Problèmes sur les vecteurs

Application de la relation de Chasles

Soient deux vecteurs $(\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{CD})$.

Démontrer que :

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} $$

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD} $$

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \underbrace{ \overrightarrow{DB}+ \overrightarrow{BD} } _\text{ $=\overrightarrow{0}$} $$

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} $$
Démontrer que :

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} -2\overrightarrow{BC} $$

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD} $$

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} +2\overrightarrow{CB} $$

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} -2\overrightarrow{BC} $$
Construire deux vecteurs $(\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{CD})$ et vérifier les deux égalités précédentes graphiquement .

graphique à compléter

Simplification d'expression par la relation de Chasles

Simplifier les expressions suivantes avec la relation de Chasles.

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} $$

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} $$

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0} $$
$$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB} $$

$$ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB} $$

$$ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB} = \underbrace{ \overrightarrow{AC}- \overrightarrow{AC} } _\text{ $=\overrightarrow{0}$} + \underbrace{ \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CB} } _\text{ $=\overrightarrow{0}$} $$

$$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0} $$
$$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD} $$

$$ \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CD} $$

$$ \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD} = \underbrace{ \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AD} } _\text{ $=\overrightarrow{0}$} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DC} $$

$$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{DC} $$
$$\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} $$

$$ \overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} - 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} $$

$$ \overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{CA} + \underbrace{ \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} } _\text{ $=\overrightarrow{0}$} $$

$$ \overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + 2\overrightarrow{CA} $$

$$\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = 3\overrightarrow{AC} $$
$$3\overrightarrow{AB} +2\overrightarrow{AC} -2\overrightarrow{BD} - 2\overrightarrow{DC} $$

$$ 3\overrightarrow{AB} +2\overrightarrow{AC} -2\overrightarrow{BD} - 2\overrightarrow{DC} = 3\overrightarrow{AB} +2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) -2(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD})- 2\overrightarrow{DC} $$

$$ 3\overrightarrow{AB} +2\overrightarrow{AC} -2\overrightarrow{BD} - 2\overrightarrow{DC} = 3\overrightarrow{AB} +2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC} -2\overrightarrow{BC} -2\overrightarrow{CD} - 2\overrightarrow{DC} $$

$$ 3\overrightarrow{AB} +2\overrightarrow{AC} -2\overrightarrow{BD} - 2\overrightarrow{DC} = 5\overrightarrow{AB} + \underbrace{ 2\overrightarrow{BC} -2\overrightarrow{BC} } _\text{ $=\overrightarrow{0}$} + \underbrace{ 2\overrightarrow{DC} - 2\overrightarrow{DC} } _\text{ $=\overrightarrow{0}$} $$

$$3\overrightarrow{AB} +2\overrightarrow{AC} -2\overrightarrow{BD} - 2\overrightarrow{DC} = 5\overrightarrow{AB} $$

La nature du triangle $A B C$

Soient deux vecteurs $(\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AC})$ tels que la figure suivante :

Exercice triangle isocele — deux vecteurs $(\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AC})$

À première vue, quelle semble être la nature du triangle $A B C$ ?
Déterminer les trois jeux de coordonnées des points $(A, B, C)$

$$ A\left[ - \frac{9}{2}; 1 \right] $$

$$ B\left[ - 3 ; \frac{7}{2} \right] $$
$$ C\left[ - \frac{3}{2}; 1 \right] $$
Calculer les normes respectives des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$

$$ || \overrightarrow{AB} || = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $$

$$ || \overrightarrow{AB} || = \sqrt{ \left(-3 - \left( - \frac{9}{2} \right) \right )^2 + \left(\frac{7}{2} - 1 \right)^2 } $$

$$ || \overrightarrow{AB} || = \sqrt{ \left(- \frac{6}{2} + \frac{9}{2} \right )^2 + \left(\frac{7}{2} - \frac{2}{2} \right)^2 } $$

$$ || \overrightarrow{AB} || = \sqrt{ \left(\frac{3}{2} \right )^2 + \left(\frac{5}{2} \right)^2 } $$

$$ || \overrightarrow{AB} || = \sqrt{ \frac{9}{4} + \frac{25}{4} } $$

$$ || \overrightarrow{AB} || = \sqrt{ \frac{34}{4} } $$

$$ || \overrightarrow{AC} || = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} $$

