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Le vocabulaire des probabilités, les règles de calcul, puis l'arbre pour enchaîner deux épreuves.
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Décrire l'univers d'une expérience et l'évènement contraire
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Calculer la probabilité d'une intersection et d'une union
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Estimer une probabilité par une simulation
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Calculer une probabilité conditionnelle sans inverser la condition
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Utiliser un arbre pondéré pour calculer une probabilité
Avec deux dés, il y a six façons de faire \(7\), et une seule de faire \(2\).
Ce sont les \(36\) résultats des deux dés qui sont équiprobables, pas les sommes.
Une probabilité se compte sur la liste complète des issues élémentaires.
Définitions
Une probabilité
Une probabilité mesure la chance qu'un évènement \(E\) se réalise.
Elle est comprise entre \(0\) et \(1\) :
En \(\%\) :
En situation d'équiprobabilité :
L'univers \( : \Omega\)
On appelle \(\Omega\) l'univers d'une expérience aléatoire : l'ensemble de ses issues.
\(\Omega\) est l'évènement certain :
Un évènement contraire \( : \overline{E}\)
\( \overline{E} \), l'évènement contraire de \(E\), se réalise quand \(E\) ne se réalise pas :
Intersections/unions
Soient deux ensembles \((A, \ B)\).
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Soit ils sont compatibles (ou joints) : ils ont des éléments communs.
Deux évènements \((A, \ B)\) compatibles -
Soit ils sont incompatibles (ou disjoints) : ils n'ont aucun élément commun.
Deux évènements \((A, \ B)\) incompatibles
La probabilité d'une intersection \( : P(A \cap B)\)
L'intersection est associée à l'opérateur logique "\(ET\)" \((\land)\) : elle regroupe les issues communes aux deux évènements.
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Proposition
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$$ A $$ |
$$ B $$ |
$$ A \land B $$ |
|---|---|---|---|
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États logiques
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$$ V $$ |
$$ V $$ |
$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{V} $$ |
$$ V $$ |
$$ F $$ |
$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{F} $$ |
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$$ F $$ |
$$ V $$ |
$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{F} $$ |
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$$ F $$ |
$$ F $$ |
$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{F} $$ |
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Si \(A\) et \(B\) sont compatibles
La probabilité d'une intersection : \(P(A \cap B)\) En situation d'équiprobabilité, \(P(A \cap B)\) se calcule en comptant les issues communes.
Exemple : on tire une carte d'un jeu de \(52\) cartes.
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\(\text{Dame}\) : "Tirer une dame"
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\(\text{Rouge}\) : "Tirer une carte rouge"
Deux dames sont rouges : cœur et carreau.
$$ P(\text{Dame} \cap \text{Rouge}) = \frac{2}{52} $$$$P(\text{Dame} \cap \text{Rouge}) = \frac{1}{26} $$ -
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Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles
L'intersection est vide :
$$ P(A \cap B) = 0 \hspace{2em} (A \quad \text{et} \quad B \ \text{incompatibles}) $$
La probabilité d'une union \( : P(A \cup B)\)
L'union est associée à l'opérateur logique "\(OU\)", et se traduit en général par une addition.
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Proposition
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$$ A $$ |
$$ B $$ |
$$ A \lor B $$ |
|---|---|---|---|
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États logiques
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$$ V $$ |
$$ V $$ |
$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{V} $$ |
$$ V $$ |
$$ F $$ |
$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{V} $$ |
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$$ F $$ |
$$ V $$ |
$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{V} $$ |
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$$ F $$ |
$$ F $$ |
$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{F} $$ |
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Si \(A\) et \(B\) sont compatibles
\(P(A)\), \(P(B)\) et \(P(A \cap B)\) Pour l'union, on retire l'intersection \(P(A \cap B)\), comptée deux fois :
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$
Exemple : avec les mêmes évènements \(\text{Dame}\) et \(\text{Rouge}\) :
$$ P(\text{Dame} \cup \text{Rouge}) = P(\text{Dame}) + P(\text{Rouge}) - P(\text{Dame} \cap \text{Rouge}) $$Avec \(P(\text{Dame} \cap \text{Rouge})\) calculée plus haut :
$$ P(\text{Dame} \cup \text{Rouge}) = \frac{1}{13} + \frac{1}{2} - \frac{1}{26} $$$$ P(\text{Dame} \cup \text{Rouge}) = \frac{1}{13}\textcolor{rgb(157 171 234)}{\times \frac{2}{2}} + \frac{1}{2}\textcolor{rgb(157 171 234)}{\times \frac{13}{13}} - \frac{1}{26} $$$$ P(\text{Dame} \cup \text{Rouge}) = \frac{2}{26} + \frac{13}{26} - \frac{1}{26} $$$$ P(\text{Dame} \cup \text{Rouge}) = \frac{14}{26} $$$$P(\text{Dame} \cup \text{Rouge}) = \frac{7}{13} $$ -
Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles
Les probabilités s'additionnent :
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \hspace{2em} (A \quad \text{et} \quad B \ \text{incompatibles}) $$
Loi des grands nombres
Répéter un grand nombre de fois la même expérience aléatoire fait stabiliser les fréquences observées autour des probabilités théoriques.
On estime ainsi une probabilité inconnue par une simulation.
La loi des grands nombres ne prévoit pas le résultat suivant.
Simuler pour l'observer
La stabilisation se regarde : on suit la fréquence au fil des lancers simulés.
Au tableur, une ligne par lancer, recopiée vers le bas :
A2 : =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) B2 : =NB.SI($A$2:A2;6)/(LIGNE()-1)
La colonne B donne la fréquence du \(6\) depuis le début : elle oscille, puis se resserre autour de \(\frac{1}{6}\).
En Python :
from random import randint
lancers = 10000
six = 0
for k in range(lancers):
if randint(1, 6) == 6:
six = six + 1
print(six / lancers)
Le résultat change à chaque exécution, mais de moins en moins quand le nombre de lancers augmente.
Une simulation estime une probabilité, elle ne la démontre pas. Deux simulations de même taille diffèrent : c'est la fluctuation d'échantillonnage.
Probabilités conditionnelles
Probabilité conditionnelle
Soient \(A\) et \(B\) deux évènements, avec \(P(A) \neq 0\). La probabilité de \(B\) sachant \(A\) est:
On se restreint aux issues de \(A\), comme pour une fréquence conditionnelle d'un tableau croisé.
D'où la formule des probabilités composées :
Ne pas confondre \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\)
Ces deux probabilités ne se restreignent pas au même ensemble : elles diffèrent en général.
Pour un test médical (\(M\) : malade, \(T\) : positif), \(P_M(T)\) peut être élevée et \(P_T(M)\) faible si la maladie est rare : c'est le phénomène des faux positifs.
Arbres pondérés
Un arbre pondéré représente une succession de deux épreuves. Deux règles :
Sur cet arbre, \(P(A) = 0.6\) et \(P_A(B) = 0.7\) :
Pour \(P(B)\), on additionne les probabilités de tous les chemins qui aboutissent à \(B\):