Problèmes sur les angles et les triangles en sixième

Des angles à calculer sur une charpente ou dans un cercle : la figure donne les données, la propriété donne la réponse.

Calculer un angle par la somme des angles d'un triangle
Utiliser les propriétés d'un triangle isocèle ou rectangle
Repérer un triangle impossible et trancher une affirmation
Rédiger une démonstration courte

Le troisième angle

Dans le triangle $ABC$ ci-dessous, deux angles mesurent $72°$ et $53°$. Calculer le troisième, puis l'écrire sur la figure.

$$ 180° - 72° - 53° = 180° - 125° $$

$$ 55° $$
Un triangle $EFG$ est rectangle en $F$, et son angle aigu $\widehat{E}$ mesure $37°$. Construire ce triangle avec $EF = 6 \ \text{cm}$, puis calculer ses deux autres angles et les écrire sur la figure.

la construction se fait ici

Un triangle rectangle possède un angle droit de $90°$. Le troisième vaut donc :

$$ 180° - 90° - 37° $$

$$ 90° \quad \text{et} \quad 53° $$

Le triangle isocèle, deux lectures

Un triangle $ABC$ est isocèle en $A$.

On sait que $\widehat{A} = 36°$. Calculer $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$, puis les écrire sur la figure.

Le triangle étant isocèle en $A$, les angles à la base $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ sont égaux. Leur somme vaut :

$$ 180° - 36° = 144° $$

$$ 144° \div 2 $$

$$ \widehat{B} = \widehat{C} = 72° $$
On suppose maintenant que c'est $\widehat{B}$ qui mesure $36°$. Calculer $\widehat{A}$, puis l'écrire sur la figure.

Cette fois, c'est un angle à la base qui est connu. Comme $\widehat{C} = \widehat{B} = 36°$ :

$$ \widehat{A} = 180° - 36° - 36° = 180° - 72° $$

$$ \widehat{A} = 108° $$
Que faut-il retenir de la comparaison entre ces deux figures ?

La même mesure de $36°$ donne deux triangles très différents. Il faut donc toujours repérer quel angle est donné : celui du sommet principal, ou l'un de ceux de la base.

La ferme de charpente

Une ferme de charpente a la forme d'un triangle $SAB$ isocèle en $S$, dont l'angle au sommet mesure $40°$.

Calculer les deux angles à la base, puis les écrire sur la figure.

$$ (180° - 40°) \div 2 = 140° \div 2 $$

$$ 70° \text{ chacun} $$
Tracer au rapporteur la bissectrice de l'angle au sommet $\widehat{ASB}$ : elle coupe $\bigl[AB\bigr]$ en $H$. Quelle est la mesure de chacun des deux angles obtenus ?

$$ 40° \div 2 $$

$$ 20° $$
Cette bissectrice découpe la ferme en deux triangles. Calculer le troisième angle $\widehat{SHA}$ du triangle $SAH$, le coder sur la figure, puis conclure.

Le triangle $SAH$ a un angle de $20°$ en $S$ et un angle de $70°$ en $A$. Son troisième angle vaut donc :

$$ 180° - 20° - 70° = 180° - 90° $$

$$ 90° $$

La bissectrice de l'angle au sommet est donc perpendiculaire à la base : c'est aussi la médiatrice de celle-ci.

Le cercle circonscrit, démonstration

Soit un triangle $ABC$ quelconque. On trace la médiatrice de $\bigl[AB\bigr]$ et celle de $\bigl[AC\bigr]$, qui se coupent en un point $O$.

Réaliser la figure, au compas, en laissant les traits de construction apparents.

la construction se fait ici
Pourquoi peut-on affirmer que $OA = OB$ ?

$O$ appartient à la médiatrice de $\bigl[AB\bigr]$, donc il est à égale distance de $A$ et de $B$.

$$ OA = OB $$
Par le même raisonnement, que peut-on dire de $OA$ et $OC$ ?

$O$ est aussi sur la médiatrice de $\bigl[AC\bigr]$.

$$ OA = OC $$
En déduire que $O$ appartient également à la médiatrice de $\bigl[BC\bigr]$.

Étape 1 : Rappeler les deux égalités de longueurs obtenues aux questions précédentes.

Étape 2 : Comparer les longueurs $OB$ et $OC$.

Conclure :

Étape 1 : les deux questions précédentes donnent :

$$ OB = OA \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} OA = OC $$

Étape 2 : donc $OB = OC$. Le point $O$ est ainsi à égale distance de $B$ et de $C$.