$$ || \overrightarrow{AC} || = \sqrt{ \left(- \frac{3}{2} - \left( - \frac{9}{2} \right) \right )^2 + \left(1 - 1 \right)^2 } $$

$$ || \overrightarrow{AC} || = \sqrt{ \left(- \frac{3}{2} + \frac{9}{2} \right )^2 } $$

$$ || \overrightarrow{AC} || = \sqrt{ \left(\frac{6}{2} \right )^2 } $$

$$ || \overrightarrow{AC} || = \sqrt{ \frac{36}{4} } $$

$$ || \overrightarrow{BC} || = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_A)^2} $$

$$ || \overrightarrow{BC} || = \sqrt{ \left(- \frac{3}{2} - ( - 3 ) \right )^2 + \left(1 - \left(\frac{7}{2} \right) \right)^2 } $$

$$ || \overrightarrow{BC} || = \sqrt{ \left(- \frac{3}{2} + \frac{6}{2} \right )^2 + \left(\frac{2}{2} - \left(\frac{7}{2} \right) \right)^2 } $$

$$ || \overrightarrow{BC} || = \sqrt{ \left( \frac{3}{2} \right )^2 + \left(- \left(\frac{5}{2} \right) \right)^2 } $$

$$ || \overrightarrow{BC} || = \sqrt{ \frac{9}{4} + \frac{25}{4} } $$

$$ || \overrightarrow{BC} || = \sqrt{ \frac{34}{4} } $$
Conclure alors sur la nature du triangle $ABC$.

Le triangle $ABC$ est un triangle isocèle en $B$.

Thalès et les vecteurs

Soient un triangle ordinaire $ABC$, et deux points $D$ et $E$ tels que :

$$ \left \{ \begin{gather*} \overrightarrow{AD} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{AE} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{AC} \end{gather*} \right \} $$

Exercice thales inverse — graphique à compléter

Construire les points $(D,E)$
Démontrer par la relation de Chasles que :

$$ \overrightarrow{DE} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{BC} $$

En appliquant la relation de Chasles sur la première relation, on a :

$$ \overrightarrow{AD} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{AB} $$

$$ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED} = -\frac{5}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}) $$

$$ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{AC} -\frac{5}{2}\overrightarrow{CB} $$

Or,

$$ \overrightarrow{AE} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{AC} $$

Donc en remplaçant on a,

$$ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AE} -\frac{5}{2}\overrightarrow{CB} $$

On peut alors éliminer les deux vecteurs $\overrightarrow{ED}$ présents de part et d'autre de l'équation :

$$ \overrightarrow{ED} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{CB} $$

$$ \overrightarrow{DE} = -\frac{5}{2}\overrightarrow{BC} $$
Que peut-on en conclure pour les droites $(BC)$ et $(DE)$ ?

Ces deux vecteurs sont colinéaires puisqu'il a un rapport de proportionnalité de $\left( k = -\frac{5}{2} \right) $ entre eux.

Colinéarité de vecteurs

Soient trois vecteurs $(\overrightarrow{u}, \ \overrightarrow{v}, \ \overrightarrow{w})$ tels que la figure suivante :

Exercice colinearite — trois vecteurs $(\overrightarrow{u}, \ \overrightarrow{v}, \ \overrightarrow{w})$

Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{w}$ et le vecteur somme $\overrightarrow{u+v}$ sont colinéaires

$$ \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \frac{3}{2} - (-2) \\ \frac{7}{2} - 2 \end{pmatrix} \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \frac{3}{2} + \frac{4}{2} \\ \frac{7}{2} - \frac{4}{2} \end{pmatrix} \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \frac{7}{2} \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{v}\begin{pmatrix}5 - 2 \\ -1 -1 \end{pmatrix} \overrightarrow{v}\begin{pmatrix}3 \\-2 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{w}\begin{pmatrix}- \frac{7}{2} - 3 \\ -2 -\left(-\frac{5}{2} \right) \end{pmatrix} \overrightarrow{w}\begin{pmatrix}- \frac{7}{2} - \frac{6}{2} \\ -\frac{4}{2} +\frac{5}{2} \end{pmatrix} \overrightarrow{w}\begin{pmatrix}- \frac{13}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

