La tangente sur le cercle trigonométrique

Une lampe torche est posée à $1 \ \text{m}$ d'un mur, et l'on relève peu à peu son faisceau. La tache de lumière monte le long du mur, de plus en plus vite.

À $45°$, elle est à $1 \ \text{m}$ de haut. À $80°$, à plus de $5{,}6 \ \text{m}$. À $90°$, le faisceau longe le mur et ne le touche plus.

La hauteur de la tache, c'est la tangente de l'angle : elle se lit sur une droite posée contre le cercle trigonométrique.

La tangente lue sur le cercle

On se place sur le cercle trigonométrique, de rayon $1$, et l'on mesure l'angle $\theta$ au centre dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

$\cos(\theta)$ : la valeur lue sur l'axe horizontal, celle du projeté orthogonal du point du cercle;
$\sin(\theta)$ : la valeur lue sur l'axe vertical, celle du projeté orthogonal du point du cercle;
$\tan(\theta)$ : la valeur lue sur la tangente au cercle au point $(1 \ ; \ 0)$, là où la prolonge le rayon.

Cosinus, sinus et tangente lus sur le cercle trigonométrique — un cercle de rayon $1$ balayé par un angle au centre $\theta$

Le lien avec le sinus et le cosinus

Le petit triangle de côtés $\cos(\theta)$ et $\sin(\theta)$, et le grand triangle de côtés $1$ et $\tan(\theta)$, sont emboîtés. Le théorème de Thalès donne:

$$ \frac{\cos(\theta)}{1} = \frac{\sin(\theta)}{\tan(\theta)} $$

Ce qui donne la relation, pour tout angle dont le cosinus n'est pas nul :

$$ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \qquad \bigl(\cos(\theta) \neq 0\bigr) $$

Quand $\theta$ approche $90°$, $\cos(\theta)$ approche $0$ : le rayon prolongé devient presque parallèle à la tangente, et $\tan(\theta)$ grandit sans limite. C'est la tache de lumière qui quitte le mur.