Problèmes sur les vecteurs en seconde

Chasles, colinéarité, nature d'un triangle : les vecteurs servent à démontrer, pas seulement à représenter.

Simplifier une expression avec la relation de Chasles
Calculer des coordonnées et des normes dans un repère orthonormé
Démontrer une colinéarité, un alignement ou un parallélisme
Résoudre un problème concret avec les vecteurs

Application de la relation de Chasles

Soient deux vecteurs $(\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{CD})$.

Démontrer que :

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} $$

On fait passer $\overrightarrow{AB}$ par $D$ et $\overrightarrow{CD}$ par $B$ :

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD} $$

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \underbrace{ \overrightarrow{DB}+ \overrightarrow{BD} } _\text{ $=\vec{0}$} $$

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} $$
Construire deux vecteurs $(\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{CD})$, puis vérifier graphiquement l'égalité qui précède.

Pour une somme, on met les deux flèches bout à bout : on trace $\overrightarrow{AB}$, puis un représentant de $\overrightarrow{CD}$ qui part de $B$. On fait de même avec $\overrightarrow{AD}$ suivi d'un représentant de $\overrightarrow{CB}$ partant de $D$ : les deux sommes partent de $A$ et arrivent au même point, ce qui vérifie la première égalité.
Démontrer que :

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} -2\overrightarrow{BC} $$

On fait passer $\overrightarrow{AB}$ par $C$ et $\overrightarrow{CD}$ par $B$ :

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD} $$

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + 2\overrightarrow{CB} $$

Et comme $\overrightarrow{CB} = - \overrightarrow{BC}$ :

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} -2\overrightarrow{BC} $$
Sur le second repère, reprendre les mêmes vecteurs, puis vérifier de la même façon cette seconde égalité.

Pour la seconde, on part encore de $A$ : $\overrightarrow{AC}$, puis $\overrightarrow{BD}$ placé au bout, puis deux fois $\overrightarrow{CB}$ (c'est-à-dire $- 2\overrightarrow{BC}$) : on retombe sur le même point d'arrivée.

Simplification d'expression par la relation de Chasles

Simplifier les expressions suivantes avec la relation de Chasles.

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} $$

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} $$

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0} $$
$$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB} $$

$$ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB} $$

$$ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB} = \underbrace{ \overrightarrow{AC}- \overrightarrow{AC} } _\text{ $=\vec{0}$} + \underbrace{ \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CB} } _\text{ $=\vec{0}$} $$

$$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB} = \vec{0} $$
$$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD} $$

$$ \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD} $$

Retrancher $\overrightarrow{CD}$ revient à ajouter son opposé $\overrightarrow{DC}$ :

$$ \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD} = \underbrace{ \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AD} } _\text{ $=\vec{0}$} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DC} $$

$$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{DC} $$
$$\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} $$

$$ \overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} - 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} $$

$$ \overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{CA} + \underbrace{ \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} } _\text{ $=\vec{0}$} $$

$$ \overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + 2\overrightarrow{AC} $$

$$\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = 3\overrightarrow{AC} $$
$$3\overrightarrow{AB} +2\overrightarrow{AC} -2\overrightarrow{BD} - 2\overrightarrow{DC} $$

$$ 3\overrightarrow{AB} +2\overrightarrow{AC} -2\overrightarrow{BD} - 2\overrightarrow{DC} = 3\overrightarrow{AB} +2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) -2(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD})- 2\overrightarrow{DC} $$

$$ 3\overrightarrow{AB} +2\overrightarrow{AC} -2\overrightarrow{BD} - 2\overrightarrow{DC} = 3\overrightarrow{AB} +2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC} -2\overrightarrow{BC} -2\overrightarrow{CD} - 2\overrightarrow{DC} $$

Et $- 2\overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{DC}$ :

$$ 3\overrightarrow{AB} +2\overrightarrow{AC} -2\overrightarrow{BD} - 2\overrightarrow{DC} = 5\overrightarrow{AB} + \underbrace{ 2\overrightarrow{BC} -2\overrightarrow{BC} } _\text{ $=\vec{0}$} + \underbrace{ 2\overrightarrow{DC} - 2\overrightarrow{DC} } _\text{ $=\vec{0}$} $$

$$3\overrightarrow{AB} +2\overrightarrow{AC} -2\overrightarrow{BD} - 2\overrightarrow{DC} = 5\overrightarrow{AB} $$

La nature du triangle $A B C$

Soient deux vecteurs $(\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AC})$ tels que la figure suivante :

À première vue, quelle semble être la nature du triangle $A B C$ ?

