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Du vocabulaire des segments au cercle et à la médiatrice : tout se ramène à mesurer une distance.
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Distinguer une droite, un segment, une demi-droite et une longueur
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Placer le milieu d'un segment
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Connaître le rayon, la corde et le diamètre d'un cercle
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Dire si un point est sur un cercle, à l'intérieur ou à l'extérieur
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Construire la médiatrice d'un segment au compas
Une box wifi couvre \(15 \ \text{m}\) autour d'elle : un disque, dont la limite est un cercle.
À égale distance de deux chambres, il n'y a pas un seul endroit : il y a toute une droite.
Être à la même distance de deux points, ce n'est pas être au milieu : c'est se trouver sur leur médiatrice.
Le lexique et le codage
Deux points \(A\) et \(B\) désignent plusieurs objets. Les notations les distinguent.
Notation |
Objet désigné |
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\(\bigl(AB\bigr)\) |
La droite passant par \(A\) et \(B\) |
\(\bigl[AB\bigr]\) |
Le segment d'extrémités \(A\) et \(B\) |
\(\bigl[AB\bigr)\) |
La demi-droite d'origine \(A\) passant par \(B\) |
\(AB\) |
La longueur du segment, un nombre |
Sur une figure, on code ce que l'on sait : même longueur, même marque.
La distance entre deux points
La distance entre deux points \(A\) et \(B\) est la longueur du segment \(\bigl[AB\bigr]\). On la note \(AB\).
Le milieu d'un segment
Le milieu
Le milieu \(I\) du segment \(\bigl[AB\bigr]\) est le point du segment situé à égale distance de \(A\) et de \(B\).
Il coupe le segment en deux moitiés :
Être à égale distance de \(A\) et de \(B\) ne suffit pas : il faut aussi appartenir au segment.
Le cercle et le disque
Le cercle
Le cercle de centre \(O\) et de rayon \(R\) est l'ensemble des points situés à la distance \(R\) du point \(O\).
Le disque
Le disque de centre \(O\) et de rayon \(R\) est l'ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à \(R\) du point \(O\).
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Le rayon
Du centre à un point du cercle. Sa longueur est \(R\).
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La corde
D'un point du cercle à un autre.
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Le diamètre
La corde qui passe par le centre, la plus longue de toutes :
$$ D = 2 \times R $$
Le cercle vu comme un ensemble de points
Un point est :
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sur le cercle si sa distance au centre est égale à \(R\) ;
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à l'intérieur si elle est plus petite que \(R\) ;
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à l'extérieur si elle est plus grande que \(R\).
Exemple : un cercle de centre \(O\) et de rayon \(5 \ \text{cm}\), et un point \(M\) tel que \(OM = 4 \ \text{cm}\).
La médiatrice d'un segment
La médiatrice
La médiatrice d'un segment \(\bigl[AB\bigr]\) est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
Sa propriété caractéristique :
Construire la médiatrice au compas
Sans règle graduée ni équerre :
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écarter le compas de plus de la moitié de \(AB\) ;
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pointe sur \(A\), tracer un arc de cercle de chaque côté du segment ;
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sans changer l'écartement, pointe sur \(B\), tracer deux arcs qui coupent les précédents ;
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tracer la droite passant par les deux points d'intersection.
Même écartement : les deux points d'intersection sont à égale distance de \(A\) et de \(B\), donc sur la médiatrice.