Maintenant, la somme $\overrightarrow{v+w}$ :

$$ \overrightarrow{u+v}\begin{pmatrix} \frac{7}{2} + 3 \\ \frac{3}{2} - 2 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{u+v}\begin{pmatrix} \frac{7}{2} + \frac{6}{2} \\ \frac{3}{2} - \frac{4}{2} \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{u+v}\begin{pmatrix} \frac{13}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

Pour démontrer que les vecteurs deux vecteurs $(\overrightarrow{w}, \ \overrightarrow{u+v}) $ sont colinéaires, on cherche à montrer le déterminant est nul.

$$ det(\overrightarrow{w}, \ \overrightarrow{u+v}) = - \frac{13}{2} \times \left( -\frac{1}{2} \right) - \frac{13}{2} \times \left(\frac{1}{2} \right) $$

$$det(\overrightarrow{w}, \ \overrightarrow{u+v}) = \overrightarrow{0} $$

Alors, les deux vecteurs $(\overrightarrow{w}, \ \overrightarrow{u+v}) $ sont bien colinéaires .
Deux vecteurs $(\overrightarrow{u}, \ \overrightarrow{v}) $ sont colinéaires équivaut à dire que :

$$ \exists k \in \mathbb{R}, \ \vec{u} = k \times \vec{v} $$

Déterminer la valeur de ce coefficient $k$

On a pour les coordonnées respectives des vecteurs $(\overrightarrow{w}, \ \overrightarrow{u+v}) $ :

$$ \overrightarrow{u+v}\begin{pmatrix} \frac{13}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$
$$ \overrightarrow{w}\begin{pmatrix}- \frac{13}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

Calculons ce coefficient :

$$ \exists k \in \mathbb{R}, \ \overrightarrow{u+v} = k \times \overrightarrow{w} $$

$$ \begin{pmatrix} \frac{13}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{pmatrix} = k \times \begin{pmatrix}- \frac{13}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

Soit,

$$ \left \{ \begin{gather*} \frac{13}{2} = k \times \left( - \frac{13}{2} \right) \\ -\frac{1}{2} = k \times \left( \frac{1}{2} \right) \end{gather*} \right \} $$

En prenant le rapport des abscisses :

$$ k = \frac{\frac{13}{2}}{- \frac{13}{2}} $$

En prenant le rapport des ordonnées :

$$ k = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} $$

$$ k = -1 $$

Relation entre vecteurs

Placer deux points $(A, B)$ sur le graphique suivant.:

Graphe vide avec vecteurs unitaires — graphique à compléter

Placer un nouveau point $C$ tel que :

$$ \overrightarrow{AC} = -\frac{3}{4} \overrightarrow{AB} $$
Démontrer alors que :

$$ \overrightarrow{BC} = -\frac{7}{4} \overrightarrow{AB} $$

Avec la relation de Chasles appliquée au vecteur $\overrightarrow{AC}$, on a :

$$ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} $$

Grâce à l'expression $(1)$, on a à présent :

$$ -\frac{3}{4} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} $$

$$ -\frac{3}{4} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} $$

$$ \overrightarrow{BC} = -\frac{7}{4} \overrightarrow{AB} $$
Enfin, trouver la relation qui lie les deux vecteurs $\overrightarrow{AC} $ et $\overrightarrow{BC} $

On a les deux relations suivantes :

$$ \overrightarrow{AC} = -\frac{3}{4} \overrightarrow{AB} \qquad(1) $$

$$ \overrightarrow{BC} = -\frac{7}{4} \overrightarrow{AB} \qquad(2) -\frac{4}{7} \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} \qquad(2^*) $$

En injectant la valeur de l'expression $(2^*)$ dans la $(1)$ :

$$ \overrightarrow{AC} = -\frac{3}{4} \times \left( -\frac{4}{7} \right) \overrightarrow{BC} $$

$$ \overrightarrow{AC} = \frac{3}{7} \overrightarrow{BC} $$

L'alignement des trois points

Soient deux vecteurs $(\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AC})$ tels que la figure suivante :

Alignement de points — graphique à compléter

Contruire le point $J$ tel que :

$$ \overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \qquad(1) $$
Contruire le point $I$ tel que :

$$ \overrightarrow{BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BJ} \qquad(2) $$
Enfin, contruire le point $K$ tel que :

$$ \overrightarrow{BK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \qquad(3) $$
Alors démontrer que les trois points $(A,K,I)$ sont alignés.
trois points $(A,K,I)$ alignés

