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Les énigmes des probabilités

Des cartes, l'escalade, le jeu de l'oie et un trajet : quatre casse-tête de probabilités, sans calculatrice.

Le cœur du jeu de cartes

On tire au hasard une carte d'un jeu de \(32\) : \(7\), \(8\), \(9\), \(10\), valet, dame, roi et as, en cœur et carreau (rouges), trèfle et pique (noirs). On note \(A\) « tirer un as », \(C\) « tirer un cœur », \(F\) « tirer une figure : valet, dame ou roi » et \(R\) « tirer une carte rouge ». Chaque probabilité, sous forme irréductible, est l'étiquette d'un point : reliés dans l'ordre, ces points font un dessin.

À gauche, quatorze évènements numérotés, avec une case vide pour leur probabilité : 1 : A ; 2 : A inter C ; 3 : C ; 4 : A union C ; 5 : F ; 6 : F inter R ; 7 : F union R ; 8 : contraire de {F} ; 9 : F inter C ; 10 : F union C ; 11 : A union F ; 12 : contraire de {A union C} ; 13 : R inter contraire de {F} ; 14 : A union R. À droite, dix-neuf points, chacun marqué d'une fraction : 1 sur 8, 1 sur 32, 1 sur 4, 11 sur 32, 3 sur 8, 3 sur 16, 11 sur 16, 5 sur 8, 3 sur 32, 17 sur 32, 1 sur 2, 21 sur 32, 5 sur 16, 9 sur 16, 7 sur 8, 3 sur 4, 1 sur 16, 13 sur 32, 7 sur 16 n° évènement probabilité 1
$$ A $$
 2
$$ A \cap C $$
 3
$$ C $$
 4
$$ A \cup C $$
 5
$$ F $$
 6
$$ F \cap R $$
 7
$$ F \cup R $$
 n° évènement probabilité 8
$$ \overline{F} $$
 9
$$ F \cap C $$
 10
$$ F \cup C $$
 11
$$ A \cup F $$
 12
$$ \overline{A \cup C} $$
 13
$$ R \cap \overline{F} $$
 14
$$ A \cup R $$
$$ \frac{1}{8} $$
$$ \frac{1}{32} $$
$$ \frac{1}{4} $$
$$ \frac{11}{32} $$
$$ \frac{3}{8} $$
$$ \frac{3}{16} $$
$$ \frac{11}{16} $$
$$ \frac{5}{8} $$
$$ \frac{3}{32} $$
$$ \frac{17}{32} $$
$$ \frac{1}{2} $$
$$ \frac{21}{32} $$
$$ \frac{5}{16} $$
$$ \frac{9}{16} $$
$$ \frac{7}{8} $$
$$ \frac{3}{4} $$
$$ \frac{1}{16} $$
$$ \frac{13}{32} $$
$$ \frac{7}{16} $$
  1. Calculer chaque probabilité, puis relier les points dans l'ordre, du n° \(1\) au n° \(14\), et le dernier au premier.

    Les \(32\) cartes ont la même chance d'être tirées : \(4\) as, \(8\) cœurs, \(12\) figures, \(16\) cartes rouges.

    $$ P(A) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} $$
    $$ P(C) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} $$
    $$ P(F) = \frac{12}{32} = \frac{3}{8} $$

    Les intersections se comptent : un as de cœur, six figures rouges, trois figures de cœur.

    $$ P(A \cap C) = \frac{1}{32} $$
    $$ P(F \cap R) = \frac{6}{32} = \frac{3}{16} $$
    $$ P(F \cap C) = \frac{3}{32} $$

    Pour une réunion, on retire l'intersection, comptée deux fois :

    $$ P(A \cup C) = \frac{4}{32} + \frac{8}{32} - \frac{1}{32} = \frac{11}{32} $$
    $$ P(F \cup R) = \frac{12}{32} + \frac{16}{32} - \frac{6}{32} = \frac{22}{32} = \frac{11}{16} $$
    $$ P(F \cup C) = \frac{12}{32} + \frac{8}{32} - \frac{3}{32} = \frac{17}{32} $$
    $$ P(A \cup R) = \frac{4}{32} + \frac{16}{32} - \frac{2}{32} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16} $$

    Un as n'est pas une figure : \(A\) et \(F\) sont incompatibles, et les probabilités s'additionnent.

    $$ P(A \cup F) = \frac{4}{32} + \frac{12}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} $$

    Pour les contraires :

    $$ P\left(\overline{F}\right) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} $$
    $$ P\left(\overline{A \cup C}\right) = 1 - \frac{11}{32} = \frac{21}{32} $$

    Enfin \(R \cap \overline{F}\) regroupe les cartes rouges qui ne sont pas des figures, \(16 - 6 = 10\) cartes :

    $$ P\left(R \cap \overline{F}\right) = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} $$

    Les points reliés dessinent un cœur ; cinq points restent à l'écart. Oublier l'intersection dans une réunion mène à l'un d'eux, ou à un autre sommet du cœur.

