L'espérance en seconde

Avant de jouer, on peut savoir si un jeu est favorable : il suffit d'écrire sa loi.

Une tombola vend $200$ billets à $2 \ \text{€}$ et fait gagner un seul lot, d'une valeur de $150 \ \text{€}$.

$$ 150 \times \frac{1}{200} = 0{,}75 \ \text{€} $$

Un billet rapporte $0{,}75 \ \text{€}$ en moyenne, et coûte $2 \ \text{€}$.

L'espérance est le gain moyen de quelqu'un qui jouerait mille fois.

L'espérance ne figure plus au programme de seconde depuis l'arrêté du 26 février 2026 : elle relève de la première.

L'espérance : $E(X)$

Pour savoir si un jeu est rentable, on calcule son espérance.

On définit une loi de probabilités qui associe à chaque évènement :

Sous forme de tableau :

Évènement	$$ E_1 $$	$$ E_2 $$	$$ \dots $$	$$ E_n $$
Gain (€)	$$ x_1 $$	$$ x_2 $$	$$ \dots $$	$$ x_n $$
Probabilité	$$ p_1 $$	$$ p_2 $$	$$ \dots $$	$$ p_n $$

Si le gain $X$ prend les valeurs $x_1, \dots, x_n$ avec les probabilités $p_1, \dots, p_n$, l'espérance du jeu est :

$$ E(X) = x_1 \ p_1 + x_2 \ p_2 + \ \dots \ + x_n \ p_n $$

Ou sous forme de somme :

$$ E(X) = \sum_{k = 1}^n x_k \ p_k $$