Les côtés $\bigl[BA\bigr]$ et $\bigl[BC\bigr]$ semblent avoir la même longueur : le triangle $ABC$ semble isocèle en $B$.
Déterminer les trois jeux de coordonnées des points $(A, B, C)$

Un carreau vaut $\frac{1}{2}$ unité :

$$ A\left[ - \frac{9}{2} \ ; \ 1 \right] $$

$$ B\left[ - 3 \ ; \ \frac{7}{2} \right] $$
$$ C\left[ - \frac{3}{2} \ ; \ 1 \right] $$
Calculer les normes respectives des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$

$$ || \overrightarrow{AB} || = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $$

$$ || \overrightarrow{AB} || = \sqrt{ \left(-3 - \left( - \frac{9}{2} \right) \right )^2 + \left(\frac{7}{2} - 1 \right)^2 } $$

$$ || \overrightarrow{AB} || = \sqrt{ \left(- \frac{6}{2} + \frac{9}{2} \right )^2 + \left(\frac{7}{2} - \frac{2}{2} \right)^2 } $$

$$ || \overrightarrow{AB} || = \sqrt{ \left(\frac{3}{2} \right )^2 + \left(\frac{5}{2} \right)^2 } $$

$$ || \overrightarrow{AB} || = \sqrt{ \frac{9}{4} + \frac{25}{4} } $$

$$ || \overrightarrow{AB} || = \sqrt{ \frac{34}{4} } = \frac{\sqrt{34}}{2} $$

$$ || \overrightarrow{AC} || = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} $$

$$ || \overrightarrow{AC} || = \sqrt{ \left(- \frac{3}{2} - \left( - \frac{9}{2} \right) \right )^2 + \left(1 - 1 \right)^2 } $$

$$ || \overrightarrow{AC} || = \sqrt{ \left(- \frac{3}{2} + \frac{9}{2} \right )^2 + 0^2 } $$

$$ || \overrightarrow{AC} || = \sqrt{ \left(\frac{6}{2} \right )^2 } $$

$$ || \overrightarrow{AC} || = \sqrt{ 9 } = 3 $$

$$ || \overrightarrow{BC} || = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} $$

$$ || \overrightarrow{BC} || = \sqrt{ \left(- \frac{3}{2} - ( - 3 ) \right )^2 + \left(1 - \frac{7}{2} \right)^2 } $$

$$ || \overrightarrow{BC} || = \sqrt{ \left(- \frac{3}{2} + \frac{6}{2} \right )^2 + \left(\frac{2}{2} - \frac{7}{2} \right)^2 } $$

$$ || \overrightarrow{BC} || = \sqrt{ \left( \frac{3}{2} \right )^2 + \left(- \frac{5}{2} \right)^2 } $$

$$ || \overrightarrow{BC} || = \sqrt{ \frac{9}{4} + \frac{25}{4} } $$

$$ || \overrightarrow{BC} || = \sqrt{ \frac{34}{4} } = \frac{\sqrt{34}}{2} $$
Conclure alors sur la nature du triangle $ABC$.

On a $|| \overrightarrow{AB} || = || \overrightarrow{BC} || = \frac{\sqrt{34}}{2}$, donc $BA = BC$, alors que $AC = 3$ est différent. Le triangle $ABC$ est un triangle isocèle en $B$, comme la figure le laissait prévoir.

Thalès et les vecteurs

Soient un triangle ordinaire $ABC$, et deux points $D$ et $E$ tels que :

$$ \left \{ \begin{gather*} \overrightarrow{AD} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{AE} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{AC} \end{gather*} \right \} $$

Construire les points $(D,E)$

Le coefficient $- \frac{5}{2}$ est négatif : $D$ se place sur la droite $(AB)$, de l'autre côté de $A$ par rapport à $B$, à $\frac{5}{2}$ fois la longueur $AB$ ; de même pour $E$ sur la droite $(AC)$. Sur le quadrillage :

$$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \text{donc} \quad \overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} - 5 \\ - 5 \end{pmatrix} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} \frac{7}{2} \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{donc} \quad \overrightarrow{AE}\begin{pmatrix} - \frac{35}{4} \\ 0 \end{pmatrix} $$

$$ D\Bigl[ - 3 \ ; \ - 5.5 \Bigr] \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} E\Bigl[ - 6.75 \ ; \ - 0.5 \Bigr] $$
Démontrer par la relation de Chasles que :

$$ \overrightarrow{DE} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{BC} $$

En appliquant la relation de Chasles aux deux membres de la première relation, on a :

$$ \overrightarrow{AD} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{AB} $$

$$ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED} = -\frac{5}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}) $$

$$ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{AC} -\frac{5}{2}\overrightarrow{CB} $$

Or,

$$ \overrightarrow{AE} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{AC} $$

Donc en remplaçant on a,

$$ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AE} -\frac{5}{2}\overrightarrow{CB} $$

On retire le vecteur $\overrightarrow{AE}$, présent dans les deux membres :

$$ \overrightarrow{ED} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{CB} $$

Et en prenant l'opposé des deux membres :

$$ \overrightarrow{DE} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{BC} $$
Que peut-on en conclure pour les droites $(BC)$ et $(DE)$ ?