Conclusion : d'après la propriété caractéristique, lue dans l'autre sens, cela suffit à affirmer :

$$ O \text{ est sur la médiatrice de } \bigl[BC\bigr] $$

Les trois médiatrices passent donc bien par un même point.
Tracer le cercle de centre $O$ passant par $A$. Que constate-t-on ? Comment s'appelle ce cercle ?

Comme $OA = OB = OC$, ce cercle passe aussi par $B$ et par $C$.

$$ \text{c'est le cercle circonscrit au triangle } ABC $$

Deux affirmations à trancher

Léo affirme : « Dans mon triangle isocèle, un angle à la base mesure $100°$. » Il a commencé son triangle ci-dessous. Tracer au rapporteur l'autre angle à la base, en $C$, puis expliquer pourquoi c'est impossible, et calculer les angles du triangle isocèle qui a vraiment un angle de $100°$.

Étape 1 : Déterminer la mesure de l'autre angle à la base du triangle de Léo.

Étape 2 : Calculer ce que mesureraient ensemble ses deux angles à la base.

Conclure :

Étape 1 : les deux angles à la base d'un triangle isocèle ont la même mesure : l'autre angle à la base mesurerait aussi $100°$.

Étape 2 : ils mesureraient donc ensemble :

$$ 100° + 100° = 200° $$

Conclusion : c'est plus que $180°$ : ce triangle n'existe pas. Sur la figure, les deux côtés s'écartent l'un de l'autre et ne se coupent jamais.

L'angle de $100°$ ne peut être que l'angle au sommet principal, et les deux angles à la base valent :

$$ (180° - 100°) \div 2 = 80° \div 2 $$

$$ 40° \text{ chacun} $$
Chloé affirme : « Un triangle isocèle qui a un angle de $60°$ a forcément ses trois angles de $60°$. » Trancher, en examinant les deux places possibles de cet angle de $60°$.

Étape 1 : Calculer les deux autres angles quand l'angle de $60°$ est l'angle au sommet principal.

Étape 2 : Calculer les deux autres angles quand l'angle de $60°$ est un angle à la base.

Étape 3 : Construire les deux triangles sur le quadrillage, chacun avec une base de $5 \ \text{cm}$.

Conclure :

la construction se fait ici

Étape 1 : si l'angle de $60°$ est l'angle au sommet principal, les deux angles à la base valent :

$$ (180° - 60°) \div 2 = 120° \div 2 = 60° $$

Étape 2 : si c'est un angle à la base, l'autre angle à la base mesure aussi $60°$, et l'angle au sommet principal vaut :

$$ 180° - 60° - 60° = 60° $$

Étape 3 : les deux constructions donnent le même triangle, aux trois côtés de $5 \ \text{cm}$ :

Conclusion : dans les deux cas, on retrouve les angles du triangle équilatéral :

$$ \text{Chloé a raison} $$

Deux triangles isocèles accolés

Sur la figure, les points $B$, $D$ et $C$ sont alignés, les trois longueurs codées sont égales : $AB = AD = DC$, et $\widehat{ABD} = 60°$.

Justifier que $\widehat{ADB} = 60°$, puis calculer $\widehat{BAD}$.

Étape 1 : Nommer la nature du triangle $ABD$ et son sommet principal.

Étape 2 : Comparer les angles $\widehat{ABD}$ et $\widehat{ADB}$.

Conclure :

Étape 1 : le triangle $ABD$ est isocèle en $A$, puisque $AB = AD$.

Étape 2 : ses angles à la base $\widehat{ABD}$ et $\widehat{ADB}$ ont la même mesure, donc $\widehat{ADB} = 60°$.

Conclusion : les trois angles du triangle $ABD$ mesurent ensemble $180°$, donc :

$$ \widehat{BAD} = 180° - 60° - 60° $$

$$ \widehat{ADB} = 60° \quad \text{et} \quad \widehat{BAD} = 60° $$
On passe au triangle $ADC$. Calculer $\widehat{ADC}$, puis les deux autres angles $\widehat{DAC}$ et $\widehat{DCA}$ de ce même triangle $ADC$.

Les points $B$, $D$ et $C$ sont alignés : $\widehat{BDC}$ est un angle plat, et $\widehat{ADB} + \widehat{ADC} = 180°$.

$$ \widehat{ADC} = 180° - 60° = 120° $$

Le triangle $ADC$ est isocèle en $D$, puisque $DA = DC$ : ses angles à la base $\widehat{DAC}$ et $\widehat{DCA}$ sont égaux.

$$ (180° - 120°) \div 2 = 60° \div 2 $$

$$ \widehat{ADC} = 120° \quad \text{et} \quad \widehat{DAC} = \widehat{DCA} = 30° $$
Marius pense que le triangle $ABC$ est rectangle. Trancher par le calcul, puis coder sur la figure l'angle $\widehat{BAC}$ trouvé.

