longue
Rédiger le cours
Moon Arrows Sun
Arrows
Return Retour
Accueil Home
Imprimer

Généralités sur les vecteurs

Un déplacement se code par deux nombres : on additionne, on multiplie et on compare les vecteurs par le calcul.

Sur un plan de ville, la piscine est à \(300 \ \text{m}\) à l'est et \(200 \ \text{m}\) au nord de la gare. Ce trajet a une direction, un sens, une longueur.

$$ \overrightarrow{GP} \begin{pmatrix} 300 \\ 200 \end{pmatrix} $$

Passer par l'arrêt de bus n'y change rien : \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{GP}\).

Un vecteur ne dit pas où l'on est, mais de combien on se déplace.

Définition

Un vecteur

Un vecteur est un déplacement représenté par une flèche. Il se note \(\vec{u}\), ou \(\overrightarrow{AB}\) s'il va de \(A\) à \(B\).

Le vecteur u, de l'origine A à l'extrémité B
\(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\)
\(A\)
\(B\)
 Le vecteur u, de l'origine A à l'extrémité B - support à compléter
\(A\)
\(B\)

Un vecteur non nul est défini par trois caractéristiques :

une direction, un sens et une longueur (ou norme), notée \(|| \vec{u} ||\).

Coordonnées d'un vecteur

  1. Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\)

    Les coordonnées d'un vecteur sont le déplacement horizontal, puis vertical, notés en colonne :

    Le vecteur AB se lit de A à B : 4 carreaux vers la droite, 3 vers le haut
    \(O\)
    \(\vec{i}\)
    \(\vec{j}\)
    \(x_B - x_A = 4\)
    \(y_B - y_A = 3\)
    \(\overrightarrow{AB}\)
    \(A\)
    \(B\)
         Le vecteur AB se lit de A à B : 4 carreaux vers la droite, 3 vers le haut - support à compléter
    \(O\)
    \(\vec{i}\)
    \(\vec{j}\)
    \(A\)
    \(B\)

    Elles se calculent par :

    $$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} $$

    Ces coordonnées sont signées : l'ordre des points compte.

    Le calcul des coordonnées d'un vecteur

    Par la relation de Chasles, en passant par l'origine \(O\) :

    $$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} $$

    Or \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OB}\) ont les coordonnées de \(A\) et de \(B\) :

    $$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} $$

  2. Égalité de deux vecteurs

    Deux vecteurs sont égaux s'ils ont les mêmes coordonnées :

    $$ \vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} = \vec{v} \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} \Longleftrightarrow \Biggl \{ \begin{gather*} x = x' \\ y = y' \end{gather*} $$

    Deux vecteurs égaux dessinent un parallélogramme :

    $$ ABCD \ \text{est un parallélogramme} \Longleftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $$
    ABCD est un parallélogramme : AB et DC sont le même vecteur u
    \(\vec{u}\)
    \(\vec{u}\)
    \(C\)
    \(A\)
    \(B\)
    \(D\)
         ABCD est un parallélogramme : AB et DC sont le même vecteur u - support à compléter
    \(\vec{u}\)
    \(A\)
    \(B\)
    \(D\)

  3. Vecteur nul, vecteur opposé

    Le vecteur nul \(\vec{0}\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix}\) a une longueur nulle.

    L'opposé de \(\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}\) est \(-\vec{u}\begin{pmatrix} -x\\ -y\end{pmatrix}\) : il va en sens contraire.

    Le vecteur AB et son opposé, qui va de B vers A
    \(A\)
    \(B\)
    \(\overrightarrow{AB}\)
    \(-\overrightarrow{AB}\)
         Le vecteur AB et son opposé, qui va de B vers A - support à compléter
    \(A\)
    \(B\)
    \(\overrightarrow{AB}\)