Pour prouver que deux points alignés, il faut prouver qu'il y a colinéarité entre deux vecteurs ayant une origine commune. Soit dans notre cas, que :

$$ \exists k \in \mathbb{R}, \ \overrightarrow{AK} = k \overrightarrow{AI} $$

Calculons d'abord $\overrightarrow{AK}$, puis $\overrightarrow{AI}$ :
1. Calcul de $\overrightarrow{AK}$
  
  Avec la relation de Chasles, on a :
  
  $$ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BK} $$
  
  Avec la relation $(3)$ qu'on injecte, on a :
  
  $$ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} $$
  
  En appliquant à nouveau Chasles:
  
  $$ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{AC}) $$
  
  $$ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} $$
  
  $$ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} $$
  
  $$ \overrightarrow{AK} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} $$
2. Calcul de $\overrightarrow{AI}$
  
  Comme le point $J$ est issu de $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$, alors :
  
  $$ \overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{AC} $$
  
  Et comme avec $(2)$ on a :
  
  $$ \overrightarrow{BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BJ} \qquad(2) $$
  
  Alors par conséquent on a aussi :
  
  $$ \overrightarrow{BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \qquad(2^*) $$
  
  Par ailleurs, en appliquant Chasles au vecteur $\overrightarrow{AI}$, on a :
  
  $$ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI} $$
  
  En remplaçant le résultat de la $(2^*)$ dans celle-ci, on obtient :
  
  $$ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} $$
3. Relation de colinéarité
  
  $$ \overrightarrow{AK} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} $$
  $$ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} $$
  
  En consisérant un nouveau repère $(A, \ \overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AC})$, alors je peux calculer le déterminant de ces deux vecteurs.
  
  $$det(\overrightarrow{AK}, \ \overrightarrow{AI}) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} - 1 \times \frac{1}{3}$$
  
  $$det(\overrightarrow{AK}, \ \overrightarrow{AI}) = 0$$
  
  Les deux vecteurs ont une relation de colinéarité de rapport $k$, et ce rapport vaut :
  
  En prenant le rapport des abscisses :
  
  $$ k = \frac{ \frac{2}{3} }{1} $$
  
  En prenant le rapport des ordonnées :
  
  $$ k = \frac{ \frac{1}{3} }{\frac{1}{2}} $$
  
  Soit,
  
  $$ k = \frac{2}{3} $$
4. Conclusion
  
  On a montré que :
  
  $$ \overrightarrow{AK} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AI} $$
  
  De ce fait, les trois points $(A, K, I)$ sont alignés .

Barycentre de deux points pondéré

On appelle barycentre (ou point d'équilibre) de deux points $(A, \ B)$ de pondération respective $(a, \ b)$ (avec $(a+b \neq 0)$), l'unique point $G$ vérifiant la rélation :

$$ a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0} \qquad(barycentre) $$

Soit les deux points $(A, B)$ suivants, avec leur pondération respective.$(a, \ b)$ :

Exercice barycentre — barycentre de deux points $(A, \ B)$ de pondération respective $(a, \ b)$

Repartir de l'expression du barycentre ci-avant, puis exprimer $\overrightarrow{AG} $ en fonction de $\overrightarrow{AB} $

$$ a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0} \qquad(1) $$

$$ a\overrightarrow{GA} + b(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{0} $$

$$ a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} $$

$$ (a+b)\overrightarrow{GA} = - b\overrightarrow{AB} $$

$$ \overrightarrow{GA} = -\frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB} $$

$$\overrightarrow{AG} = \frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB} \qquad(1) $$

Application numérique :
Déterminer les coordonnées des points $(A, B)$ à l'aide du graphique ainsi que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB} $

$$ A\left[ - \frac{7}{2}; 3 \right] $$
$$ B\Bigl[ 3; 3 \Bigr] $$

Et pour le vecteur $\overrightarrow{AB} $ :

$$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 - \left( - \frac{7}{2} \right) \\ 3 - 3 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} \frac{6}{2} + \frac{7}{2} \\ 0 \end{pmatrix} $$

$$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} \frac{13}{2} \\ 0 \end{pmatrix} $$
Enfin, en déduire les coordonnées du point $G$, avec les valeurs suivantes :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} a = 2 \\ b = 5 \end{gather*} $$

