Les angles et les triangles

Nommer un angle

On note un angle avec trois lettres surmontées d'un chapeau, en plaçant le sommet au milieu :

Ici le sommet est \(B\), et les côtés passent par \(A\) et \(C\). On peut échanger les deux lettres extérieures :

Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur la figure, on écrit simplement \(\widehat{B}\).

Mesurer un angle

La mesure d'un angle s'exprime en degrés, et se lit au rapporteur :

1. placer le centre du rapporteur sur le sommet de l'angle ;
2. faire coïncider le zéro d'une des graduations avec un côté de l'angle ;
3. lire la mesure là où le second côté croise le rapporteur.

Le rapporteur porte deux graduations : il faut choisir celle qui part de zéro sur le côté utilisé. En cas de doute, on vérifie que la mesure trouvée est cohérente avec la forme de l'angle.

Les différents types d'angles

La bissectrice d'un angle

Exemple : la bissectrice d'un angle de \(70°\) le partage en deux angles de :

La somme des angles d'un triangle

Dans n'importe quel triangle, les trois angles ont toujours la même somme :

Cette propriété permet de calculer un angle sans le mesurer , dès que les deux autres sont connus.

Exemple : dans un triangle où \(\widehat{A} = 65°\) et \(\widehat{B} = 48°\) :

Les triangles particuliers

1. Le triangle isocèle

   Il a deux côtés de même longueur. Les deux angles à la base ont alors la même mesure.

   Si l'angle au sommet principal vaut \(40°\), les deux autres se calculent ainsi :

   $$ 180° - 40° = 140° \qquad \text{puis} \qquad 140° \div 2 $$
   $$ 70° \text{ chacun} $$

2. Le triangle équilatéral

   Ses trois côtés ont la même longueur, et ses trois angles la même mesure :

   $$ 180 \Bigl[ ° \Bigr] \div 3 = 60 \Bigl[ ° \Bigr] $$

3. Le triangle rectangle

   Il possède un angle droit. Les deux autres angles ont donc pour somme :

   $$ 180 \Bigl[ ° \Bigr] - 90 \Bigl[ ° \Bigr] = 90 \Bigl[ ° \Bigr] $$

   Si l'un mesure \(35°\), l'autre vaut :

   $$ 90° - 35° = 55° $$

Construire un triangle

On construit un triangle à partir de trois données. On commence toujours par tracer un côté connu , puis on reporte les autres informations.

1. Trois longueurs connues

   On trace le plus grand côté, puis on reporte les deux autres longueurs au compas depuis chaque extrémité. Le point d'intersection des deux arcs est le troisième sommet.

2. Une longueur et deux angles

   On trace le côté, puis on construit au rapporteur les deux angles à ses extrémités. Les deux demi-droites se coupent au troisième sommet.

3. Deux longueurs et l'angle entre elles

   On trace un côté, on construit l'angle à une extrémité, puis on reporte la seconde longueur sur ce nouveau côté.

Les médiatrices d'un triangle

Dans un triangle, les médiatrices des trois côtés se coupent toutes en un même point : elles sont dites concourantes.

Ce point est à égale distance des trois sommets, d'après la propriété caractéristique de la médiatrice. Il est donc le centre d'un cercle qui passe par les trois sommets .

Pour le construire, il suffit donc de tracer deux médiatrices, de placer leur point d'intersection, puis d'ouvrir le compas jusqu'à un sommet.