Le rapporteur, le compas et le pliage

Le phare

Le phare \(O\) éclaire la mer depuis une côte rectiligne, la droite \((XY)\). Ses six faisceaux sont des demi-droites d'origine \(O\).

1. Tracer au rapporteur les six faisceaux du tableau, puis les prolonger à la règle jusqu'au bord de la carte. Chacun atteint un bateau : lues dans l'ordre des faisceaux, les lettres des six bateaux atteints forment un mot, à écrire.

   Pour les faisceaux \(3\) et \(6\), le zéro du rapporteur se pose sur \(\bigl[OY\bigr)\) : on lit la graduation qui part de ce côté-là.

   $$ \text{N A V I R E} $$
2. Pour chaque faisceau, nommer avec trois lettres l'angle qu'il fait avec \(\bigl[OX\bigr)\), le bateau atteint servant de troisième point, puis donner sa mesure et sa nature : aigu, droit ou obtus.

   Le bateau atteint donne le troisième point, le sommet \(O\) reste au milieu. Les faisceaux \(3\) et \(6\) font avec \(\bigl[OX\bigr)\) l'angle qui complète leur mesure jusqu'à \(180°\) :

   $$ 180° - 50° = 130° $$

   $$ 180° - 70° = 110° $$

   faisceau	angle	mesure	nature
   \(1\)	\(\widehat{XON}\)	\(35°\)	aigu
   \(2\)	\(\widehat{XOA}\)	\(120°\)	obtus
   \(3\)	\(\widehat{XOV}\)	\(130°\)	obtus
   \(4\)	\(\widehat{XOI}\)	\(90°\)	droit
   \(5\)	\(\widehat{XOR}\)	\(155°\)	obtus
   \(6\)	\(\widehat{XOE}\)	\(110°\)	obtus

3. Aucun faisceau n'atteint le bateau \(T\). Mesurer \(\widehat{XOT}\) et \(\widehat{YOT}\), puis expliquer pourquoi leur somme vaut \(180°\).
   $$ \widehat{XOT} = 145° \quad \text{et} \quad \widehat{YOT} = 35° $$

   Ces deux angles ont le même sommet \(O\) et le côté commun \(\bigl[OT\bigr)\), de part et d'autre duquel ils se trouvent : ils sont adjacents. Ensemble, ils forment l'angle plat \(\widehat{XOY}\) : ils sont supplémentaires.

   $$ 145° + 35° = 180° $$

La carte du ciel

Sur cette carte du ciel, trois côtés de triangles sont tracés. Chaque triangle se construit au-dessus de son côté, et son troisième sommet doit tomber sur une étoile : sinon, la construction est à reprendre.

1. Construire les trois triangles, en laissant les traits de construction apparents, puis écrire le nom de l'étoile où tombe chaque troisième sommet :

   • au compas, sur \(\bigl[AB\bigr]\) : un sommet à \(3 \ \text{cm}\) de \(A\) et à \(4 \ \text{cm}\) de \(B\) ;

   • au rapporteur, sur \(\bigl[CD\bigr]\) : un angle de \(50°\) en \(C\), et un angle de \(50°\) en \(D\) ;

   • sur \(\bigl[EF\bigr]\) : un angle de \(60°\) en \(E\), et un côté de \(4 \ \text{cm}\) issu de \(E\).

   Le premier sommet est le point commun aux arcs de rayons \(3 \ \text{cm}\) et \(4 \ \text{cm}\) ; le deuxième, le point commun aux deux côtés tracés au rapporteur ; le troisième, le bout du côté de \(4 \ \text{cm}\).

   $$ P \ ; \ M \ ; \ H $$
2. Mesurer ce qui donne la nature de chaque triangle, puis écrire cette nature et la coder sur la figure :

   • dans le premier triangle, l'angle en son troisième sommet ;

   • dans le deuxième, ses deux côtés issus de \(C\) et de \(D\) ;

   • dans le troisième, son troisième côté et ses deux autres angles.

   $$ \widehat{APB} = 90° $$

   Le triangle \(ABP\) est rectangle en \(P\).

   $$ CM = DM \approx 4.7 \ \text{cm} $$

   Le triangle \(CDM\) est isocèle en \(M\).

   $$ FH = 4 \ \text{cm} $$

   $$ \widehat{EFH} = \widehat{EHF} = 60° $$

   Le triangle \(EFH\) est équilatéral : trois côtés de \(4 \ \text{cm}\), trois angles de \(60°\).

L'éventail plié

La pièce 1, en dernière page, est un demi-disque de centre \(O\) et de diamètre \(\bigl[AB\bigr]\), sur lequel est tracée la demi-droite \(\bigl[OC\bigr)\).

Découper la pièce 1. La plier pour poser \(\bigl[OA\bigr)\) sur \(\bigl[OC\bigr)\), bien marquer le pli et déplier ; la plier de même pour poser \(\bigl[OB\bigr)\) sur \(\bigl[OC\bigr)\). Coller enfin la pièce dans le cadre, sur son contour en pointillés.

