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Les pourcentages et les évolutions

Une proportion, une hausse, une baisse : chaque fois un quotient, et un coefficient qui porte tout le calcul.

Une veste à \(80 \ \text{€}\) est soldée à \({-}30 \ \%\), puis une remise de \({-}20 \ \%\) s'applique en caisse. La remise totale n'est pas de \(50 \ \%\).

$$ 0.7 \times 0.8 = 0.56 \hspace{2em} \text{soit} \hspace{2em} {-}44 \ \% $$

Deux évolutions ne s'ajoutent pas, elles se multiplient.

Proportions

Proportion

Soit \(E\) un ensemble de \(n_E\) éléments et \(A\) une partie de \(E\) comptant \(n_A\) éléments. La proportion de \(A\) dans \(E\) est le quotient:

$$ p = \frac{n_A}{n_E} $$

C'est un nombre compris entre \(0\) et \(1\). Multiplié par \(100\), il s'exprime en pourcentage.

Exemple : dans un lycée de \(800\) élèves, \(200\) sont en seconde. La proportion d'élèves de seconde vaut :

$$ p = \frac{200}{800} = 0.25 = 25\ \% $$
Une bande de huit cases de cent élèves : deux cases, les deux cents élèves de seconde, forment le quart de la bande
\(800\)
\(200\)
\(25\ \%\)
 Une bande de huit cases de cent élèves : deux cases, les deux cents élèves de seconde, forment le quart de la bande - support à compléter
\(800\)

Proportion d'une proportion

Lorsque trois ensembles sont emboîtés, les proportions se multiplient.

$$ p_{A/E} = p_{A/B} \times p_{B/E} \hspace{2em} \text{avec} \ (A \subset B \subset E) $$

La composition de deux proportions

Par définition des trois proportions :

$$ p_{A/B} \times p_{B/E} = \frac{n_A}{n_B} \times \frac{n_B}{n_E} $$

On simplifie par \(n_B\) :

$$ p_{A/B} \times p_{B/E} = \frac{n_A}{n_E} = p_{A/E} $$

Exemple : dans un lycée, \(60\ \%\) des élèves sont externes et \(25\ \%\) des externes suivent l'allemand. La proportion d'externes germanistes vaut :

$$ 0.60 \times 0.25 = 0.15 = 15\ \% $$
Le carré des élèves : les externes en occupent 60 % de la largeur, les germanistes 25 % de la hauteur des externes, soit 15 % du carré
\(60\ \%\)
\(25\ \%\)
\(15\ \%\)
 externes Le carré des élèves : les externes en occupent 60 % de la largeur, les germanistes 25 % de la hauteur des externes, soit 15 % du carré - support à compléter
\(60\ \%\)
\(25\ \%\)

Mesurer une évolution

Une grandeur passe d'une valeur de départ \(V_D\) à une valeur d'arrivée \(V_A\).

Variation absolue

La variation absolue est la différence entre les deux valeurs:

$$ \Delta V = V_A - V_D $$

Elle s'exprime dans l'unité de la grandeur étudiée.

Coefficient multiplicateur

Le coefficient multiplicateur est le quotient de la valeur d'arrivée par la valeur de départ:

$$ CM = \frac{V_A}{V_D} $$

C'est un nombre sans unité, défini si \(V_D \neq 0\).

Taux d'évolution

Le taux d'évolution rapporte la variation absolue à la valeur de départ.

$$ t = \frac{V_A - V_D}{V_D} \times 100 \hspace{2em} \bigl[\% \bigr] $$

Taux et coefficient multiplicateur sont liés :

$$ CM = 1 + \frac{t}{100} $$
$$ V_A = V_D \times \left(1 + \frac{t}{100}\right) $$

Exemple : un prix passe de \(80\ \text{€}\) à \(100\ \text{€}\) : \(\Delta V = 20\ \text{€}\), \(CM = 1.25\) et \(t = 25\ \%\).