Les vecteurs $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires, avec le coefficient $k = - \frac{5}{2}$. Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont donc parallèles.

Colinéarité de vecteurs

Soient trois vecteurs $(\vec{u}, \ \vec{v}, \ \vec{w})$ tels que la figure suivante :

Démontrer que le vecteur $\vec{w}$ et le vecteur somme $\overrightarrow{u+v}$ sont colinéaires

On lit l'origine et l'extrémité de chaque vecteur, un carreau valant $\frac{1}{2}$ unité :

$$ \vec{u}\begin{pmatrix} \frac{3}{2} - (-2) \\ \frac{7}{2} - 2 \end{pmatrix} \hspace{2em} \vec{u}\begin{pmatrix} \frac{3}{2} + \frac{4}{2} \\ \frac{7}{2} - \frac{4}{2} \end{pmatrix} \hspace{2em} \vec{u}\begin{pmatrix} \frac{7}{2} \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix} $$

$$ \vec{v}\begin{pmatrix}5 - 2 \\ -1 -1 \end{pmatrix} \hspace{2em} \vec{v}\begin{pmatrix}3 \\-2 \end{pmatrix} $$

$$ \vec{w}\begin{pmatrix}- \frac{7}{2} - 3 \\ -2 -\left(-\frac{5}{2} \right) \end{pmatrix} \hspace{2em} \vec{w}\begin{pmatrix}- \frac{7}{2} - \frac{6}{2} \\ -\frac{4}{2} +\frac{5}{2} \end{pmatrix} \hspace{2em} \vec{w}\begin{pmatrix}- \frac{13}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

Maintenant, la somme $\overrightarrow{u+v}$ :

$$ \overrightarrow{u+v}\begin{pmatrix} \frac{7}{2} + 3 \\ \frac{3}{2} - 2 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{u+v}\begin{pmatrix} \frac{7}{2} + \frac{6}{2} \\ \frac{3}{2} - \frac{4}{2} \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{u+v}\begin{pmatrix} \frac{13}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

Pour démontrer que les deux vecteurs $(\vec{w}, \ \overrightarrow{u+v}) $ sont colinéaires, on montre que leur déterminant est nul.

$$ det(\vec{w}, \ \overrightarrow{u+v}) = - \frac{13}{2} \times \left( -\frac{1}{2} \right) - \frac{13}{2} \times \frac{1}{2} $$

$$ det(\vec{w}, \ \overrightarrow{u+v}) = \frac{13}{4} - \frac{13}{4} $$

$$det(\vec{w}, \ \overrightarrow{u+v}) = 0 $$

Alors, les deux vecteurs $(\vec{w}, \ \overrightarrow{u+v}) $ sont bien colinéaires.
Deux vecteurs $(\vec{u}, \ \vec{v}) $ sont colinéaires équivaut à dire que :

$$ \exists k \in \mathbb{R}, \ \vec{u} = k \times \vec{v} $$

Déterminer la valeur du coefficient $k$ tel que $\overrightarrow{u+v} = k \times \vec{w}$.

On a pour les coordonnées respectives des vecteurs $(\vec{w}, \ \overrightarrow{u+v}) $ :

$$ \overrightarrow{u+v}\begin{pmatrix} \frac{13}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$
$$ \vec{w}\begin{pmatrix}- \frac{13}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

Calculons ce coefficient :

$$ \overrightarrow{u+v} = k \times \vec{w} $$

$$ \begin{pmatrix} \frac{13}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{pmatrix} = k \times \begin{pmatrix}- \frac{13}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

Soit,

$$ \left \{ \begin{gather*} \frac{13}{2} = k \times \left( - \frac{13}{2} \right) \\ -\frac{1}{2} = k \times \frac{1}{2} \end{gather*} \right \} $$

En prenant le rapport des abscisses :

$$ k = \frac{\frac{13}{2}}{- \frac{13}{2}} $$

En prenant le rapport des ordonnées :

$$ k = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} $$

$$ k = -1 $$

Relation entre vecteurs

Placer deux points $(A, B)$ sur le graphique suivant :

Placer un nouveau point $C$ tel que :

$$ \overrightarrow{AC} = -\frac{3}{4} \overrightarrow{AB} \hspace{2em} (1) $$

Le coefficient $- \frac{3}{4}$ est négatif : $C$ est sur la droite $(AB)$, de l'autre côté de $A$ par rapport à $B$, à une distance de $A$ égale aux $\frac{3}{4}$ de la longueur $AB$.