Étape 1 : Calculer la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.

Étape 2 : Vérifier que les trois angles du triangle $ABC$ mesurent bien $180°$ à eux trois.

Conclure :

Étape 1 : le point $D$ partage l'angle $\widehat{BAC}$ en deux :

$$ \widehat{BAC} = \widehat{BAD} + \widehat{DAC} = 60° + 30° = 90° $$

Étape 2 : on vérifie la somme des angles du triangle $ABC$ : $60° + 30° + 90° = 180°$.

Conclusion : l'angle $\widehat{BAC}$ est droit.

$$ ABC \text{ est rectangle en } A $$

Le zigzag d'allumettes

Entre les deux côtés d'un angle de $20°$ de sommet $O$, on pose en zigzag des allumettes toutes de même longueur : chacune part du bout de la précédente et va toucher l'autre côté, toujours plus loin de $O$. Les trois premières sont posées : $OA = AB = BC$.

Calculer les trois angles du triangle $OAB$.

Le triangle $OAB$ est isocèle en $A$, puisque $AO = AB$ : ses angles à la base $\widehat{AOB}$ et $\widehat{ABO}$ sont égaux. Alors :

$$ \widehat{OAB} = 180° - 20° - 20° $$

$$ \widehat{AOB} = \widehat{ABO} = 20° \quad \text{et} \quad \widehat{OAB} = 140° $$
On passe au triangle $ABC$, isocèle en $B$. Calculer ses trois angles, puis les écrire sur la figure.

Les points $O$, $A$ et $C$ sont alignés : $\widehat{OAB}$ et $\widehat{BAC}$ forment ensemble un angle plat.

$$ \widehat{BAC} = 180° - 140° = 40° $$

Le triangle $ABC$ est isocèle en $B$, puisque $BA = BC$ : $\widehat{BCA} = \widehat{BAC} = 40°$.

$$ \widehat{ABC} = 180° - 40° - 40° $$

$$ \widehat{BAC} = \widehat{BCA} = 40° \quad \text{et} \quad \widehat{ABC} = 100° $$
On poursuit ce même zigzag. Continuer le zigzag au compas sur la figure, en nommant $D$, $E$, … les nouvelles extrémités, jusqu'à ce qu'aucune allumette ne puisse plus se poser. Combien d'allumettes a-t-on posées ? Justifier par le calcul.

Étape 1 : Calculer les angles du triangle $BCD$ formé par la quatrième allumette $\bigl[CD\bigr]$.

Étape 2 : Calculer les angles du triangle $CDE$ formé par la cinquième allumette $\bigl[DE\bigr]$.

Étape 3 : Montrer qu'une sixième allumette $\bigl[EF\bigr]$ ne peut pas former de triangle $DEF$.

Conclure :

Au compas, la quatrième allumette $\bigl[CD\bigr]$ et la cinquième $\bigl[DE\bigr]$ se posent, mais le cercle de centre $E$ passant par $D$ ne recoupe l'autre côté qu'en revenant vers $O$.

On recommence le même calcul à chaque allumette : sur chaque côté, les angles qui se suivent forment un angle plat, et chaque nouveau triangle est isocèle.

Étape 1 : triangle $BCD$, isocèle en $C$. Les points $O$, $B$ et $D$ sont alignés :

$$ \widehat{CBD} = 180° - 20° - 100° = 60° \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \widehat{BCD} = 180° - 60° - 60° = 60° $$

Étape 2 : triangle $CDE$, isocèle en $D$. Les points $A$, $C$ et $E$ sont alignés :

$$ \widehat{DCE} = 180° - 40° - 60° = 80° \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \widehat{CDE} = 180° - 80° - 80° = 20° $$

Étape 3 : une sixième allumette $\bigl[EF\bigr]$ formerait un triangle $DEF$ isocèle en $E$. Les points $B$, $D$ et $F$ seraient alignés :

$$ \widehat{EDF} = 180° - 60° - 20° = 100° $$

Ses deux angles à la base mesureraient $100°$ chacun, soit $200°$ à eux deux : plus que $180°$, ce triangle n'existe pas.

Conclusion : seules les cinq premières allumettes se posent.

$$ 5 \text{ allumettes au plus} $$
On change d'angle : il mesure maintenant un nombre entier de degrés, et l'on veut poser $10$ allumettes. Déterminer la plus grande mesure possible de l'angle en $O$.

Étape 1 : Repérer, sur le zigzag de $20°$, de combien augmentent les angles à la base d'un triangle au suivant.

Étape 2 : Exprimer les angles à la base du dernier triangle à l'aide de l'angle en $O$.

