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Définitions
Une probabilité
Une probabilité est la chance de réussite d'un certain évènement \(E\).
Elle est toujours comprise entre 0 et 1.
Si on exprime cette probabilité en \(\%\), dans ce cas :
De manière générale, la probabilité d'occurrence d'un évènement \(E\) est définie comme :
Le cardinal \( : \Omega\)
On appelle \(\Omega\) le cardinal d'un ensemble, c'est-à-dire la totalité de toutes les possibilités.
Par conséquent, \(P(\Omega)\) est l'évènement certain et :
Un évènement contraire \( : \overline{E}\)
Soit un évènement se produit, soit il ne se produit pas, et on note \( \overline{E} \) son évènement contraire .
Intersections/unions
Soient deux ensembles \((A, \ B)\).
-
Soit ils sont compatibles (ou joints) , c'est-à-dire qu'ils ont des éléments communs :
Deux évènements \((A, \ B)\) compatibles -
Soit ils sont incompatibles (ou disjoints) , c'est-à-dire qu'ils n'ont aucun élément commun :
Deux évènements \((A, \ B)\) incompatibles
La probabilité d'une intersection \( : P(A \cap B)\)
L'intersection est associée à l'opérateur logique "\(ET\)" \((\land)\) , et se traduit en général par une multiplication .
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Proposition
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$$ A $$ |
$$ B $$ |
$$ A \land B $$ |
|---|---|---|---|
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États logiques
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$$ V $$ |
$$ V $$ |
$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{V} $$ |
$$ V $$ |
$$ F $$ |
$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{F} $$ |
|
$$ F $$ |
$$ V $$ |
$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{F} $$ |
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$$ F $$ |
$$ F $$ |
$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{F} $$ |
-
Si \(A\) et \(B\) sont compatibles
C'est ce que deux évènements ont en commun.
La probabilité d'une intersection : \(P(A \cap B)\) Par défaut, la probabilité d'une intersection de deux évènements compatibles \(A\) et \(B\) est le résultat de leur multiplication :
$$ \forall (A,B) \text{ compatibles}, $$$$ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $$
Exemple : "piocher une dame" et "piocher une carte rouge" dans un jeu de 52 cartes
On a les deux évènements :
-
\(Dame\) : "Tirer une dame"
-
\(Rouge\) : "Tirer une carte rouge"
Alors, cela revient à faire :
$$ P(Dame \cap Rouge) = P(Dame) \times P(Rouge) $$$$ P(Dame \cap Rouge) = \frac{1}{13} \times \frac{1}{2} $$$$P(Dame \cap Rouge) = \frac{1}{26} $$ -
-
Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles
Dans ce cas, il n'y pas d'intersection et :
$$ \forall (A,B) \text{ incompatibles}, $$$$ P(A \cap B) = 0 $$
La probabilité d'une union \( : P(A \cup B)\)
L'union est associée à l'opérateur logique "\(OU\)" , et se traduit en général par une addition .
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Proposition
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$$ A $$ |
$$ B $$ |
$$ A \lor B $$ |
|---|---|---|---|
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États logiques
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$$ V $$ |
$$ V $$ |
$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{V} $$ |
$$ V $$ |
$$ F $$ |
$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{V} $$ |
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$$ F $$ |
$$ V $$ |
$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{V} $$ |
|
$$ F $$ |
$$ F $$ |
$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{F} $$ |
-
Si \(A\) et \(B\) sont compatibles
C'est ce que deux évènements ont en commun, plus ce qu'ils ont de propre à chacun.
La probabilité des évènement \(P(A)\), \(P(B)\) et \(P(A \cap B)\) Sur la figure précédente, pour obtenir la probabilité de l'union des évènements \(A\) et \(B\), il faut retirer l'intersection \(P(A \cap B)\) car elle est présente en doublons. Alors :
$$ \forall (A,B) \text{ compatibles}, $$$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$
Exemple : "piocher une dame" ou "piocher une carte rouge" dans un jeu de 52 cartes
On a les deux évènements :
-
\(Dame\) : "Tirer une dame"
-
\(Rouge\) : "Tirer une carte rouge"
Alors, cela revient à faire :
$$ P(Dame \cup Rouge) = P(Dame) + P(Rouge) - P(Dame \cap Rouge) $$On a calculé plus la probabilité \(P(Dame \cap Rouge)\)
$$ P(Dame \cup Rouge) = \frac{1}{13} + \frac{1}{2} - \frac{1}{26} $$$$ P(Dame \cup Rouge) = \frac{1}{13}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{2}{2}} + \frac{1}{2}\textcolor{#6187B2}{\times \frac{13}{13}} - \frac{1}{26} $$$$ P(Dame \cup Rouge) = \frac{2}{26} + \frac{13}{26} - \frac{1}{26} $$$$ P(Dame \cup Rouge) = \frac{14}{26} $$$$P(Dame \cup Rouge) = \frac{7}{13} $$ -
-
Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles
Dans ce cas, la probabilité de l''union des deux évènements est simplement leur addition :
$$ \forall (A,B) \text{ incompatibles}, $$$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $$
Loi des grands nombres
Répéter un grand nombre de fois la même expérience aléatoire fait stabiliser les fréquences observées autour des probabilités théoriques.
C'est ce constat qui justifie d'estimer une probabilité inconnue par une simulation : on répète l'expérience un grand nombre de fois, et on relève la fréquence.
La loi des grands nombres ne dit rien d'une répétition isolée : elle ne permet jamais de prévoir le résultat suivant.
Probabilités conditionnelles
Probabilité conditionnelle
Soient \(A\) et \(B\) deux évènements, avec \(P(A) \neq 0\). La probabilité de \(B\) sachant \(A\) est :
On se restreint à l'univers réduit aux issues de \(A\) : c'est la même idée que la fréquence conditionnelle d'un tableau croisé, où l'on ne regarde qu'une ligne.
En multipliant les deux membres par \(P(A)\), on obtient la formule des probabilités composées :
Ne pas confondre \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\)
Ces deux probabilités portent sur le même couple d'évènements, mais ne se restreignent pas au même ensemble . Elles n'ont aucune raison d'être égales.
Pour un test médical, \(P_M(T)\) est la probabilité d'être testé positif quand on est malade, tandis que \(P_T(M)\) est la probabilité d'être réellement malade quand le test est positif. La seconde peut être faible alors que la première est très élevée, si la maladie est rare : c'est le phénomène des faux positifs .
Arbres pondérés
Un arbre pondéré représente une succession de deux épreuves. Deux règles suffisent à l'exploiter.
Sur cet arbre, \(P(A) = 0{,}6\) et \(P_A(B) = 0{,}7\). La probabilité du chemin menant à \(A\) puis à \(B\) est donc le produit des deux branches :
Pour obtenir \(P(B)\), on additionne les probabilités de tous les chemins qui aboutissent à \(B\) :