Par exemple, avec $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$, on trouve $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} - 3 \\ - \frac{3}{2} \end{pmatrix}$ :
Démontrer alors que :

$$ \overrightarrow{BC} = -\frac{7}{4} \overrightarrow{AB} \hspace{2em} (2) $$

Avec la relation de Chasles appliquée au vecteur $\overrightarrow{AC}$, on a :

$$ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} $$

Grâce à la relation $(1)$, on a à présent :

$$ -\frac{3}{4} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} $$

$$ -\frac{3}{4} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} $$

$$ -\frac{3}{4} \overrightarrow{AB} - \frac{4}{4} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} $$

$$ \overrightarrow{BC} = -\frac{7}{4} \overrightarrow{AB} $$
Enfin, trouver la relation qui lie les deux vecteurs $\overrightarrow{AC} $ et $\overrightarrow{BC} $

On a les deux relations suivantes :

$$ \overrightarrow{AC} = -\frac{3}{4} \overrightarrow{AB} \hspace{2em} (1) $$

$$ \overrightarrow{BC} = -\frac{7}{4} \overrightarrow{AB} \hspace{2em} (2) $$

En multipliant les deux membres de $(2)$ par $- \frac{4}{7}$ :

$$ -\frac{4}{7} \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} \hspace{2em} (2^*) $$

En injectant la valeur de l'expression $(2^*)$ dans la $(1)$ :

$$ \overrightarrow{AC} = -\frac{3}{4} \times \left( -\frac{4}{7} \right) \overrightarrow{BC} $$

$$ \overrightarrow{AC} = \frac{3}{7} \overrightarrow{BC} $$

L'alignement des trois points

Soient deux vecteurs $(\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AC})$ tels que la figure suivante :

Construire le point $J$ tel que :

$$ \overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \hspace{2em}(1) $$

La somme de deux vecteurs de même origine est la diagonale du parallélogramme qu'ils forment : $J$ est le quatrième sommet du parallélogramme $ABJC$.
Construire le point $I$ tel que :

$$ \overrightarrow{BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BJ} \hspace{2em}(2) $$

$I$ est le milieu du segment $\bigl[BJ\bigr]$.
Enfin, construire le point $K$ tel que :

$$ \overrightarrow{BK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \hspace{2em}(3) $$

$K$ est sur le segment $\bigl[BC\bigr]$, au tiers de sa longueur en partant de $B$.
Alors démontrer que les trois points $(A,K,I)$ sont alignés.

Il suffit de trouver un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AK} = k \overrightarrow{AI}$. On exprime pour cela ces deux vecteurs en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
1. À l'aide de la relation de Chasles et de $(3)$, exprimer $\overrightarrow{AK}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
  
  Avec la relation de Chasles, on a :
  
  $$ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BK} $$
  
  Avec la relation $(3)$ qu'on injecte, on a :
  
  $$ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} $$
  
  En appliquant à nouveau Chasles :
  
  $$ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{AC}) $$
  
  $$ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} $$
  
  $$ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} $$
  
  $$ \overrightarrow{AK} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} $$
2. À l'aide de $(1)$, montrer que $\overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{AC}$, puis exprimer $\overrightarrow{AI}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
  
  D'après $(1)$ et la relation de Chasles :
  
  $$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} $$
  
  On retire $\overrightarrow{AB}$ des deux membres :
  
  $$ \overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{AC} $$
  
  Et comme avec $(2)$ on a :
  
  $$ \overrightarrow{BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BJ} \hspace{2em}(2) $$
  
  Alors par conséquent on a aussi :
  
  $$ \overrightarrow{BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \hspace{2em}(2^*) $$
  
  Par ailleurs, en appliquant Chasles au vecteur $\overrightarrow{AI}$, on a :
  
  $$ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI} $$
  
  En remplaçant le résultat de la $(2^*)$ dans celle-ci, on obtient :
  
  $$ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} $$
3. En factorisant $\overrightarrow{AK}$ par le coefficient de $\overrightarrow{AB}$, trouver le réel $k$ tel que $\overrightarrow{AK} = k \overrightarrow{AI}$, puis conclure.
  
