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Probabilités

Définitions

Une probabilité

Une probabilité est la chance de réussite d'un certain évènement $E$.

Elle est toujours comprise entre 0 et 1.

$$ 0 \leqslant \text{P}(E) \leqslant 1 $$

Si on exprime cette probabilité en $\%$, dans ce cas :

$$ 0 \ \% \leqslant \text{P}(E) \leqslant 100 \ \% $$

De manière générale, la probabilité d'occurrence d'un évènement $E$ est définie comme :

$$ \text{P}(E) = \frac{\text{nombre de cas d'occurrence de l'évènement}}{\text{nombre de cas possibles}} $$

Le cardinal $ : \Omega$

On appelle $\Omega$ le cardinal d'un ensemble, c'est-à-dire la totalité de toutes les possibilités.

Par conséquent, $\text{P}(\Omega)$ est l'évènement certain et :

$$ \text{P}(\Omega) = 1 $$

L'évènement certain : $\text{P}(\Omega)$

Un évènement contraire $ : \overline{E}$

Soit un évènement se produit, soit il ne se produit pas, et on note $ \overline{E} $ son évènement contraire.

$$ \text{P}(\overline{E}) = 1 - \text{P}(E) $$

L'évènement contraire : $\text{P}(\overline{E})$

Intersections/unions

Soient deux ensembles $(A, \ B)$.

Soit ils sont joints, c'est-à-dire qu'ils ont des éléments communs :

Soit ils sont disjoints, c'est-à-dire qu'ils n'ont aucun élément commun :

La probabilité d'une intersection $ : \text{P}(A \cap B)$

L'intersection est associée à l'opérateur logique "$ET$", et se traduit en général par une multiplication.

Proposition	$$ A $$	$$ B $$	$$ A \land B $$
États logiques	$$ V $$	$$ V $$	$$ \textcolor{#58814B}{V} $$
	$$ V $$	$$ F $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{F} $$
	$$ F $$	$$ V $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{F} $$
	$$ F $$	$$ F $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{F} $$

états logiques de l'opérateur "$ET$"

Si $A$ et $B$ sont joints

C'est ce que deux évènements ont en commun.

La probabilité d'une intersection : $\text{P}(A \cap B)$

Par défaut, la probabilité d'une intersection de deux évènements joints $A$ et $B$ est le résultat de leur multiplication :

$$ \forall (A,B) \ joints, $$

$$ \text{P}(A \cap B) = \text{P}(A) \times \text{P}(B) $$

Exemple : "piocher une dame" et "piocher une carte rouge" dans un jeu de 52 cartes

On a les deux évènements :

$Dame$ : "Tirer une dame"
$Rouge$ : "Tirer une carte rouge"

Alors, cela revient à faire :

$$ \text{P}(Dame \cap Rouge) = \text{P}(Dame) \times \text{P}(Rouge) $$

$$ \text{P}(Dame \cap Rouge) = \frac{1}{13} \times \frac{1}{2} $$

$$\text{P}(Dame \cap Rouge) = \frac{1}{26} $$

Si $A$ et $B$ sont disjoints

Dans ce cas, il n'y pas d'intersection et :

$$ \forall (A,B) \ disjoints, $$

$$ \text{P}(A \cap B) = 0 $$

La probabilité d'une union $ : \text{P}(A \cup B)$

L'union est associée à l'opérateur logique "$OU$", et se traduit en général par une addition.

Proposition	$$ A $$	$$ B $$	$$ A \lor B $$
États logiques	$$ V $$	$$ V $$	$$ \textcolor{#58814B}{V} $$
	$$ V $$	$$ F $$	$$ \textcolor{#58814B}{V} $$
	$$ F $$	$$ V $$	$$ \textcolor{#58814B}{V} $$
	$$ F $$	$$ F $$	$$ \textcolor{#9F6A6A}{F} $$

états logiques de l'pérateur "$OU$"

Si $A$ et $B$ sont joints

C'est ce que deux évènements ont en commun, plus ce qu'ils ont de propre à chacun.

La probabilité des évènement $\text{P}(A)$, $\text{P}(B)$ et $\text{P}(A \cap B)$

Sur la figure précédente, pour obtenir la probabilité de l'union des évènements $A$ et $B$, il faut retirer l'intersection $\text{P}(A \cap B)$ car elle est présente en doublons. Alors :

$$ \forall (A,B) \ joints, $$

$$ \text{P}(A \cup B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) - \text{P}(A \cap B) $$

Exemple : "piocher une dame" ou "piocher une carte rouge" dans un jeu de 52 cartes

On a les deux évènements :

$Dame$ : "Tirer une dame"
$Rouge$ : "Tirer une carte rouge"

Alors, cela revient à faire :

$$ \text{P}(Dame \cup Rouge) = \text{P}(Dame) + \text{P}(Rouge) - \text{P}(Dame \cap Rouge) $$

On a calculé plus la probabilité $\text{P}(Dame \cap Rouge)$

$$ \text{P}(Dame \cup Rouge) = \frac{1}{13} + \frac{1}{2} - \frac{1}{26} $$

$$ \text{P}(Dame \cup Rouge) = \frac{1}{13}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{2}{2}} + \frac{1}{2}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{13}{13}} - \frac{1}{26} $$

$$ \text{P}(Dame \cup Rouge) = \frac{2}{26} + \frac{13}{26} - \frac{1}{26} $$

$$ \text{P}(Dame \cup Rouge) = \frac{14}{26} $$

$$\text{P}(Dame \cup Rouge) = \frac{7}{13} $$

Si $A$ et $B$ sont disjoints

Dans ce cas, la probabilité de l''union des deux évènements est simplement leur addition :

$$ \forall (A,B) \ disjoints, $$

$$ \text{P}(A \cup B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) $$

L'espérance : $E(X)$

Si l'on souhaite calculer si un jeu est rentable, on calcule l'espérance de celui-ci.

On définit alors une loi de probabilités avec à chaque évènement :

un gain associée à cet évènement
une probabilité de l'occurrence de cet évènement

À l'aide du tableau suivant :

Évènement	$$ E_1 $$	$$ E_2 $$	$$ \dots $$	$$ E_n $$
Gain (€)	$$ x_1 $$	$$ x_2 $$	$$ \dots $$	$$ x_n $$
Probabilité	$$ p_1 $$	$$ p_2 $$	$$ \dots $$	$$ p_n $$

On définit l'espérance d'un jeu par :

$$ E(X) = x_1 \ p_1 + x_2 \ p_2 + \ \dots \ + x_n \ p_n $$

$$ avec \ X = \Bigl \{ \bigl \{ x_1 \ p_1 \bigr \}, \bigl \{ x_2 \ p_2 \bigr \}, \dots, \bigl \{ x_n \ p_n \bigr \} \Bigr \} $$

Ou sous forme de somme :

$$ E(X) = \sum_{k = 1}^n x_k \ p_k $$

Probabilités

Définitions

Une probabilité

Le cardinal \( : \Omega\)

Un évènement contraire \( : \overline{E}\)

Intersections/unions

La probabilité d'une intersection \( : \text{P}(A \cap B)\)

La probabilité d'une union \( : \text{P}(A \cup B)\)

L'espérance : \(E(X)\)