Deux barres, 80 euros puis 100 euros : la variation absolue de 20 euros dépasse la première barre, et l'on passe de l'une à l'autre en multipliant par 1.25
\(V_D = 80\ \text{€}\)
\(V_A = 100\ \text{€}\)
\(\Delta V = 20\ \text{€}\)
\(\times 1.25\)
 Deux barres, 80 euros puis 100 euros : la variation absolue de 20 euros dépasse la première barre, et l'on passe de l'une à l'autre en multipliant par 1.25 - support à compléter
\(V_D = 80\ \text{€}\)
\(V_A = 100\ \text{€}\)

Le lien entre taux et coefficient multiplicateur

Par définition du taux :

$$ \frac{t}{100} = \frac{V_A - V_D}{V_D} = \frac{V_A}{V_D} - \frac{V_D}{V_D} = CM - 1 $$

En ajoutant \(1\) :

$$ CM = 1 + \frac{t}{100} $$

Le signe du taux donne le sens de l'évolution :

Sens de l'évolution
Taux \(t\)
Coefficient multiplicateur
Hausse \((\nearrow)\)
\(t > 0\)
\(CM > 1\)
Aucune évolution
\(t = 0\)
\(CM = 1\)
Baisse \((\searrow)\)
\(t < 0\)
\(0 < CM < 1\)
Lecture du sens d'une évolution

Une baisse s'annonce par un taux négatif, ou par un taux positif explicitement présenté comme une diminution.

Enchaîner des évolutions

Évolutions successives

Lorsque plusieurs évolutions se suivent, les coefficients multiplicateurs se multiplient.

$$ CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2 \times \dots \times CM_n $$

Le coefficient multiplicateur global

Notons \(V_0\) la valeur initiale, \(V_1\) la valeur après la première évolution et \(V_2\) celle après la seconde. Par définition :

$$ V_1 = V_0 \times CM_1 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} V_2 = V_1 \times CM_2 $$

On remplace \(V_1\) :

$$ V_2 = V_0 \times CM_1 \times CM_2 $$

D'où :

$$ CM_{\text{global}} = \frac{V_2}{V_0} = CM_1 \times CM_2 $$

Les taux ne s'additionnent pas.

Exemple : un prix de \(100\ \text{€}\) augmente de \(10\ \%\), puis diminue de \(10\ \%\) : il baisse de \(1\ \%\).

Un prix de 100 euros passe à 110 euros, puis à 99 euros : les deux coefficients se multiplient en un coefficient global de 0.99
\(100\ \text{€}\)
\(110\ \text{€}\)
\(99\ \text{€}\)
\(\times 1.10\)
\(\times 0.90\)
\(\times 0.99\)
 Un prix de 100 euros passe à 110 euros, puis à 99 euros : les deux coefficients se multiplient en un coefficient global de 0.99 - support à compléter
\(100\ \text{€}\)
\(+\,10\ \%\)
\(-\,10\ \%\)

Évolution réciproque

L'évolution réciproque ramène la valeur d'arrivée à la valeur de départ ; son coefficient multiplicateur est l'inverse du premier.

$$ CM' = \frac{1}{CM} $$

Le coefficient multiplicateur réciproque

Une évolution suivie de sa réciproque a un coefficient global égal à \(1\) :

$$ CM \times CM' = 1 $$

On divise par \(CM \neq 0\) :

$$ CM' = \frac{1}{CM} $$

Exemple : après une hausse de \(25\ \%\), on revient à la valeur initiale avec :

$$ CM' = \frac{1}{1.25} = 0.8 $$

soit une baisse de \(20\ \%\), et non de \(25\ \%\).

De 100 euros à 125 euros par un coefficient de 1.25, et le retour de 125 à 100 euros par un coefficient de 0.8
\(100\ \text{€}\)
\(125\ \text{€}\)
\(\times 1.25\)
\(\times 0.8\)
 De 100 euros à 125 euros par un coefficient de 1.25, et le retour de 125 à 100 euros par un coefficient de 0.8 - support à compléter
\(100\ \text{€}\)
\(125\ \text{€}\)
\(\times 1.25\)

Comparer deux quantités

Deux quantités se comparent de deux manières.

Comparaison additive

On compare par la différence \(B - A\), dans l'unité de la grandeur : « combien de plus ? ».

Comparaison multiplicative

On compare par le rapport \(\frac{B}{A}\), ou ratio, pour des quantités strictement positives : « combien de fois plus ? ».

Exemple : deux salaires de \(1\,500\ \text{€}\) et \(1\,800\ \text{€}\) diffèrent de \(300\ \text{€}\) et sont dans un rapport de \(1.2\), soit \(20\ \%\) de plus.

Deux salaires en cases de 300 euros : cinq cases, puis six, soit 300 euros de plus, ou 1.2 fois plus
\(1\,500\ \text{€}\)
\(1\,800\ \text{€}\)
\(+\,300\ \text{€}\)
\(\times 1.2\)
 Deux salaires en cases de 300 euros : cinq cases, puis six, soit 300 euros de plus, ou 1.2 fois plus - support à compléter
\(1\,500\ \text{€}\)
\(1\,800\ \text{€}\)