    L'opposé de \(\overrightarrow{AB}\) va de \(B\) vers \(A\) :

    $$ -\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} $$

  4. Norme et milieu

    Dans un repère orthonormé, par le théorème de Pythagore :

    $$ ||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $$

    Le milieu \(I\) de \(\bigl[AB\bigr]\) a pour coordonnées la moyenne de celles de \(A\) et de \(B\) :

    $$ I \left( \frac{x_A + x_B}{2} \ ; \ \frac{y_A + y_B}{2} \right) $$

Somme de vecteurs

  1. Relation de Chasles

    Aller de \(A\) à \(B\), puis de \(B\) à \(C\), c'est aller de \(A\) à \(C\) :

    $$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} $$
    Relation de Chasles : aller de A à B puis de B à C, c'est aller de A à C
    \(\overrightarrow{AC}\)
    \(\overrightarrow{AB}\)
    \(\overrightarrow{BC}\)
    \(A\)
    \(B\)
    \(C\)
         Relation de Chasles : aller de A à B puis de B à C, c'est aller de A à C - support à compléter
    \(\overrightarrow{AB}\)
    \(\overrightarrow{BC}\)
    \(A\)
    \(B\)
    \(C\)

  2. Coordonnées d'une somme

    Les coordonnées d'une somme sont la somme des coordonnées :

    $$ \vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} + \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix} = \overrightarrow{u+v} \begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix} $$

    Exemple : sur la figure de Chasles,

    $$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3\\ 3\end{pmatrix} + \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 4\\ -2\end{pmatrix} = \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 7\\ 1\end{pmatrix} $$

  3. Règle du parallélogramme

    La somme de deux vecteurs de même origine est la diagonale du parallélogramme :

    $$ ABCD \ \text{est un parallélogramme} \Longleftrightarrow \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} $$
    Règle du parallélogramme : AB + AD = AC
    \(\overrightarrow{AC}\)
    \(C\)
    \(\overrightarrow{AB}\)
    \(\overrightarrow{AD}\)
    \(A\)
    \(B\)
    \(D\)
         Règle du parallélogramme : AB + AD = AC - support à compléter
    \(\overrightarrow{AB}\)
    \(\overrightarrow{AD}\)
    \(A\)
    \(B\)
    \(D\)

  4. Différence

    Soustraire un vecteur, c'est ajouter son opposé :

    $$ \vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) $$

Produit par un réel

Multiplier un vecteur par un réel \(k\) multiplie ses coordonnées par \(k\) :

$$ \vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad k\vec{u}\begin{pmatrix} kx\\ ky\end{pmatrix} $$
Le vecteur u, puis 2u de même sens et -2u de sens contraire
\(\vec{u}\)
\(2\vec{u}\)
\(-2\vec{u}\)
 Le vecteur u, puis 2u de même sens et -2u de sens contraire - support à compléter
\(\vec{u}\)

Si \(k > 0\), \(k\vec{u}\) a le même sens que \(\vec{u}\) ; si \(k < 0\), le sens contraire. Sa longueur est multipliée par \(|k|\).

Pour tous vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et tout réel \(k\) :

$$ k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v} $$

Colinéarité

Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix}\) deux vecteurs non nuls.

\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'ils ont la même direction :

$$ \vec{u} \quad \text{et} \quad \vec{v} \quad \text{colinéaires} \quad \Longleftrightarrow \quad \exists k \in \mathbb{R}, \ \vec{u} = k\vec{v} $$

Le déterminant de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est :

$$ \det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y $$

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :

$$ \vec{u} \quad \text{et} \quad \vec{v} \quad \text{colinéaires} \quad \Longleftrightarrow \quad \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 $$

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul

Si \(\vec{u} = k\vec{v}\), alors \(x = kx'\) et \(y = ky'\) :

$$ xy' - x'y = kx'y' - x'ky' = 0 $$

Réciproquement, supposons \(xy' - x'y = 0\). Comme \(\vec{v}\) est non nul, \(x' \neq 0\) ou \(y' \neq 0\).

Si \(x' \neq 0\), on pose \(k = \frac{x}{x'}\) : \(x = kx'\) et \(y = \frac{xy'}{x'} = ky'\).

Si \(x' = 0\), alors \(y' \neq 0\) ; on pose \(k = \frac{y}{y'}\) : \(y = ky'\) et \(xy' = 0\) donne \(x = 0 = kx'\).

$$ \vec{u} = k\vec{v} $$