  On factorise $\overrightarrow{AK}$ par $\frac{2}{3}$, le coefficient de $\overrightarrow{AB}$ :
  
  $$ \overrightarrow{AK} = \frac{2}{3} \left( \overrightarrow{AB} + \frac{3}{2} \times \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \right) $$
  
  $$ \overrightarrow{AK} = \frac{2}{3} \left( \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \right) $$
  
  La parenthèse est exactement $\overrightarrow{AI}$ :
  
  $$ \overrightarrow{AK} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AI} $$
  
  Les vecteurs $\overrightarrow{AK}$ et $\overrightarrow{AI}$ sont colinéaires et ont la même origine $A$ : les trois points $(A, K, I)$ sont alignés.

Retrouver un point à partir d'un vecteur

Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a placé les points $A$ et $D$ et tracé un représentant du vecteur $\vec{u}$.

Lire les coordonnées du vecteur $\vec{u}$ sur la figure.

De l'origine à l'extrémité de la flèche, on avance de $3$ carreaux vers la droite et on descend de $2$ carreaux :

$$ \vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ - 2 \end{pmatrix} $$
Léo cherche le point $B$ tel que $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$. Il écrit $B\bigl[ - 2 - 3 \ ; \ 1 - ({-}2) \bigr]$, soit $B\bigl[ - 5 \ ; \ 3 \bigr]$. Repérer son erreur, donner les bonnes coordonnées de $B$, puis placer $B$ pour vérifier.

Léo a retranché les coordonnées de $\vec{u}$ à celles de $A$ au lieu de les ajouter, et son point $B\bigl[ - 5 \ ; \ 3 \bigr]$ vérifie en fait $\overrightarrow{BA} = \vec{u}$. Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont $x_B - x_A$ et $y_B - y_A$ :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} x_B - (- 2) = 3 \\ y_B - 1 = - 2 \end{gather*} $$

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} x_B = 3 - 2 \\ y_B = - 2 + 1 \end{gather*} $$

$$ B\Bigl[ 1 \ ; \ - 1 \Bigr] $$

Sur la figure, la flèche qui va de $A$ à $B$ avance bien de $3$ carreaux vers la droite et descend de $2$ : c'est un représentant de $\vec{u}$.
On garde ce même vecteur $\vec{u}$, mais on connaît cette fois l'extrémité : le point $D$ est l'extrémité du vecteur $\overrightarrow{CD} = \vec{u}$. Retrouver l'origine $C$, puis la placer.

On lit $D\bigl[ 2 \ ; \ 4 \bigr]$ sur la figure. Les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$ sont $x_D - x_C$ et $y_D - y_C$ :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} 2 - x_C = 3 \\ 4 - y_C = - 2 \end{gather*} $$

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} x_C = 2 - 3 \\ y_C = 4 + 2 \end{gather*} $$

$$ C\Bigl[ - 1 \ ; \ 6 \Bigr] $$

Pour remonter à l'origine, on fait le trajet de $\vec{u}$ à l'envers depuis $D$ : $3$ carreaux vers la gauche, $2$ vers le haut.
On revient aux quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$. Des deux quadrilatères $ABCD$ et $ABDC$, lequel est un parallélogramme ? Justifier sans nouveau calcul.

Par construction, $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$ et $\overrightarrow{CD} = \vec{u}$, donc :

$$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} $$

Un vecteur et son translaté dont on joint les origines et les extrémités forment un parallélogramme : on joint $A$ à $C$ et $B$ à $D$, et le parallélogramme se lit $A \to B \to D \to C$.

$$ ABDC \ \text{est un parallélogramme} $$

$ABCD$ n'en est pas un : il faudrait $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, or $\overrightarrow{DC} = - \vec{u}$. Sur la figure, les côtés $\bigl[BC\bigr]$ et $\bigl[DA\bigr]$ de $ABCD$ se croisent.

Le drone de surveillance de la plage

Un drone de surveillance décolle du poste de secours $O$, origine d'un repère orthonormé dont l'unité vaut $100 \ \text{m}$. Il vole en ligne droite jusqu'à la bouée $A$ en suivant le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$, puis de la bouée $A$ à la bouée $M$ en suivant le vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ - 1 \end{pmatrix}$. Un nageur se trouve au point $S\bigl[ 4 \ ; \ 1 \bigr]$.

Calculer les coordonnées de la bouée $A$, puis celles de la bouée $M$.