    La figure corrigée : les quatorze probabilités sont écrites, et les points reliés dans l'ordre dessinent un cœur ; les cinq points 7 sur 8, 3 sur 4, 1 sur 16, 13 sur 32 et 7 sur 16 restent seuls n° évènement probabilité 1
    $$ A $$
    $$ \frac{1}{8} $$
     2
    $$ A \cap C $$
    $$ \frac{1}{32} $$
     3
    $$ C $$
    $$ \frac{1}{4} $$
     4
    $$ A \cup C $$
    $$ \frac{11}{32} $$
     5
    $$ F $$
    $$ \frac{3}{8} $$
     6
    $$ F \cap R $$
    $$ \frac{3}{16} $$
     7
    $$ F \cup R $$
    $$ \frac{11}{16} $$
     n° évènement probabilité 8
    $$ \overline{F} $$
    $$ \frac{5}{8} $$
     9
    $$ F \cap C $$
    $$ \frac{3}{32} $$
     10
    $$ F \cup C $$
    $$ \frac{17}{32} $$
     11
    $$ A \cup F $$
    $$ \frac{1}{2} $$
     12
    $$ \overline{A \cup C} $$
    $$ \frac{21}{32} $$
     13
    $$ R \cap \overline{F} $$
    $$ \frac{5}{16} $$
     14
    $$ A \cup R $$
    $$ \frac{9}{16} $$
    $$ \frac{1}{8} $$
    $$ \frac{1}{32} $$
    $$ \frac{1}{4} $$
    $$ \frac{11}{32} $$
    $$ \frac{3}{8} $$
    $$ \frac{3}{16} $$
    $$ \frac{11}{16} $$
    $$ \frac{5}{8} $$
    $$ \frac{3}{32} $$
    $$ \frac{17}{32} $$
    $$ \frac{1}{2} $$
    $$ \frac{21}{32} $$
    $$ \frac{5}{16} $$
    $$ \frac{9}{16} $$
    $$ \frac{7}{8} $$
    $$ \frac{3}{4} $$
    $$ \frac{1}{16} $$
    $$ \frac{13}{32} $$
    $$ \frac{7}{16} $$
  2. Expliquer pourquoi la probabilité de \(A \cup F\) est la somme de celles de \(A\) et de \(F\), alors que celle de \(A \cup C\) ne l'est pas.

    Aucune carte n'est à la fois un as et une figure : \(A \cap F = \varnothing\), les évènements sont incompatibles et \(P(A \cup F) = P(A) + P(F)\).

    L'as de cœur est à la fois dans \(A\) et dans \(C\) : la somme \(P(A) + P(C)\) le compte deux fois, il faut retirer \(P(A \cap C) = \frac{1}{32}\).

Le kakuro des probabilités

On choisit au hasard un client d'une salle d'escalade. Le tableau donne la probabilité de chaque âge et de chaque formule, et dans chaque case celle de l'intersection : par exemple, la probabilité qu'un client ait moins de \(18\) ans et paie à la séance vaut \(\frac{1}{10}\).

Comme dans un kakuro, chaque ligne et chaque colonne a pour somme sa case grise, et les cases grises font \(1\), en ligne comme en colonne.

