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Le lexique et le codage
Un même couple de points \(A\) et \(B\) sert à désigner plusieurs objets différents. Les notations permettent de les distinguer.
Notation |
Objet désigné |
|---|---|
\((AB)\) |
La droite passant par \(A\) et \(B\) |
\(\bigl[AB\bigr]\) |
Le segment d'extrémités \(A\) et \(B\) |
\(\bigl[AB)\) |
La demi-droite d'origine \(A\) passant par \(B\) |
\(AB\) |
La longueur du segment, un nombre |
Sur une figure, on code ce que l'on sait : deux segments de même longueur reçoivent la même marque, et un angle droit se signale par un petit carré. Le codage remplace une phrase.
La distance entre deux points
La distance entre deux points \(A\) et \(B\) est la longueur du segment \(\bigl[AB\bigr]\). On la note \(AB\).
Le milieu d'un segment
Le milieu
Le milieu \(I\) du segment \(\bigl[AB\bigr]\) est le point du segment situé à égale distance de \(A\) et de \(B\).
Être à égale distance de \(A\) et de \(B\) ne suffit pas : il faut aussi appartenir au segment . D'autres points du plan sont à égale distance de \(A\) et de \(B\) sans en être le milieu.
Le cercle et le disque
Le cercle
Le cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\) est l'ensemble des points situés à la distance \(r\) du point \(O\).
Le disque
Le disque de centre \(O\) et de rayon \(r\) est l'ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à \(r\) du point \(O\).
Le cercle est donc le contour, et le disque la surface qu'il délimite.
-
Le rayon
C'est un segment joignant le centre à un point du cercle. Sa longueur est \(r\).
-
La corde
C'est un segment joignant deux points du cercle.
-
Le diamètre
C'est une corde qui passe par le centre. C'est la plus longue de toutes :
$$ d = 2 \times r $$
Le cercle vu comme un ensemble de points
Cette définition sert à répondre aux questions de distance.
-
Un point est sur le cercle lorsque sa distance au centre est égale à \(r\) ;
-
il est à l'intérieur lorsque cette distance est plus petite que \(r\) ;
-
il est à l'extérieur lorsqu'elle est plus grande.
Exemple : soit un cercle de centre \(O\) et de rayon \(5 \ cm\), et un point \(M\) tel que \(OM = 4 \ cm\).
C'est aussi ainsi que l'on trace tous les points situés à une distance donnée d'un point : ils forment un cercle .
La médiatrice d'un segment
La médiatrice
La médiatrice d'un segment \(\bigl[AB\bigr]\) est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu .
Elle possède une propriété qui la caractérise entièrement :
Cette propriété se lit dans les deux sens. Si l'on sait qu'un point est sur la médiatrice, on en déduit qu'il est à égale distance de \(A\) et de \(B\). Réciproquement, si un point est à égale distance de \(A\) et de \(B\), c'est qu'il est sur la médiatrice.
Construire la médiatrice au compas
Le programme de construction ne demande ni règle graduée ni équerre :
-
écarter le compas de plus de la moitié de \(AB\) ;
-
pointe sur \(A\), tracer un arc de cercle de chaque côté du segment ;
-
sans changer l'écartement, pointe sur \(B\), tracer deux arcs qui coupent les précédents ;
-
tracer la droite passant par les deux points d'intersection obtenus.
Les deux points d'intersection sont à égale distance de \(A\) et de \(B\), puisque l'écartement du compas n'a pas changé : d'après la propriété caractéristique, ils sont bien sur la médiatrice.