Le drone part de $O\bigl[ 0 \ ; \ 0 \bigr]$, donc $\overrightarrow{OA} = \vec{u}$ donne directement $A\bigl[ 4 \ ; \ 3 \bigr]$. Pour $M$, la relation de Chasles :

$$ \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AM} = \vec{u} + \vec{v} $$

$$ \overrightarrow{OM}\begin{pmatrix} 4 + 4 \\ 3 + (- 1) \end{pmatrix} $$

$$ A\Bigl[ 4 \ ; \ 3 \Bigr] \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} M\Bigl[ 8 \ ; \ 2 \Bigr] $$
De la bouée $M$, le drone rentre au poste $O$ en ligne droite. Démontrer qu'il survole le nageur $S$.

Il faut montrer que $S$ est sur le segment $\bigl[OM\bigr]$. On compare les deux vecteurs issus de $O$ :

$$ \overrightarrow{OS}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \overrightarrow{OM}\begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix} $$

$$ det(\overrightarrow{OS}, \ \overrightarrow{OM}) = 4 \times 2 - 8 \times 1 = 0 $$

Les vecteurs sont colinéaires et ont la même origine : $O$, $S$ et $M$ sont alignés. De plus $\overrightarrow{OM} = 2 \, \overrightarrow{OS}$, donc :

$$ \overrightarrow{OS} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OM} $$

$S$ est le milieu de $\bigl[OM\bigr]$ : il est entre $O$ et $M$, et le drone passe au-dessus du nageur à mi-chemin de son retour.
On revient au moment où le drone arrive à la bouée $A$ : l'alerte est donnée pour le nageur $S$. Deux trajets sont possibles, finir la patrouille $A \to M \to O$ (en survolant $S$ au retour) ou aller droit sur le nageur puis rentrer, $A \to S \to O$. Calculer la longueur de chacun, au mètre près.

La longueur d'un trajet est la norme du vecteur déplacement :

$$ AM = || \vec{v} || = \sqrt{4^2 + (- 1)^2} = \sqrt{17} $$

$$ MO = || \overrightarrow{OM} || = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} $$

$$ AS = \sqrt{(4 - 4)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{4} = 2 $$

$$ SO = || \overrightarrow{OS} || = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17} $$

Avec l'unité de $100 \ \text{m}$ :

$$ A \to M \to O : \ 3\sqrt{17} \approx 12.37 \quad \text{soit} \quad 1 \ 237 \ \text{m} $$

$$ A \to S \to O : \ 2 + \sqrt{17} \approx 6.12 \quad \text{soit} \quad 612 \ \text{m} $$
L'autonomie du drone est de $1.7 \ \text{km}$ au total, et il a déjà parcouru le trajet de $O$ à $A$. Quel trajet le pilote doit-il choisir ? Justifier.

Le trajet de $O$ à $A$ mesure $|| \vec{u} || = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$, soit $500 \ \text{m}$. Il reste donc au drone :

$$ 1 \ 700 - 500 = 1 \ 200 \ \text{m} $$

Finir la patrouille demande $1 \ 237 \ \text{m}$ : c'est plus que les $1 \ 200 \ \text{m}$ restants, le drone tomberait en panne avant de rentrer. Le trajet $A \to S \to O$ ne demande que $612 \ \text{m}$, et il atteint le nageur après $200 \ \text{m}$ seulement, au lieu de $2\sqrt{17} \approx 8.25$, soit $825 \ \text{m}$, en passant par $M$.

$$ \text{Le pilote choisit} \ A \to S \to O, \ \text{avec une réserve d'environ} \ 588 \ \text{m} $$

Le parallélogramme du logiciel de géométrie

Dans un logiciel de géométrie, on place les points $A(0 \ ; \ 4)$ et $B(2 \ ; \ 5)$. Le point $C(4 \ ; \ t)$ glisse sur la droite $d$ d'équation $x = 4$ quand on règle le curseur $t$, et le logiciel construit le point $D$ tel que $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.

Calculer les coordonnées de $D$ en fonction de $t$, puis justifier que $ABCD$ est un parallélogramme tant que $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. Pour quelle valeur de $t$ le sont-ils ?

$$ \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 4 - 2 \\ t - 5 \end{pmatrix} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} x_D - 0 \\ y_D - 4 \end{pmatrix} $$

L'égalité $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ donne $x_D = 2$ et $y_D - 4 = t - 5$ :

$$ D(2 \ ; \ t - 1) $$

Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC}$ : l'égalité $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ donne $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Si $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés, $ABCD$ est donc un parallélogramme.

Les trois points sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4 \\ t - 4 \end{pmatrix}$ sont colinéaires :

$$ \det(\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AC}) = 2(t - 4) - 1 \times 4 = 2t - 12 $$

$A$, $B$ et $C$ sont alignés pour $t = 6$ seulement : le quadrilatère est alors aplati.
Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales ont la même longueur. Trouver toutes les valeurs de $t$ pour lesquelles $ABCD$ est un rectangle.