Étape 3 : Trouver les mesures entières de l'angle en $O$ pour lesquelles ce dernier triangle n'existe pas.

Étape 4 : Vérifier que les $10$ allumettes se posent avec la plus grande mesure restante.

Conclure :

Étape 1 : avec $20°$, les angles à la base des triangles successifs valaient $20°$, puis $40°$, $60°$ et $80°$ : à chaque nouveau triangle, ils augmentent de la mesure de l'angle en $O$.

Étape 2 : avec $10$ allumettes, on forme $9$ triangles, et les angles à la base du neuvième valent neuf fois l'angle en $O$.

Étape 3 : les deux angles à la base d'un triangle isocèle mesurent ensemble moins de $180°$ : chacun mesure moins de $90°$.

$$ 9 \times 10° = 90° $$

Dès $10°$, les angles à la base du neuvième triangle mesureraient $90°$ ou plus : ce triangle n'existe pas, et l'on s'arrête à $9$ allumettes.

Étape 4 : avec $9°$, les angles à la base valent $9°$, $18°$, et ainsi de suite jusqu'à :

$$ 9 \times 9° = 81° $$

C'est moins que $90°$ : les $10$ allumettes se posent.

Conclusion : la plus grande mesure entière qui convient est donc :

$$ 9° $$

Deux bissectrices qui se croisent

Dans le triangle $ABC$ ci-dessous, $\widehat{BAC} = 70°$ et $\widehat{ABC} = 60°$. Les bissectrices des angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$ se coupent en $I$.

Calculer $\widehat{BIC}$, puis l'écrire sur la figure.

Le troisième angle du triangle $ABC$ :

$$ \widehat{ACB} = 180° - 70° - 60° = 50° $$

Les bissectrices partagent ces angles en deux :

$$ \widehat{IBC} = 60° \div 2 = 30° \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \widehat{ICB} = 50° \div 2 = 25° $$

Dans le triangle $IBC$ :

$$ \widehat{BIC} = 180° - 30° - 25° $$

$$ \widehat{BIC} = 125° $$
On change de triangle : l'angle en $A$ mesure toujours $70°$, mais $\widehat{ABC} = 80°$. Calculer $\widehat{BIC}$ dans ce nouveau triangle. Que remarque-t-on ?

$$ \widehat{ACB} = 180° - 70° - 80° = 30° $$

$$ \widehat{IBC} = 80° \div 2 = 40° \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \widehat{ICB} = 30° \div 2 = 15° $$

$$ \widehat{BIC} = 180° - 40° - 15° $$

$$ \widehat{BIC} = 125° $$

On retrouve la même mesure : l'angle $\widehat{BIC}$ semble ne dépendre que de l'angle en $A$.
Dans un autre triangle $ABC$, les bissectrices des angles en $B$ et en $C$ se coupent en $I$, avec $\widehat{BIC} = 150°$. Calculer $\widehat{BAC}$.

Dans le triangle $IBC$ :

$$ \widehat{IBC} + \widehat{ICB} = 180° - 150° = 30° $$

Ces deux angles sont les moitiés de $\widehat{ABC}$ et de $\widehat{ACB}$, qui mesurent donc ensemble le double :

$$ \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 2 \times 30° = 60° $$

$$ \widehat{BAC} = 180° - 60° $$

$$ \widehat{BAC} = 120° $$

Vérification : avec par exemple $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 30°$, on trouve $\widehat{BIC} = 180° - 15° - 15° = 150°$.
Léa affirme avoir tracé un triangle $ABC$ dont les bissectrices des angles en $B$ et en $C$ se coupent en $I$, avec $\widehat{BIC} = 85°$. Trancher.

Étape 1 : Montrer que, dans tout triangle $ABC$, les angles en $B$ et en $C$ mesurent ensemble moins de $180°$.

Étape 2 : Comparer la somme $\widehat{IBC} + \widehat{ICB}$ à $90°$.

Étape 3 : Comparer l'angle $\widehat{BIC}$ à $90°$.

Conclure :

Étape 1 : dans n'importe quel triangle $ABC$, les angles en $B$ et en $C$ mesurent ensemble moins de $180°$, puisque l'angle en $A$ n'est pas nul.

Étape 2 : leurs moitiés mesurent donc ensemble moins de $90°$ :

$$ \widehat{IBC} + \widehat{ICB} < 90° $$

Étape 3 : dans le triangle $IBC$, l'angle $\widehat{BIC}$ vaut $180°$ moins cette somme : il mesure donc toujours plus de $90°$.

Conclusion : un angle $\widehat{BIC}$ de $85°$ mesure moins de $90°$.

$$ \text{c'est impossible} $$