Un tableau de probabilités : en ligne l'âge, moins de 18 ans, de 18 à 40 ans, plus de 40 ans ; en colonne la formule, à la séance, carnet, abonnement ; une ligne et une colonne de totaux, grisées, et 1 dans le coin. Cases données : moins de 18 ans et à la séance : 1 sur 10 ; moins de 18 ans et carnet : 1 sur 20 ; de 18 à 40 ans et carnet : 1 sur 5 ; plus de 40 ans et abonnement : 1 sur 20 ; total carnet : 7 sur 20 ; total abonnement : 7 sur 20 ; total des moins de 18 ans : 1 sur 5 ; total des plus de 40 ans : 1 sur 5. Les autres cases sont vides à la séance carnet abonnement total moins de 18 ans de 18 à 40 ans plus de 40 ans total
$$ \frac{1}{10} $$
$$ \frac{1}{20} $$
$$ \frac{1}{5} $$
$$ \frac{1}{5} $$
$$ \frac{1}{20} $$
$$ \frac{1}{5} $$
$$ \frac{7}{20} $$
$$ \frac{7}{20} $$
$$ 1 $$
Le tableau complété : moins de 18 ans : 1 sur 10, 1 sur 20, 1 sur 20, total 1 sur 5 ; de 18 à 40 ans : 3 sur 20, 1 sur 5, 1 sur 4, total 3 sur 5 ; plus de 40 ans : 1 sur 20, 1 sur 10, 1 sur 20, total 1 sur 5 ; totaux des colonnes : 3 sur 10, 7 sur 20, 7 sur 20 à la séance carnet abonnement total moins de 18 ans de 18 à 40 ans plus de 40 ans total
$$ \frac{1}{10} $$
$$ \frac{1}{20} $$
$$ \frac{1}{20} $$
$$ \frac{1}{5} $$
$$ \frac{3}{20} $$
$$ \frac{1}{5} $$
$$ \frac{1}{4} $$
$$ \frac{3}{5} $$
$$ \frac{1}{20} $$
$$ \frac{1}{10} $$
$$ \frac{1}{20} $$
$$ \frac{1}{5} $$
$$ \frac{3}{10} $$
$$ \frac{7}{20} $$
$$ \frac{7}{20} $$
$$ 1 $$
  1. Compléter le tableau, en ne cherchant à chaque fois qu'une case par ligne ou par colonne.

    Une ligne ou une colonne dont il ne manque qu'une case la donne par soustraction, par exemple :

    $$ \frac{1}{5} - \frac{1}{10} - \frac{1}{20} = \frac{4}{20} - \frac{2}{20} - \frac{1}{20} = \frac{1}{20} $$

    Dans l'ordre : la case moins de \(18\) ans et abonnement, la case plus de \(40\) ans et carnet, puis plus de \(40\) ans et séance, de \(18\) à \(40\) ans et abonnement, le total des \(18\) à \(40\) ans par \(1 - \frac{1}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3}{5}\), la case de \(18\) à \(40\) ans et séance, et le total de la séance.

    La dernière case se vérifie par sa colonne : \(\frac{2}{20} + \frac{3}{20} + \frac{1}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\), et \(\frac{3}{10} + \frac{7}{20} + \frac{7}{20} = 1\).

  2. On note \(A\) l'évènement « le client a moins de \(18\) ans » et \(S\) l'évènement « il paie à la séance ». Calculer \(P(A \cup S)\) de deux façons : en additionnant des cases du tableau, puis par la formule de la réunion.

    \(A \cup S\) regroupe la ligne des moins de \(18\) ans et les deux autres cases de la colonne séance :

    $$ P(A \cup S) = \frac{2}{20} + \frac{1}{20} + \frac{1}{20} + \frac{3}{20} + \frac{1}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} $$
    $$ P(A) + P(S) - P(A \cap S) = \frac{1}{5} + \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $$
  3. On passe au cas général : \(A\) et \(B\) sont deux évènements quelconques. Démontrer que :
    $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$
    On pourra découper \(A \cup B\) en trois évènements incompatibles, comme les cases du tableau.

    \(A\) se partage en deux évènements incompatibles, \(A \cap B\) et \(A \cap \overline{B}\) ; de même pour \(B\) :

    $$ P(A) = P(A \cap B) + P\left(A \cap \overline{B}\right) $$
    $$ P(B) = P(A \cap B) + P\left(\overline{A} \cap B\right) $$

    \(A \cup B\) se partage en trois évènements incompatibles, comme trois cases du tableau :

    $$ P(A \cup B) = P\left(A \cap \overline{B}\right) + P(A \cap B) + P\left(\overline{A} \cap B\right) $$

    On remplace les deux cases du bord par ce que donnent les deux premières égalités :

    $$ P(A \cup B) = \bigl(P(A) - P(A \cap B)\bigr) + P(A \cap B) + \bigl(P(B) - P(A \cap B)\bigr) $$
    $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$

Le jeu de l'oie au dé truqué

Hugo fabrique un dé truqué à six faces, qui ne porte que des \(1\), des \(2\) et des \(3\). Son pion part de la case Départ et joue deux tours, en avançant du nombre tiré. Sur l’oie, en case \(3\), il avance encore du même nombre ; à l'arrivée, en case \(6\), la partie s'arrête.

