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Probabilités

Définitions

Une probabilité

Une probabilité est la chance de réussite d'un certain évènement \(E\).

Elle est toujours comprise entre 0 et 1.

$$ 0 \leqslant P(E) \leqslant 1 $$

Si on exprime cette probabilité en \(\%\), dans ce cas :

$$ 0 \text{ %} \leqslant P(E) \leqslant 100 \text{ %} $$

De manière générale, la probabilité d'occurrence d'un évènement \(E\) est définie comme :

$$ P(E) = \frac{\text{nombre de cas d'occurrence de l'évènement}}{\text{nombre de cas possibles}} $$

Le cardinal \( : \Omega\)

On appelle \(\Omega\) le cardinal d'un ensemble, c'est-à-dire la totalité de toutes les possibilités.

Par conséquent, \(P(\Omega)\) est l'évènement certain et :

$$ P(\Omega) = 1 $$
Evenement certain
L'évènement certain : \(P(\Omega)\)

Un évènement contraire \( : \overline{E}\)

Soit un évènement se produit, soit il ne se produit pas, et on note \( \overline{E} \) son évènement contraire .

$$ P(\overline{E}) = 1 - P(E) $$
Evenement contraire
L'évènement contraire : \(P(\overline{E})\)

Intersections/unions

Soient deux ensembles \((A, \ B)\).

La probabilité d'une intersection \( : P(A \cap B)\)

L'intersection est associée à l'opérateur logique "\(ET\)" \((\land)\) , et se traduit en général par une multiplication .

Proposition
$$ A $$
$$ B $$
$$ A \land B $$
États logiques
$$ V $$
$$ V $$
$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{V} $$
$$ V $$
$$ F $$
$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{F} $$
$$ F $$
$$ V $$
$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{F} $$
$$ F $$
$$ F $$
$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{F} $$
états logiques de l'opérateur "\(ET\)"
  1. Si \(A\) et \(B\) sont compatibles

    C'est ce que deux évènements ont en commun.

    Intersection
    La probabilité d'une intersection : \(P(A \cap B)\)

    Par défaut, la probabilité d'une intersection de deux évènements compatibles \(A\) et \(B\) est le résultat de leur multiplication :

    $$ \forall (A,B) \text{ compatibles}, $$
    $$ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $$

    Exemple : "piocher une dame" et "piocher une carte rouge" dans un jeu de 52 cartes

    On a les deux évènements :

    • \(Dame\) : "Tirer une dame"

    • \(Rouge\) : "Tirer une carte rouge"

    Alors, cela revient à faire :

    $$ P(Dame \cap Rouge) = P(Dame) \times P(Rouge) $$
    $$ P(Dame \cap Rouge) = \frac{1}{13} \times \frac{1}{2} $$
    $$P(Dame \cap Rouge) = \frac{1}{26} $$
  2. Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles

    Dans ce cas, il n'y pas d'intersection et :

    $$ \forall (A,B) \text{ incompatibles}, $$
    $$ P(A \cap B) = 0 $$

La probabilité d'une union \( : P(A \cup B)\)

L'union est associée à l'opérateur logique "\(OU\)" , et se traduit en général par une addition .

Proposition
$$ A $$
$$ B $$
$$ A \lor B $$
États logiques
$$ V $$
$$ V $$
$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{V} $$
$$ V $$
$$ F $$
$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{V} $$
$$ F $$
$$ V $$
$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{V} $$
$$ F $$
$$ F $$
$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{F} $$
états logiques de l'pérateur "\(OU\)"
  1. Si \(A\) et \(B\) sont compatibles

    C'est ce que deux évènements ont en commun, plus ce qu'ils ont de propre à chacun.

    Union
    La probabilité des évènement \(P(A)\), \(P(B)\) et \(P(A \cap B)\)

    Sur la figure précédente, pour obtenir la probabilité de l'union des évènements \(A\) et \(B\), il faut retirer l'intersection \(P(A \cap B)\) car elle est présente en doublons. Alors :

    $$ \forall (A,B) \text{ compatibles}, $$
    $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$

    Exemple : "piocher une dame" ou "piocher une carte rouge" dans un jeu de 52 cartes

    On a les deux évènements :

    • \(Dame\) : "Tirer une dame"

    • \(Rouge\) : "Tirer une carte rouge"

    Alors, cela revient à faire :

    $$ P(Dame \cup Rouge) = P(Dame) + P(Rouge) - P(Dame \cap Rouge) $$

    On a calculé plus la probabilité \(P(Dame \cap Rouge)\)

    $$ P(Dame \cup Rouge) = \frac{1}{13} + \frac{1}{2} - \frac{1}{26} $$
    $$ P(Dame \cup Rouge) = \frac{1}{13}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{2}{2}} + \frac{1}{2}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{13}{13}} - \frac{1}{26} $$
    $$ P(Dame \cup Rouge) = \frac{2}{26} + \frac{13}{26} - \frac{1}{26} $$
    $$ P(Dame \cup Rouge) = \frac{14}{26} $$
    $$P(Dame \cup Rouge) = \frac{7}{13} $$
  2. Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles

    Dans ce cas, la probabilité de l''union des deux évènements est simplement leur addition :

    $$ \forall (A,B) \text{ incompatibles}, $$
    $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $$

L'espérance : \(E(X)\)

Si l'on souhaite calculer si un jeu est rentable, on calcule l'espérance de celui-ci.

On définit alors une loi de probabilités avec à chaque évènement :


À l'aide du tableau suivant :

Évènement
$$ E_1 $$
$$ E_2 $$
$$ \dots $$
$$ E_n $$
Gain (€)
$$ x_1 $$
$$ x_2 $$
$$ \dots $$
$$ x_n $$
Probabilité
$$ p_1 $$
$$ p_2 $$
$$ \dots $$
$$ p_n $$

On définit l'espérance d'un jeu par :

$$ E(X) = x_1 \ p_1 + x_2 \ p_2 + \ \dots \ + x_n \ p_n $$
$$ avec \ X = \Bigl \{ \bigl \{ x_1 \ p_1 \bigr \}, \bigl \{ x_2 \ p_2 \bigr \}, \dots, \bigl \{ x_n \ p_n \bigr \} \Bigr \} $$

Ou sous forme de somme :

$$ E(X) = \sum_{k = 1}^n x_k \ p_k $$