L'angle inscrit et l'angle au centre

Une scène est posée sur un arc de cercle, et les fauteuils du premier rang sont disposés sur ce même cercle. Où que l'on s'assoie dans ce rang, on voit la scène d'un bord à l'autre sous le même angle.

Aucune place n'est avantagée : ce n'est pas la distance qui compte, mais le cercle sur lequel on est assis.

Tous les angles qui interceptent un même arc de cercle ont la même mesure : la moitié de l'angle au centre.

Angle inscrit et angle au centre

Deux angles qui interceptent le même arc

Soit un cercle de centre $O$, et trois points $A$, $B$ et $C$ de ce cercle. L'angle $\widehat{BAC}$, dont le sommet est sur le cercle, est un angle inscrit. L'angle $\widehat{BOC}$, dont le sommet est le centre, est un angle au centre. Tous deux interceptent l'arc $\overset{\frown}{BC}$.

Un angle inscrit et un angle au centre interceptant le même arc — deux angles, dont un au centre, interceptant le même arc $\overset{\frown}{BC}$

On note les deux angles :

$$ \alpha = \widehat{BAC} \qquad \text{et} \qquad \alpha' = \widehat{BOC} $$

L'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc:

$$ \alpha' = 2 \alpha $$

Ce qui s'énonce en toutes lettres :

Dans un cercle, un angle inscrit mesure la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc.

Deux conséquences

Angles inscrits interceptant le même arc

Deux angles inscrits qui interceptent le même arc valent tous deux la moitié du même angle au centre : ils sont égaux. C'est le cas des fauteuils du premier rang.
Le triangle inscrit dans un demi-cercle

Lorsque $\bigl[BC\bigr]$ est un diamètre, l'angle au centre $\widehat{BOC}$ est plat et mesure $180°$. L'angle inscrit $\widehat{BAC}$ en mesure donc la moitié :

$$ \widehat{BAC} = 90° $$

On retrouve la propriété du triangle inscrit dans un demi-cercle, vue en géométrie du cercle : ce triangle est rectangle en $A$.