Le repère est orthonormé. Avec $C(4 \ ; \ t)$ et $D(2 \ ; \ t - 1)$ :

$$ AC^2 = 4^2 + (t - 4)^2 = t^2 - 8t + 32 $$

$$ BD^2 = 0^2 + (t - 1 - 5)^2 = t^2 - 12t + 36 $$

Les longueurs sont positives : $AC = BD$ équivaut à $AC^2 = BD^2$, et les termes $t^2$ s'éliminent.

$$ - 8t \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 32} \underset{\textcolor{rgb(157, 171, 234)}{\Huge \style{display:inline-block;transform:scaleY(-1)}{\curvearrowleft}}}{\overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=}} \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{- 12t} + 36 $$

$$ - 8t \textcolor{rgb(157, 171, 234)}{+ 12t} = 36 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 32} $$

$$ 4t = 4 $$

$$ \frac{4t}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{4}} = \frac{4}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{4}} $$

$$ t = 1 $$

Pour $t = 1$, les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés, puisque $1 \neq 6$ : $ABCD$ est bien un parallélogramme, et ses diagonales ont la même longueur.

Une seule position : $t = 1$, avec $C(4 \ ; \ 1)$ et $D(2 \ ; \ 0)$.

Vérification : $AC^2 = 16 + 9 = 25$ et $BD^2 = 0 + 25 = 25$.
Un parallélogramme est un losange si et seulement si deux de ses côtés consécutifs ont la même longueur. Trouver toutes les positions de $C$ pour lesquelles $ABCD$ est un losange, puis prouver qu'aucune position ne donne un carré.

$$ AB^2 = 2^2 + 1^2 = 5 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} BC^2 = 2^2 + (t - 5)^2 = (t - 5)^2 + 4 $$

$AB = BC$ équivaut à $AB^2 = BC^2$ :

$$ (t - 5)^2 \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ 4} \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 5 $$

$$ (t - 5)^2 = 5 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 4} $$

$$ (t - 5)^2 = 1 $$

Les nombres dont le carré vaut $1$ sont $1$ et $-1$ :

$$ t - 5 = 1 \hspace{2em} \text{ou} \hspace{2em} t - 5 = -1 $$

$$ t = 6 \hspace{2em} \text{ou} \hspace{2em} t = 4 $$

Pour $t = 6$, le point $C$ est en $C'(4 \ ; \ 6)$, aligné avec $A$ et $B$ (question 1) : $D(2 \ ; \ 5)$ est confondu avec $B$, la figure est aplatie, et ce n'est pas un losange. Pour $t = 4$, les points ne sont pas alignés.

Un seul losange : $t = 4$, avec $C(4 \ ; \ 4)$ et $D(2 \ ; \ 3)$.

Un carré est à la fois un rectangle et un losange. Or le seul rectangle est obtenu pour $t = 1$, et le seul losange pour $t = 4$.

Aucune position de $C$ sur la droite $d$ ne donne un carré.

Vérification pour $t = 4$ : $BC^2 = 1 + 4 = 5 = AB^2$, mais les diagonales mesurent $AC = 4$ et $BD = 2$.

Le tunnel percé des deux côtés

Le tunnel d'Eupalinos, long d'environ $1 \ \text{km}$, a été creusé sous une colline de l'île grecque de Samos au VI^e siècle avant notre ère, par deux équipes parties chacune d'un côté. Pour orienter les galeries, on peut relier l'entrée $A$ et la sortie $B$ par un chemin qui contourne la colline, fait de côtés orientés est-ouest ou nord-sud que l'on mesure. On travaille dans un repère orthonormé d'origine $A$, d'unité le mètre, dont l'axe des abscisses est orienté vers l'est.

À l'aide du relevé de la figure, calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, puis la longueur du tunnel.

Chaque côté du chemin est un vecteur, et $\overrightarrow{AB}$ est leur somme, d'après la relation de Chasles :

$$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 0 + 450 + 0 + 510 + 0 \\ 300 + 0 + 220 + 0 - 240 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 960 \\ 280 \end{pmatrix} $$

$$ AB = \sqrt{960^2 + 280^2} = \sqrt{921 \ 600 + 78 \ 400} = \sqrt{1 \ 000 \ 000} $$

$$ AB = 1 \ 000 \ \text{m} $$
L'équipe partie de $A$ creuse selon le vecteur $\vec{w}\begin{pmatrix} 24 \\ 7 \end{pmatrix}$, c'est-à-dire $7 \ \text{m}$ vers le nord pour $24 \ \text{m}$ vers l'est ; celle partie de $B$ creuse selon $-\vec{w}$. Montrer que les deux équipes creusent le long de la droite $(AB)$, puis, sachant qu'elles avancent à la même vitesse, déterminer le point $I$ où elles se rejoignent.

