Probabilités

Définitions

Le cardinal \( : \Omega\)

On appelle \(\Omega\) le cardinal d'un ensemble, c'est-à-dire la totalité de toutes les possibilités.

Par conséquent, \(P(\Omega)\) est l'évènement certain et:

$$ P(\Omega) = 1 $$

Un évènement contraire \( : \overline{E}\)

Soit un évènement se produit, soit il ne se produit pas, et on note \( \overline{E} \) son évènement contraire.

$$ P(\overline{E}) = 1 - P(E) $$

Intersections/unions

Soient deux ensembles \((A, \ B)\).

• Soit ils sont compatibles (ou joints), c'est-à-dire qu'ils ont des éléments communs :

  

• Soit ils sont incompatibles (ou disjoints), c'est-à-dire qu'ils n'ont aucun élément commun :

  

La probabilité d'une intersection \( : P(A \cap B)\)

L'intersection est associée à l'opérateur logique "\(ET\)" \((\land)\), et se traduit en général par une multiplication.

1. Si \(A\) et \(B\) sont compatibles

   C'est ce que deux évènements ont en commun.

   

   Par défaut, la probabilité d'une intersection de deux évènements compatibles \(A\) et \(B\) est le résultat de leur multiplication:

   $$ \forall (A,B) \text{ compatibles}, $$
   $$ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $$
   
   

   Exemple : "piocher une dame" et "piocher une carte rouge" dans un jeu de 52 cartes

   On a les deux évènements :

   • \(\text{Dame}\) : "Tirer une dame"

   • \(\text{Rouge}\) : "Tirer une carte rouge"

   Alors, cela revient à faire :

   $$ P(\text{Dame} \cap \text{Rouge}) = P(\text{Dame}) \times P(\text{Rouge}) $$
   $$ P(\text{Dame} \cap \text{Rouge}) = \frac{1}{13} \times \frac{1}{2} $$
   $$P(\text{Dame} \cap \text{Rouge}) = \frac{1}{26} $$
2. Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles

   Dans ce cas, il n'y pas d'intersection et :

   $$ \forall (A,B) \text{ incompatibles}, $$
   $$ P(A \cap B) = 0 $$

La probabilité d'une union \( : P(A \cup B)\)

L'union est associée à l'opérateur logique "\(OU\)", et se traduit en général par une addition.

1. Si \(A\) et \(B\) sont compatibles

   C'est ce que deux évènements ont en commun, plus ce qu'ils ont de propre à chacun.

   

   Sur la figure précédente, pour obtenir la probabilité de l'union des évènements \(A\) et \(B\), il faut retirer l'intersection \(P(A \cap B)\) car elle est présente en doublons. Alors:

   $$ \forall (A,B) \text{ compatibles}, $$
   $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$
   
   

   Exemple : "piocher une dame" ou "piocher une carte rouge" dans un jeu de 52 cartes

   On a les deux évènements :

   • \(\text{Dame}\) : "Tirer une dame"

   • \(\text{Rouge}\) : "Tirer une carte rouge"

   Alors, cela revient à faire :

   $$ P(\text{Dame} \cup \text{Rouge}) = P(\text{Dame}) + P(\text{Rouge}) - P(\text{Dame} \cap \text{Rouge}) $$

   On a calculé plus la probabilité \(P(\text{Dame} \cap \text{Rouge})\)

   $$ P(\text{Dame} \cup \text{Rouge}) = \frac{1}{13} + \frac{1}{2} - \frac{1}{26} $$
   $$ P(\text{Dame} \cup \text{Rouge}) = \frac{1}{13}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{2}{2}} + \frac{1}{2}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{13}{13}} - \frac{1}{26} $$
   $$ P(\text{Dame} \cup \text{Rouge}) = \frac{2}{26} + \frac{13}{26} - \frac{1}{26} $$
   $$ P(\text{Dame} \cup \text{Rouge}) = \frac{14}{26} $$
   $$P(\text{Dame} \cup \text{Rouge}) = \frac{7}{13} $$
2. Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles

   Dans ce cas, la probabilité de l''union des deux évènements est simplement leur addition:

   $$ \forall (A,B) \text{ incompatibles}, $$
   $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $$

Loi des grands nombres

Répéter un grand nombre de fois la même expérience aléatoire fait stabiliser les fréquences observées autour des probabilités théoriques.

C'est ce constat qui justifie d'estimer une probabilité inconnue par une simulation : on répète l'expérience un grand nombre de fois, et on relève la fréquence.

La loi des grands nombres ne dit rien d'une répétition isolée : elle ne permet jamais de prévoir le résultat suivant.

Simuler pour l'observer

La stabilisation ne se raconte pas, elle se regarde: on simule un grand nombre de lancers, et on suit la fréquence au fil des répétitions.

Au tableur, un lancer de dé tient dans une cellule, recopiée autant de fois que voulu :

A2 : =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6)
B2 : =NB.SI($A$2:A2;6)/(LIGNE()-1)

La colonne B donne la fréquence du \(6\) depuis le début: elle oscille beaucoup sur les premières lignes, puis se resserre autour de \(\frac{1}{6}\).

En Python, la même expérience s'écrit :

from random import randint

lancers = 10000
six = 0
for k in range(lancers):
    if randint(1, 6) == 6:
        six = six + 1
print(six / lancers)

En relançant plusieurs fois, le résultat change à chaque exécution - mais de moins en moins à mesure que le nombre de lancers augmente.

Une simulation estime une probabilité, elle ne la démontre pas. Deux simulations de même taille ne donnent pas le même résultat : c'est la fluctuation d'échantillonnage.

Probabilités conditionnelles

En multipliant les deux membres par \(P(A)\), on obtient la formule des probabilités composées :

Ne pas confondre \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\)

Ces deux probabilités portent sur le même couple d'évènements, mais ne se restreignent pas au même ensemble. Elles n'ont aucune raison d'être égales.

Pour un test médical, \(P_M(T)\) est la probabilité d'être testé positif quand on est malade, tandis que \(P_T(M)\) est la probabilité d'être réellement malade quand le test est positif. La seconde peut être faible alors que la première est très élevée, si la maladie est rare : c'est le phénomène des faux positifs.

Arbres pondérés

Un arbre pondéré représente une succession de deux épreuves. Deux règles suffisent à l'exploiter.

Sur cet arbre, \(P(A) = 0{,}6\) et \(P_A(B) = 0{,}7\). La probabilité du chemin menant à \(A\) puis à \(B\) est donc le produit des deux branches :

Pour obtenir \(P(B)\), on additionne les probabilités de tous les chemins qui aboutissent à \(B\):