Un plateau de sept cases en ligne : Départ, 1, 2, 3 marquée oie, 4, 5, et 6 marquée arrivée Départ 1 2 3 oie 4 5 6 arrivée
  1. Écrire sur le patron le nombre porté par chaque face, pour que le dé suive sa loi.
    La loi du dé : face 1, probabilité 1 sur 2 ; face 2, 1 sur 3 ; face 3, 1 sur 6. À droite, le patron du dé : six carrés vides en croix La loi du dé 1
    $$ \frac{1}{2} $$
     2
    $$ \frac{1}{3} $$
     3
    $$ \frac{1}{6} $$
     face probabilité

    Chaque face a une chance sur six de sortir :

    $$ \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \quad \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad \frac{1}{6} $$

    Trois faces portent \(1\), deux faces portent \(2\), une face porte \(3\) : les six faces sont prises, car la loi a pour somme \(1\).

    Le patron du dé complété : trois faces portent 1, deux faces portent 2, une face porte 3 La loi du dé 1
    $$ \frac{1}{2} $$
     2
    $$ \frac{1}{3} $$
     3
    $$ \frac{1}{6} $$
     face probabilité 1 2 1 3 1 2
  2. Compléter l'arbre : la probabilité de chaque branche, puis la case finale de chaque chemin et sa probabilité.
    Un arbre à compléter : de la racine partent trois branches vers les nœuds 1, 2 et 3 du premier tour ; des nœuds 1 et 2 partent trois branches vers les nœuds 1, 2 et 3 du second tour ; le nœud 3 du premier tour mène directement au bout. Une case vide sur chaque branche, et au bout de chacun des sept chemins une case pour la case finale et une pour la probabilité 1er tour 2e tour case finale probabilité 1 1 2 3 2 1 2 3 3

    Un tirage de \(3\) au premier tour mène à l'oie, puis à l'arrivée : la partie s'arrête. La probabilité d'un chemin est le produit de ses branches, par exemple :

    $$ P(1 \text{ puis } 2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $$

    Ce chemin passe par l'oie : de la case \(1\), le \(2\) mène en case \(3\), puis en case \(5\).

    L'arbre complété : branches de premier et de second tour à 1 sur 2, 1 sur 3 et 1 sur 6. Chemins : 1-1 : case 2, 1 sur 4 ; 1-2 : case 5, 1 sur 6 ; 1-3 : case 4, 1 sur 12 ; 2-1 : case 4, 1 sur 6 ; 2-2 : case 4, 1 sur 9 ; 2-3 : case 5, 1 sur 18 ; 3 : case 6, 1 sur 6 1er tour 2e tour case finale probabilité
    $$ \frac{1}{2} $$
     1
    $$ \frac{1}{2} $$
     1 2
    $$ \frac{1}{4} $$
    $$ \frac{1}{3} $$
     2 5
    $$ \frac{1}{6} $$
    $$ \frac{1}{6} $$
     3 4
    $$ \frac{1}{12} $$
    $$ \frac{1}{3} $$
     2
    $$ \frac{1}{2} $$
     1 4
    $$ \frac{1}{6} $$
    $$ \frac{1}{3} $$
     2 4
    $$ \frac{1}{9} $$
    $$ \frac{1}{6} $$
     3 5
    $$ \frac{1}{18} $$
    $$ \frac{1}{6} $$
     3 6
    $$ \frac{1}{6} $$
  3. Calculer la probabilité de chaque case où le pion peut finir, puis vérifier que leur somme vaut \(1\).

    On additionne les chemins qui mènent à la même case :

    $$ P(\text{case } 4) = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{3}{36} + \frac{6}{36} + \frac{4}{36} = \frac{13}{36} $$
    $$ P(\text{case } 5) = \frac{1}{6} + \frac{1}{18} = \frac{6}{36} + \frac{2}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} $$
    $$ P(\text{case } 2) = \frac{1}{4} \quad P(\text{arrivée}) = \frac{1}{6} $$
    $$ \frac{9}{36} + \frac{13}{36} + \frac{8}{36} + \frac{6}{36} = \frac{36}{36} = 1 $$
  4. On note \(O\) l'évènement « le pion passe par l'oie » et \(Q\) l'évènement « le pion finit en case \(4\) ». Calculer \(P(O)\), puis \(P(O \cup Q)\).