$$ 40 \times 24 = 960 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 40 \times 7 = 280 $$

$$ \overrightarrow{AB} = 40\vec{w} $$

Les vecteurs $\vec{w}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires et de même sens : partie de $A$, la première équipe creuse sur la droite $(AB)$, vers $B$. Partie de $B$ selon $-\vec{w}$, la seconde creuse sur la même droite, vers $A$. À la même vitesse, chacune a creusé la moitié du tunnel quand elles se rejoignent : $I$ est le milieu de $\bigl[AB\bigr]$.

$$ x_I = \frac{0 + 960}{2} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} y_I = \frac{0 + 280}{2} $$

$$ I(480 \ ; \ 140) $$
Le géomètre s'est trompé sur le quatrième côté : il a noté $530 \ \text{m}$ au lieu de $510 \ \text{m}$. Les équipes creusent donc selon le vecteur $\overrightarrow{AB'}$ calculé avec ce relevé faux, la première depuis $A$, la seconde depuis $B$ en sens inverse, jusqu'à leurs fronts de taille $F_A$ et $F_B$ : $\overrightarrow{AF_A} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB'}$ et $\overrightarrow{BF_B} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB'}$. Démontrer que les deux galeries ne se rejoignent pas, puis calculer la distance $F_AF_B$.

Le quatrième côté est trop long de $20 \ \text{m}$ vers l'est :

$$ \overrightarrow{AB'}\begin{pmatrix} 980 \\ 280 \end{pmatrix} $$

Les deux galeries sont dirigées par $\overrightarrow{AB'}$ : elles sont parallèles. Elles seraient sur la même droite si $B$ était sur la galerie issue de $A$, c'est-à-dire si $\overrightarrow{AB'}$ et $\overrightarrow{AB}$ étaient colinéaires :

$$ \det(\overrightarrow{AB'}, \ \overrightarrow{AB}) = 980 \times 280 - 280 \times 960 = 20 \times 280 = 5 \ 600 \neq 0 $$

Les galeries sont portées par deux droites parallèles distinctes : elles n'ont aucun point commun, et ne se rejoindront jamais.

Par la relation de Chasles :

$$ \overrightarrow{F_AF_B} = \overrightarrow{F_AA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF_B} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB'} $$

$$ \overrightarrow{F_AF_B} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB'} $$

$$ \overrightarrow{F_AF_B}\begin{pmatrix} 960 - 980 \\ 280 - 280 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Les fronts de taille sont à $20 \ \text{m}$ l'un de l'autre : exactement l'erreur du relevé.

Sur ce détail de la zone de rencontre, à l'échelle, les deux galeries passent l'une à côté de l'autre.
Plus généralement, une erreur de relevé donne $\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{AB} + \vec{e}$, avec $\vec{e}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$. Démontrer que les deux galeries se rejoignent si et seulement si $7a = 24b$. Un géomètre affirme : « Une erreur sur un seul côté fait toujours manquer la rencontre, mais deux erreurs peuvent se compenser. » Trancher.

Comme à la question 3, les deux galeries sont dirigées par $\overrightarrow{AB'}\begin{pmatrix} 960 + a \\ 280 + b \end{pmatrix}$ : elles se rejoignent si et seulement si elles sont sur la même droite, c'est-à-dire si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AB'}$ sont colinéaires.

$$ \det(\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AB'}) = 960(280 + b) - 280(960 + a) = 960b - 280a = 40(24b - 7a) $$

$$ \text{les galeries se rejoignent} \iff 7a = 24b $$

Une erreur sur un seul côté : sur un côté est-ouest, $\vec{e}\begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix}$ avec $a \neq 0$, donc $7a \neq 0 = 24b$ ; sur un côté nord-sud, $\vec{e}\begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix}$ avec $b \neq 0$, donc $7a = 0 \neq 24b$. Dans les deux cas, les galeries se manquent.

Deux erreurs : si un côté orienté vers l'est est trop long de $24 \ \text{m}$, et un côté orienté vers le nord trop long de $7 \ \text{m}$, alors $\vec{e}\begin{pmatrix} 24 \\ 7 \end{pmatrix}$ et $7 \times 24 = 24 \times 7$ : les galeries sont sur la droite $(AB)$ et se rejoignent.

Le géomètre a raison : une erreur sur un seul côté fait toujours manquer la rencontre, et deux erreurs peuvent se compenser.