Les pourcentages et les évolutions

Proportions

Proportion

Soit $E$ un ensemble de $n_E$ éléments et $A$ une partie de $E$ comptant $n_A$ éléments. La proportion de $A$ dans $E$ est le quotient :

$$ p = \frac{n_A}{n_E} $$

C'est un nombre compris entre $0$ et $1$. Multiplié par $100$, il s'exprime en pourcentage .

Dans un lycée de $800$ élèves, $200$ sont en seconde. La proportion d'élèves de seconde vaut donc :

$$ p = \frac{200}{800} = 0{,}25 = 25\ \% $$

Proportion d'une proportion

Lorsque trois ensembles sont emboîtés , les proportions se multiplient .

$$ p_{A/E} = p_{A/B} \times p_{B/E} \qquad \text{avec } A \subset B \subset E $$

La composition de deux proportions

Par définition des trois proportions :

$$ p_{A/B} \times p_{B/E} = \frac{n_A}{n_B} \times \frac{n_B}{n_E} $$

Le nombre $n_B$ se simplifie, car il figure au numérateur comme au dénominateur :

$$ p_{A/B} \times p_{B/E} = \frac{n_A}{n_E} = p_{A/E} $$

Dans un lycée, $60\ \%$ des élèves sont externes et $25\ \%$ des externes suivent l'allemand. La proportion d'élèves à la fois externes et germanistes vaut :

$$ 0{,}60 \times 0{,}25 = 0{,}15 = 15\ \% $$

Les pourcentages ne s'additionnent pas : c'est bien un produit qu'il faut effectuer.

Mesurer une évolution

Une grandeur passe d'une valeur de départ $V_D$ à une valeur d'arrivée $V_A$. Deux façons complémentaires de mesurer cette évolution coexistent.

Variation absolue

La variation absolue est la différence entre les deux valeurs :

$$ \Delta V = V_A - V_D $$

Elle s'exprime dans l'unité de la grandeur étudiée.

Coefficient multiplicateur

Le coefficient multiplicateur est le quotient de la valeur d'arrivée par la valeur de départ :

$$ CM = \frac{V_A}{V_D} $$

C'est un nombre sans unité , qui n'a de sens que si $V_D \neq 0$.

Taux d'évolution

Le taux d'évolution rapporte la variation absolue à la valeur de départ. Il mesure l'évolution relativement à ce dont on part.

$$ t = \frac{V_A - V_D}{V_D} \times 100 \qquad \bigl[\% \bigr] $$

Le coefficient multiplicateur et le taux d'évolution décrivent la même chose, sous deux écritures liées :

$$ CM = 1 + \frac{t}{100} $$

$$ V_A = V_D \times \left(1 + \frac{t}{100}\right) $$

Le lien entre taux et coefficient multiplicateur

On part de la définition du taux d'évolution, écrit sous forme décimale :

$$ \frac{t}{100} = \frac{V_A - V_D}{V_D} = \frac{V_A}{V_D} - \frac{V_D}{V_D} = CM - 1 $$

En ajoutant $1$ de chaque côté :

$$ CM = 1 + \frac{t}{100} $$

Le signe du taux indique le sens de l'évolution, et se lit directement sur le coefficient multiplicateur :

Sens de l'évolution	Taux $t$	Coefficient multiplicateur
Hausse $(\nearrow)$	$t > 0$	$CM > 1$
Aucune évolution	$t = 0$	$CM = 1$
Baisse $(\searrow)$	$t < 0$	$0 < CM < 1$

Lecture du sens d'une évolution

Une baisse peut se présenter de deux façons : soit le taux est annoncé négatif , soit il est annoncé positif mais le texte précise explicitement qu'il s'agit d'une diminution.

Enchaîner des évolutions

Évolutions successives

Lorsque plusieurs évolutions se suivent, les coefficients multiplicateurs se multiplient .

$$ CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2 \times \dots \times CM_n $$

Le coefficient multiplicateur global

Notons $V_0$ la valeur initiale, $V_1$ la valeur après la première évolution et $V_2$ celle après la seconde. Par définition :

$$ V_1 = V_0 \times CM_1 \qquad \text{et} \qquad V_2 = V_1 \times CM_2 $$

En remplaçant $V_1$ par son expression dans la seconde égalité :

$$ V_2 = V_0 \times CM_1 \times CM_2 $$

Or le coefficient multiplicateur global est le quotient de $V_2$ par $V_0$, d'où :

$$ CM_{\text{global}} = \frac{V_2}{V_0} = CM_1 \times CM_2 $$

Les taux , eux, ne s'additionnent pas. Un prix qui augmente de $10\ \%$ puis diminue de $10\ \%$ ne revient pas à son point de départ :

$$ 1{,}10 \times 0{,}90 = 0{,}99 $$

Le coefficient global vaut $0{,}99$, soit une baisse de $1\ \%$ sur l'ensemble.

Évolution réciproque

L'évolution réciproque est celle qui ramène la valeur d'arrivée à la valeur de départ. Son coefficient multiplicateur est l'inverse du premier.

$$ CM' = \frac{1}{CM} $$

Le coefficient multiplicateur réciproque

Enchaîner l'évolution puis sa réciproque doit laisser la valeur inchangée, c'est-à-dire donner un coefficient global égal à $1$ :

$$ CM \times CM' = 1 $$

Comme $CM \neq 0$, on divise les deux membres par $CM$ :

$$ CM' = \frac{1}{CM} $$

Après une hausse de $25\ \%$, le coefficient vaut $1{,}25$. Pour revenir à la valeur initiale, il faut appliquer :

$$ CM' = \frac{1}{1{,}25} = 0{,}8 $$

soit une baisse de $20\ \%$, et non de $25\ \%$.

Comparer deux quantités

Deux quantités se comparent de deux manières, qui ne racontent pas la même histoire.

Comparaison additive

On compare par la différence $B - A$. Elle répond à la question : « combien de plus ? », et s'exprime dans l'unité de la grandeur.

Comparaison multiplicative

On compare par le rapport $\frac{B}{A}$, aussi appelé ratio . Elle répond à la question : « combien de fois plus ? », et ne vaut que pour des quantités strictement positives.

Deux salaires de $1\,500\ \text{€}$ et $1\,800\ \text{€}$ diffèrent de $300\ \text{€}$ par comparaison additive, et sont dans un rapport de $1{,}2$ par comparaison multiplicative, soit $20\ \%$ de plus. Le choix dépend de ce que l'on veut mettre en évidence : un écart, ou une proportion.

Sens de l'évolution	Taux \(t\)	Coefficient multiplicateur
Hausse \((\nearrow)\)	\(t > 0\)	\(CM > 1\)
Aucune évolution	\(t = 0\)	\(CM = 1\)
Baisse \((\searrow)\)	\(t < 0\)	\(0 < CM < 1\)