En reprenant l'expression du barycentre, on avait :

$$ \overrightarrow{AG} = \frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB} \qquad(1) $$

Et on remplace maintenant le couple $(a,b) $ et le vecteur $\overrightarrow{AB}$ par sa valeur réelle.

$$ \overrightarrow{AG} = \frac{5}{2+5}\begin{pmatrix} \frac{13}{2} \\ 0 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{AG} = \begin{pmatrix} \frac{5}{7} \times \frac{13}{2} \\ \frac{5}{7} \times 0 \end{pmatrix} $$

$$\overrightarrow{AG} = \begin{pmatrix} \frac{65}{14} \\ 0 \end{pmatrix} $$

Comme les coordonnées théoriques du vecteur $\overrightarrow{AG}$ sont :

$$ \overrightarrow{AG} = \begin{pmatrix} x_G - x_A \\ y_G - y_A \end{pmatrix} $$

On obtient le jeu d'égalités suivant :

$$ \left \{ \begin{gather*} x_G - x_A = \frac{65}{14}\\ \\ y_G - y_A = 0 \\ \end{gather*} \right \} $$

Soit,

$$ G\left[ \frac{65}{14} + x_A ; y_A \right] $$

$$ G\left[ \frac{65}{14} - \frac{7}{2} ; 3 \right] $$

$$ G\left[ \frac{65}{14} - \frac{7}{2}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{7}{7}} ; 3 \right] $$

$$ G\left[ \frac{65}{14} - \frac{49}{14} ; 3 \right] $$

$$ G\left[ -\frac{16}{14} ; 3 \right] $$

$$G\left[ -\frac{8}{7} ; 3 \right] $$

Démonstration du rapport $\frac{2}{3} / \frac{1}{3}$ pour le barycentre d'un triangle

Soit un triangle ordinaire $ABC$ et ses trois médianes concourant en un point unique , qui est le barycentre du triangle :

Exercice barycentre triangle — médiane comme barycentre d'un triangle $ABC$

On a appelé $I$ le milieu de $\bigl[AB\bigr]$.

Par suite de l'expression précedente du barycentre, le barycentre de trois points tous pondérés de 1 vaut :

$$ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \qquad(barycentre^*) $$

Le but de cet exercice est d' exprimer le vecteur $\overrightarrow{GC}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{CI}$ pour faire apparaître ce rapport de $\frac{2}{3} / \frac{1}{3}$.

À partir de l'expression $(2)$, faire ressortir le point $I$ des vecteurs $\overrightarrow{GA}$ et $\overrightarrow{GB}$ grâce à la relation de Chasles

$$ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \qquad(barycentre^*) $$

$$ \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} $$

$$ 2\overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \qquad(A) $$
Démontrer que :

$$ \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} $$

Comme $I$ est le milieu de $\bigl[AB\bigr]$, alors en termes de vecteurs, on a :

$$ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} $$

Soit,

$$ \overrightarrow{0} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} $$

$$ \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} $$

Et réécrire la nouvelle forme de l'égalité une fois ces deux termes retirés.

L'expression précédente $(A)$ devient alors :

$$ 2\overrightarrow{GI} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \qquad(A^*) $$
Démontrer alors l'expression $(1)$ :

$$ \overrightarrow{CG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{CI} $$

En repartant de l'expression précédente $(A^*)$, on a :

$$ 2\overrightarrow{GI} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \qquad(A^*) $$

$$ 2(\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{CI} ) + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} $$

$$ 2\overrightarrow{GC} + 2\overrightarrow{CI} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} $$

$$ 3\overrightarrow{GC} + 2\overrightarrow{CI} = \overrightarrow{0} $$

$$ 3\overrightarrow{GC} = -2\overrightarrow{CI} $$

$$ 3\overrightarrow{CG} = 2\overrightarrow{CI} $$

$$ \overrightarrow{CG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CI} $$
Enfin, sans calcul, exposer les deux autres expressions liées au barycentre dans le triangle $ABC$.

$$ \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AJ} $$

avec $J$ le milieu de $\bigl[BC\bigr]$

$$ \overrightarrow{BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BK} $$

avec $K$ le milieu de $\bigl[AC\bigr]$