    Trois chemins passent par l'oie : \(1\) puis \(2\), \(2\) puis \(1\), et \(3\).

    $$ P(O) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} $$

    Seul le chemin \(2\) puis \(1\) passe par l'oie et finit en case \(4\) : \(P(O \cap Q) = \frac{1}{6}\).

    $$ P(O \cup Q) = \frac{18}{36} + \frac{13}{36} - \frac{6}{36} = \frac{25}{36} $$

Le jeu de piste du retard

Inès va au lycée en bus trois jours sur cinq, à vélo les autres. En bus, elle arrive en retard une fois sur quatre ; à vélo, une fois sur huit. Pour un jour pris au hasard, on note \(B\) « Inès prend le bus », \(V\) « elle prend le vélo » et \(R\) « elle arrive en retard ».

Chaque carte demande une probabilité, et chaque réponse envoie vers une autre carte. Le bon chemin passe une fois par chacune des neuf cartes avant la sortie : revenir au départ ou sur une carte déjà vue signale une erreur.

  1. Suivre le jeu de piste, puis écrire les numéros des cartes dans l'ordre du chemin.
    Le jeu de piste : une carte Départ, qui renvoie à la carte 4, une carte Sortie, et neuf cartes numérotées. carte 1 : Pcontraire de {R}, réponses 7 sur 8 vers carte 9, 4 sur 5 vers carte 8, 3 sur 4 vers carte 5 ; carte 2 : P(R), réponses 3 sur 8 vers carte 7, 3 sur 400 vers départ, 1 sur 5 vers carte 9 ; carte 3 : PV inter contraire de {R}, réponses 7 sur 8 vers carte 8, 7 sur 20 vers carte 6, 2 sur 5 vers carte 4 ; carte 4 : P(B inter R), réponses 1 sur 4 vers départ, 3 sur 20 vers carte 7, 17 sur 20 vers départ ; carte 5 : P_R(V), réponses 1 sur 8 vers carte 9, 1 sur 4 vers carte 1, 1 sur 100 vers carte 7 ; carte 6 : P_{contraire de {R}}(B), réponses 9 sur 25 vers carte 1, 9 sur 16 vers sortie, 3 sur 4 vers carte 3 ; carte 7 : P(V inter R), réponses 21 sur 40 vers départ, 1 sur 20 vers carte 2, 1 sur 8 vers carte 4 ; carte 8 : PB inter contraire de {R}, réponses 3 sur 4 vers carte 1, 3 sur 5 vers carte 7, 9 sur 20 vers carte 3 ; carte 9 : P_R(B), réponses 1 sur 4 vers carte 2, 3 sur 4 vers carte 5, 3 sur 100 vers carte 4 Départ : aller à la carte 4 Sortie Carte 1
    $$ P\left(\overline{R}\right) $$
    $$ \frac{7}{8} $$
     → 9
    $$ \frac{4}{5} $$
     → 8
    $$ \frac{3}{4} $$
     → 5 Carte 2
    $$ P(R) $$
    $$ \frac{3}{8} $$
     → 7
    $$ \frac{3}{400} $$
     départ
    $$ \frac{1}{5} $$
     → 9 Carte 3
    $$ P\left(V \cap \overline{R}\right) $$
    $$ \frac{7}{8} $$
     → 8
    $$ \frac{7}{20} $$
     → 6
    $$ \frac{2}{5} $$
     → 4 Carte 4
    $$ P(B \cap R) $$
    $$ \frac{1}{4} $$
     départ
    $$ \frac{3}{20} $$
     → 7
    $$ \frac{17}{20} $$
     départ Carte 5
    $$ P_R(V) $$
    $$ \frac{1}{8} $$
     → 9
    $$ \frac{1}{4} $$
     → 1
    $$ \frac{1}{100} $$
     → 7 Carte 6
    $$ P_{\overline{R}}(B) $$
    $$ \frac{9}{25} $$
     → 1
    $$ \frac{9}{16} $$
     sortie
    $$ \frac{3}{4} $$
     → 3 Carte 7
    $$ P(V \cap R) $$
    $$ \frac{21}{40} $$
     départ
    $$ \frac{1}{20} $$
     → 2
    $$ \frac{1}{8} $$
     → 4 Carte 8
    $$ P\left(B \cap \overline{R}\right) $$
    $$ \frac{3}{4} $$
     → 1
    $$ \frac{3}{5} $$
     → 7
    $$ \frac{9}{20} $$
     → 3 Carte 9
    $$ P_R(B) $$
    $$ \frac{1}{4} $$
     → 2
    $$ \frac{3}{4} $$
     → 5
    $$ \frac{3}{100} $$
     → 4

