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Les moyennes arithmétique et géométrique

Un enclos rectangulaire de \(2 \ \text{m}\) sur \(8 \ \text{m}\) couvre \(16 \ \text{m}^2\) : la même surface qu'un carré de \(4 \ \text{m}\) de côté. Avec les \(20 \ \text{m}\) de grillage de l'enclos, on fermerait pourtant un carré de \(5 \ \text{m}\) de côté.

Le côté \(4\) est la moyenne géométrique de \(2\) et \(8\), le côté \(5\) leur moyenne arithmétique.

À grillage égal, le carré enferme toujours au moins autant que le rectangle : la première moyenne ne dépasse jamais la seconde.

Deux façons de faire la moyenne de deux nombres

Pour deux réels \(a\) et \(b\) strictement positifs, on appelle :

$$ m_a = \frac{a+b}{2} \qquad (\text{moyenne arithmétique}) $$
$$ m_g = \sqrt{ab} \qquad (\text{moyenne géométrique}) $$

L'inégalité entre les deux moyennes

Pour deux réels strictement positifs, la moyenne géométrique \(\sqrt{ab}\) ne dépasse jamais la moyenne arithmétique \(\frac{a+b}{2}\):

$$ \forall (a, b) \in \bigl[\mathbb{R}^{+*}\bigr]^2, \quad \sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2} $$

L'inégalité entre moyennes géométrique et arithmétique

Un carré est toujours positif ou nul, donc :

$$ \left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right)^2 \geqslant 0 $$

On développe l'identité remarquable :

$$ a - 2\sqrt{ab} + b \geqslant 0 $$

On ajoute \(2\sqrt{ab}\) de chaque côté, puis on divise par \(2\), qui est positif :

$$ \sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2} $$

L'égalité n'a lieu que si \(\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right)^2 = 0\), c'est-à-dire si \((a = b)\).

Exemple :

Avec \((a = 2)\) et \((b = 8)\) :

$$ \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4 \qquad \text{et} \qquad \frac{2 + 8}{2} = 5 $$
$$ 4 \leqslant 5 $$