1. Mesurer \(\widehat{AOC}\) et \(\widehat{COB}\). Ces deux angles sont-ils adjacents ? supplémentaires ? Justifier.
   $$ \widehat{AOC} = 50° \quad \text{et} \quad \widehat{COB} = 130° $$

   Ils ont le même sommet \(O\) et le côté commun \(\bigl[OC\bigr)\), de part et d'autre duquel ils se trouvent : ils sont adjacents.

   Ensemble, ils forment l'angle plat \(\widehat{AOB}\) : ils sont supplémentaires.

   $$ 50° + 130° = 180° $$
2. Repasser les deux plis à la règle, puis nommer \(M\) le bout du pli situé entre \(\bigl[OA\bigr)\) et \(\bigl[OC\bigr)\), et \(N\) le bout de l'autre. Mesurer \(\widehat{AOM}\), \(\widehat{MOC}\), \(\widehat{CON}\) et \(\widehat{NOB}\) : que sont les demi-droites \(\bigl[OM\bigr)\) et \(\bigl[ON\bigr)\) ?
   $$ \widehat{AOM} = \widehat{MOC} = 25° $$

   $$ \widehat{CON} = \widehat{NOB} = 65° $$

   Le premier pli partage \(\widehat{AOC}\) en deux angles de même mesure, le second partage \(\widehat{COB}\) de même.

   \(\bigl[OM\bigr)\) est la bissectrice de \(\widehat{AOC}\), et \(\bigl[ON\bigr)\) celle de \(\widehat{COB}\).

3. Mesurer \(\widehat{MON}\), puis retrouver cette mesure par un calcul.

   L'angle \(\widehat{MON}\) est fait des angles \(\widehat{MOC}\) et \(\widehat{CON}\), adjacents :

   $$ \widehat{MON} = 25° + 65° = 90° $$
4. Sans plier, on refait l'éventail avec \(\widehat{AOC} = 140°\). Calculer \(\widehat{MOC}\) et \(\widehat{CON}\), puis \(\widehat{MON}\). Que remarque-t-on ?
   $$ \widehat{COB} = 180° - 140° = 40° $$

   $$ \widehat{MOC} = 140° \div 2 = 70° $$

   $$ \widehat{CON} = 40° \div 2 = 20° $$

   $$ \widehat{MON} = 70° + 20° = 90° $$

   Les deux angles supplémentaires mesurent ensemble \(180°\) : leurs moitiés mesurent ensemble \(90°\).

   Les deux plis forment toujours un angle droit.

Le cercle des trois sommets

Plier un triangle de papier pour poser un sommet sur un autre marque un pli : la médiatrice du côté qui joint ces deux sommets.

Les pièces 2, 3 et 4, en dernière page, sont les triangles \(DEF\), \(GHK\) et \(LMN\). Découper chacun, le plier trois fois, une fois par côté, en dépliant entre deux plis, puis le coller dans son cadre, sur son contour en pointillés.

1. Repasser à la règle les trois plis de chaque triangle, en les prolongeant hors du triangle si besoin, puis nommer \(I\), \(J\) et \(P\) le point où se coupent les plis des triangles \(DEF\), \(GHK\) et \(LMN\).

   Dans chaque triangle, les trois plis se coupent en un même point : les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes.

2. Tracer le cercle de centre \(I\) qui passe par \(D\), le cercle de centre \(J\) qui passe par \(G\) et le cercle de centre \(P\) qui passe par \(L\). Par quels autres points passe chaque cercle ?

   Chaque cercle passe aussi par les deux autres sommets de son triangle.

   C'est le cercle circonscrit au triangle.

3. Mesurer \(JG\), \(JH\) et \(JK\) : où se trouve le point \(J\) ?
   $$ JG = JH = JK = 2.5 \ \text{cm} $$

   Le point \(J\) est sur le côté \(\bigl[GK\bigr]\), à égale distance de \(G\) et de \(K\).

   \(J\) est le milieu de \(\bigl[GK\bigr]\), le côté opposé à l'angle droit.

4. Mesurer le plus grand angle de chaque triangle et donner sa nature. Compléter alors : « le centre du cercle est à l'intérieur du triangle quand son plus grand angle est …, sur un côté quand il est …, et à l'extérieur quand il est … ».
   $$ \widehat{DFE} \approx 72° $$

   $$ \widehat{GHK} = 90° $$

   $$ \widehat{LMN} = 120° $$

   Le premier est aigu, le deuxième droit, le troisième obtus.

   Le centre est à l'intérieur quand le plus grand angle est aigu, sur un côté quand il est droit, à l'extérieur quand il est obtus.

Les pièces des exercices 3 et 4, à découper en suivant les pointillés.