    L'arbre pondéré du trajet porte \(P(B) = \frac{3}{5}\), \(P(V) = \frac{2}{5}\), puis \(P_B(R) = \frac{1}{4}\) et \(P_V(R) = \frac{1}{8}\). Un chemin se calcule par un produit :

    $$ P(B \cap R) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{20} $$
    $$ P(V \cap R) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{20} $$
    $$ P(R) = \frac{3}{20} + \frac{1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} $$

    Sachant qu'Inès est en retard, on divise par \(P(R)\) :

    $$ P_R(B) = \frac{3}{20} \div \frac{1}{5} = \frac{3}{20} \times 5 = \frac{3}{4} $$
    $$ P_R(V) = \frac{1}{20} \times 5 = \frac{1}{4} $$
    $$ P\left(\overline{R}\right) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} $$
    $$ P\left(B \cap \overline{R}\right) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{20} $$
    $$ P\left(V \cap \overline{R}\right) = \frac{2}{5} \times \frac{7}{8} = \frac{7}{20} $$
    $$ P_{\overline{R}}(B) = \frac{9}{20} \div \frac{4}{5} = \frac{9}{20} \times \frac{5}{4} = \frac{9}{16} $$

    Les pièges inversent la condition : \(P_B(R) = \frac{1}{4}\) n'est pas \(P_R(B) = \frac{3}{4}\).

    $$ \text{Départ} \to 4 \to 7 \to 2 \to 9 \to 5 \to 1 \to 8 \to 3 \to 6 \to \text{Sortie} $$
    Le jeu de piste corrigé : la bonne réponse de chaque carte est coloriée ; le chemin passe par les cartes 4, 7, 2, 9, 5, 1, 8, 3, 6, puis la sortie Départ : aller à la carte 4 Sortie Carte 1
    $$ P\left(\overline{R}\right) $$
    $$ \frac{7}{8} $$
     → 9
    $$ \frac{4}{5} $$
     → 8
    $$ \frac{3}{4} $$
     → 5 Carte 2
    $$ P(R) $$
    $$ \frac{3}{8} $$
     → 7
    $$ \frac{3}{400} $$
     départ
    $$ \frac{1}{5} $$
     → 9 Carte 3
    $$ P\left(V \cap \overline{R}\right) $$
    $$ \frac{7}{8} $$
     → 8
    $$ \frac{7}{20} $$
     → 6
    $$ \frac{2}{5} $$
     → 4 Carte 4
    $$ P(B \cap R) $$
    $$ \frac{1}{4} $$
     départ
    $$ \frac{3}{20} $$
     → 7
    $$ \frac{17}{20} $$
     départ Carte 5
    $$ P_R(V) $$
    $$ \frac{1}{8} $$
     → 9
    $$ \frac{1}{4} $$
     → 1
    $$ \frac{1}{100} $$
     → 7 Carte 6
    $$ P_{\overline{R}}(B) $$
    $$ \frac{9}{25} $$
     → 1
    $$ \frac{9}{16} $$
     sortie
    $$ \frac{3}{4} $$
     → 3 Carte 7
    $$ P(V \cap R) $$
    $$ \frac{21}{40} $$
     départ
    $$ \frac{1}{20} $$
     → 2
    $$ \frac{1}{8} $$
     → 4 Carte 8
    $$ P\left(B \cap \overline{R}\right) $$
    $$ \frac{3}{4} $$
     → 1
    $$ \frac{3}{5} $$
     → 7
    $$ \frac{9}{20} $$
     → 3 Carte 9
    $$ P_R(B) $$
    $$ \frac{1}{4} $$
     → 2
    $$ \frac{3}{4} $$
     → 5
    $$ \frac{3}{100} $$
     → 4
  2. Sur le jeu de piste, \(P_R(B) + P_R(V) = 1\). On passe au cas général : \(A\) et \(B\) sont deux évènements, avec \(P(A) \neq 0\). Démontrer que :
    $$ P_A(B) + P_A\left(\overline{B}\right) = 1 $$

    \(A\) se partage en deux évènements incompatibles, \(A \cap B\) et \(A \cap \overline{B}\) :

    $$ P(A) = P(A \cap B) + P\left(A \cap \overline{B}\right) $$

    On divise les deux membres par \(P(A)\), qui n'est pas nul :

    $$ 1 = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} + \frac{P\left(A \cap \overline{B}\right)}{P(A)} = P_A(B) + P_A\left(\overline{B}\right) $$

    C'est la règle de l'arbre : les branches qui partent d'un même nœud ont pour somme \(1\).