Les pourcentages et les évolutions en seconde

Proportions

Proportion

Soit $E$ un ensemble de $n_E$ éléments et $A$ une partie de $E$ comptant $n_A$ éléments. La proportion de $A$ dans $E$ est le quotient:

$$ p = \frac{n_A}{n_E} $$

C'est un nombre compris entre $0$ et $1$. Multiplié par $100$, il s'exprime en pourcentage.

Dans un lycée de $800$ élèves, $200$ sont en seconde. La proportion d'élèves de seconde vaut donc :

$$ p = \frac{200}{800} = 0{,}25 = 25\ \% $$

Proportion d'une proportion

Lorsque trois ensembles sont emboîtés, les proportions se multiplient.

$$ p_{A/E} = p_{A/B} \times p_{B/E} \qquad \text{avec } A \subset B \subset E $$

La composition de deux proportions

Par définition des trois proportions :

$$ p_{A/B} \times p_{B/E} = \frac{n_A}{n_B} \times \frac{n_B}{n_E} $$

Le nombre $n_B$ se simplifie, car il figure au numérateur comme au dénominateur :

$$ p_{A/B} \times p_{B/E} = \frac{n_A}{n_E} = p_{A/E} $$

Dans un lycée, $60\ \%$ des élèves sont externes et $25\ \%$ des externes suivent l'allemand. La proportion d'élèves à la fois externes et germanistes vaut :

$$ 0{,}60 \times 0{,}25 = 0{,}15 = 15\ \% $$

Les pourcentages ne s'additionnent pas : c'est bien un produit qu'il faut effectuer.

Mesurer une évolution

Une grandeur passe d'une valeur de départ $V_D$ à une valeur d'arrivée $V_A$. Deux façons complémentaires de mesurer cette évolution coexistent.

Variation absolue

La variation absolue est la différence entre les deux valeurs:

$$ \Delta V = V_A - V_D $$

Elle s'exprime dans l'unité de la grandeur étudiée.

Coefficient multiplicateur

Le coefficient multiplicateur est le quotient de la valeur d'arrivée par la valeur de départ:

$$ CM = \frac{V_A}{V_D} $$

C'est un nombre sans unité, qui n'a de sens que si $V_D \neq 0$.

Taux d'évolution

Le taux d'évolution rapporte la variation absolue à la valeur de départ. Il mesure l'évolution relativement à ce dont on part.

$$ t = \frac{V_A - V_D}{V_D} \times 100 \qquad \bigl[\% \bigr] $$

Le coefficient multiplicateur et le taux d'évolution décrivent la même chose, sous deux écritures liées :

$$ CM = 1 + \frac{t}{100} $$

$$ V_A = V_D \times \left(1 + \frac{t}{100}\right) $$

Le lien entre taux et coefficient multiplicateur

On part de la définition du taux d'évolution, écrit sous forme décimale :

$$ \frac{t}{100} = \frac{V_A - V_D}{V_D} = \frac{V_A}{V_D} - \frac{V_D}{V_D} = CM - 1 $$

En ajoutant $1$ de chaque côté :

$$ CM = 1 + \frac{t}{100} $$

Le signe du taux indique le sens de l'évolution, et se lit directement sur le coefficient multiplicateur :

Sens de l'évolution	Taux $t$	Coefficient multiplicateur
Hausse $(\nearrow)$	$t > 0$	$CM > 1$
Aucune évolution	$t = 0$	$CM = 1$
Baisse $(\searrow)$	$t < 0$	$0 < CM < 1$

Lecture du sens d'une évolution

Une baisse peut se présenter de deux façons : soit le taux est annoncé négatif, soit il est annoncé positif mais le texte précise explicitement qu'il s'agit d'une diminution.

Enchaîner des évolutions

Évolutions successives

Lorsque plusieurs évolutions se suivent, les coefficients multiplicateurs se multiplient.

$$ CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2 \times \dots \times CM_n $$

Le coefficient multiplicateur global

Notons $V_0$ la valeur initiale, $V_1$ la valeur après la première évolution et $V_2$ celle après la seconde. Par définition :

$$ V_1 = V_0 \times CM_1 \qquad \text{et} \qquad V_2 = V_1 \times CM_2 $$

En remplaçant $V_1$ par son expression dans la seconde égalité :

$$ V_2 = V_0 \times CM_1 \times CM_2 $$

Or le coefficient multiplicateur global est le quotient de $V_2$ par $V_0$, d'où :

$$ CM_{\text{global}} = \frac{V_2}{V_0} = CM_1 \times CM_2 $$

Les taux, eux, ne s'additionnent pas. Un prix qui augmente de $10\ \%$ puis diminue de $10\ \%$ ne revient pas à son point de départ:

$$ 1{,}10 \times 0{,}90 = 0{,}99 $$

Le coefficient global vaut $0{,}99$, soit une baisse de $1\ \%$ sur l'ensemble.

Évolution réciproque

L'évolution réciproque est celle qui ramène la valeur d'arrivée à la valeur de départ. Son coefficient multiplicateur est l'inverse du premier.

$$ CM' = \frac{1}{CM} $$

Le coefficient multiplicateur réciproque

Enchaîner l'évolution puis sa réciproque doit laisser la valeur inchangée, c'est-à-dire donner un coefficient global égal à $1$ :

$$ CM \times CM' = 1 $$

Comme $CM \neq 0$, on divise les deux membres par $CM$ :

$$ CM' = \frac{1}{CM} $$

Après une hausse de $25\ \%$, le coefficient vaut $1{,}25$. Pour revenir à la valeur initiale, il faut appliquer :

$$ CM' = \frac{1}{1{,}25} = 0{,}8 $$

soit une baisse de $20\ \%$, et non de $25\ \%$.

Comparer deux quantités

Deux quantités se comparent de deux manières, qui ne racontent pas la même histoire.

Comparaison additive

On compare par la différence $B - A$. Elle répond à la question : « combien de plus ? », et s'exprime dans l'unité de la grandeur.

Comparaison multiplicative

On compare par le rapport $\frac{B}{A}$, aussi appelé ratio. Elle répond à la question : « combien de fois plus ? », et ne vaut que pour des quantités strictement positives.

Deux salaires de $1\,500\ \text{€}$ et $1\,800\ \text{€}$ diffèrent de $300\ \text{€}$ par comparaison additive, et sont dans un rapport de $1{,}2$ par comparaison multiplicative, soit $20\ \%$ de plus. Le choix dépend de ce que l'on veut mettre en évidence : un écart, ou une proportion.

Sens de l'évolution	Taux \(t\)	Coefficient multiplicateur
Hausse \((\nearrow)\)	\(t > 0\)	\(CM > 1\)
Aucune évolution	\(t = 0\)	\(CM = 1\)
Baisse \((\searrow)\)	\(t < 0\)	\(0 < CM < 1\)