Problèmes sur les angles et les triangles

Le troisième angle

Dans un triangle, deux angles mesurent $72°$ et $53°$. Calculer le troisième.

$$ 180° - 72° - 53° = 180° - 125° $$

$$ 55° $$
Dans un triangle rectangle, un angle aigu mesure $37°$. Calculer les deux autres angles.

Un triangle rectangle possède un angle droit de $90°$. Le troisième vaut donc :

$$ 180° - 90° - 37° $$

$$ 90° \text{ et } 53° $$

Un triangle $ABC$ est isocèle en $A$.

On sait que $\widehat{A} = 36°$. Calculer $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$.

Le triangle étant isocèle en $A$, les angles à la base $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ sont égaux. Leur somme vaut :

$$ 180° - 36° = 144° $$

$$ 144° \div 2 $$

$$ \widehat{B} = \widehat{C} = 72° $$
On suppose maintenant que c'est $\widehat{B}$ qui mesure $36°$. Calculer $\widehat{A}$.

Cette fois, c'est un angle à la base qui est connu. Comme $\widehat{C} = \widehat{B} = 36°$ :

$$ \widehat{A} = 180° - 36° - 36° = 180° - 72° $$

$$ \widehat{A} = 108° $$
Que faut-il retenir de la comparaison entre ces deux questions ?

La même mesure de $36°$ donne deux triangles très différents. Il faut donc toujours repérer quel angle est donné : celui du sommet principal, ou l'un de ceux de la base.

Une ferme de charpente a la forme d'un triangle isocèle dont l'angle au sommet mesure $40°$.

Calculer les deux angles à la base.

$$ (180° - 40°) \div 2 = 140° \div 2 $$

$$ 70° \text{ chacun} $$
On trace la bissectrice de l'angle au sommet. Quelle est la mesure de chacun des deux angles obtenus ?

$$ 40° \div 2 $$

$$ 20° $$
Cette bissectrice découpe la ferme en deux triangles. Calculer le troisième angle de l'un d'eux, puis conclure.

Ce petit triangle a un angle de $20°$ au sommet et un angle de $70°$ à la base. Son troisième angle vaut donc :

$$ 180° - 20° - 70° = 180° - 90° $$

$$ 90° $$

La bissectrice de l'angle au sommet est donc perpendiculaire à la base : c'est aussi la médiatrice de celle-ci.

Soit un triangle $ABC$ quelconque. On trace la médiatrice de $\bigl[AB\bigr]$ et celle de $\bigl[AC\bigr]$, qui se coupent en un point $O$.

Réaliser la figure, au compas, en laissant les traits de construction apparents.
Pourquoi peut-on affirmer que $OA = OB$ ?

$O$ appartient à la médiatrice de $\bigl[AB\bigr]$, donc il est à égale distance de $A$ et de $B$.

$$ OA = OB $$
Par le même raisonnement, que peut-on dire de $OA$ et $OC$ ?

$O$ est aussi sur la médiatrice de $\bigl[AC\bigr]$.

$$ OA = OC $$
En déduire que $O$ appartient également à la médiatrice de $\bigl[BC\bigr]$.

Les deux égalités précédentes donnent :

$$ OB = OA \qquad \text{et} \qquad OA = OC $$

donc $OB = OC$. Le point $O$ est ainsi à égale distance de $B$ et de $C$.

D'après la propriété caractéristique, lue dans l'autre sens , cela suffit à affirmer :

$$ O \text{ est sur la médiatrice de } \bigl[BC\bigr] $$

Les trois médiatrices passent donc bien par un même point.
Tracer le cercle de centre $O$ passant par $A$. Que constate-t-on ? Comment s'appelle ce cercle ?

Comme $OA = OB = OC$, ce cercle passe aussi par $B$ et par $C$.

$$ \text{c'est le cercle circonscrit au triangle } ABC $$