Les statistiques

Lexique du langage statistique

La moyenne arithmétique

On distingue deux cas :

• avec un élément par donnée, \(n\) est le nombre de données
• avec des effectifs, leur somme est notée \(N\) :
  $$ N=e_1 + e_2 + e_3 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \dots \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} e_n $$

Soit la série :

1. En calcul simple, la moyenne vaut :

   $$ M_A = \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 \ + \ \dots + \ \ x_n}{n} $$
   $$ (\text{où } n \text{ est le nombre de données}) $$

   Sous forme de somme :

   $$ M_A = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k $$

2. Avec prise en compte des effectifs, la moyenne vaut :

   $$ M_A = \frac{e_1x_1 + e_2x_2 + e_3x_3 \ + \ \dots + \ \ e_nx_n}{N} $$
   $$ (\text{où } N \text{ est l'effectif total}) $$
   $$ N=e_1 + e_2 + e_3 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \dots \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} e_n $$

   Sous forme de somme :

   $$ M_A = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{n} \Bigl[ e_k \ x_k \Bigr] $$

Indicateurs de positionnement : \( (Q_1, M, Q_3)\)

Pour la médiane \((M)\) et les quartiles \((Q_1, Q_3)\), on range d'abord les données en ordre croissant, répétitions comprises.

Médiane \( : M\)

Exemples :

• Si \(n\) est impair :

  $$ x = \Bigl \{ 10, \ 10, \ 11, \ 11, \ 12, \ 14, \ 16 \Bigr \} $$
  $$ (n = 7) \Longrightarrow \frac{n+1}{2} = 4 $$

  On prend la 4 ^ème valeur :

  $$ x = \Bigl \{ 10, \ 10, \ 11, \ \textcolor{rgb(232 124 124)}{11}, \ 12, \ 14, \ 16 \Bigr \} $$
  $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{M = 11} $$

• Si \(n\) est pair :

  $$ x = \Bigl \{ 10, \ 10, \ 11, \ 11, \ 12, \ 14, \ 16, \ 16 \Bigr \} $$
  $$ (n = 8) \Longrightarrow \frac{n}{2} = 4 $$

  On prend la moyenne des 4 ^ème et 5 ^ème valeurs :

  $$ x = \Bigl \{ 10, \ 10, \ 11, \ \textcolor{rgb(232 124 124)}{11, \ 12}, \ 14, \ 16, \ 16 \Bigr \} $$
  $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{M = \frac{11 + 12}{2}} $$
  $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{M = 11.5} $$

Quartiles : \((Q_1,Q_3)\)

1. 1 ^er quartile : \(Q_1\)

   C'est la valeur du \(\frac{n}{4}\)-ième individu.

   On arrondit à la valeur supérieure.

   
   

   Exemple :

   $$ x = \Bigl \{ 10, \ 10, \ 11, \ 11, \ 12, \ 14, \ 16 \Bigr \} $$
   $$ (n = 7) \Longrightarrow \frac{n}{4} = 1.75 $$

   On prend la 2 ^ème valeur :

   $$ x = \Bigl \{ 10, \ \textcolor{rgb(232 124 124)}{10}, \ 11, \ 11, \ 12, \ 14, \ 16 \Bigr \} $$
   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{Q_1 = 10} $$
2. 3 ^ème quartile : \(Q_3\)

   C'est la valeur du \(\frac{3n}{4}\)-ième individu, arrondi de même.

   
   

   Exemple :

   $$ x = \Bigl \{ 10, \ 10, \ 11, \ 11, \ 12, \ 14, \ 16 \Bigr \} $$
   $$ (n = 7) \Longrightarrow \frac{3n}{4} = 5.25 $$

   On prend la 6 ^ème valeur :

   $$ x = \Bigl \{ 10, \ 10, \ 11, \ 11, \ 12, \ \textcolor{rgb(232 124 124)}{14}, \ 16 \Bigr \} $$
   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{Q_3 = 14} $$
3. Écart inter-quartile : \(Q_3 - Q_1\)

   L'écart inter-quartile est un indicateur de dispersion :

   $$ \Delta Q = Q_3 - Q_1 $$

Variance, écart-type

Variance

On note \(\overline{x}\) la moyenne de la série \( x = \Bigl \{ x_1, \ x_2, \ \dots , \ x_n \Bigr\}\) :

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.

1. En calcul simple, la variance vaut :

   $$\mathrm{Var}(x) = \frac{(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \ (x_3 - \overline{x})^2 + \ \dots \ + \ (x_n - \overline{x})^2}{n} $$

   Sous forme de somme :

   $$ \mathrm{Var}(x) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (x_k - \overline{x})^2 $$

2. Avec prise en compte des effectifs, la variance vaut :

   $$ \mathrm{Var}(x) = \frac{e_1(x_1 - \overline{x})^2 + e_2(x_2 - \overline{x})^2 + \ e_3(x_3 - \overline{x})^2 + \ \dots \ + \ e_n(x_n - \overline{x})^2}{N} $$

Écart-type

L'écart-type est un indicateur de dispersion autour de la moyenne :

Ajout ou retrait d'une valeur

Ajouter une valeur modifie la moyenne selon qu'elle est au-dessus ou en dessous de la moyenne.

Séries regroupées en classes

Quand les valeurs sont nombreuses, on les regroupe en classes, c'est-à-dire en intervalles.

Moyenne d'une série en classes

On remplace chaque classe par son centre, et on calcule la moyenne pondérée par les effectifs.

Le résultat est une valeur approchée.

Classe médiane

La classe médiane est la première classe où l'effectif cumulé atteint la moitié de l'effectif total. On y estime la médiane sur le polygone des fréquences cumulées.

Histogramme

Dans un histogramme, l'aire de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif de la classe : la hauteur est l'effectif rapporté à l'amplitude.

Croiser deux caractères qualitatifs

Pour deux caractères qualitatifs, on présente les effectifs dans un tableau croisé.

La fréquence marginale des externes vaut :

La fréquence des externes parmi les élèves de seconde vaut :

On précise toujours par rapport à quel ensemble une fréquence est calculée : \(48\) élèves font \(40\ \%\) des secondes, mais \(24\ \%\) de l'établissement.