Problèmes sur les distances, cercles et médiatrices

La carte au trésor

Une carte indique que le trésor est enterré à \(12 \ m\) du puits \(P\).

1. Décrire l'ensemble des endroits où le trésor peut se trouver.

   Ce sont tous les points situés à la distance \(12 \ m\) de \(P\).

   $$ \text{le cercle de centre } P \text{ et de rayon } 12 \ m $$
2. Un promeneur se tient à \(15 \ m\) du puits. Peut-il être sur le trésor ? Justifier.

   Comme \(15 > 12\), il se trouve à l'extérieur du cercle.

   $$ \text{Non, c'est impossible} $$

L'école entre deux villages

Deux villages \(A\) et \(B\) sont distants de \(8 \ km\). On veut bâtir une école à égale distance des deux.

1. Où peut-on la construire ? Nommer précisément cet ensemble de points.

   Les points à égale distance de \(A\) et de \(B\) sont exactement ceux de la médiatrice, d'après sa propriété caractéristique.

   $$ \text{la médiatrice de } \bigl[AB\bigr] $$
2. Si on la bâtit au milieu \(I\) de \(\bigl[AB\bigr]\), à quelle distance sera-t-elle de chaque village ?
   $$ IA = IB = 8 \div 2 $$

   $$ 4 \ km $$
3. On la bâtit finalement en un point \(M\) de la médiatrice, situé à \(5 \ km\) de \(A\). À quelle distance est-elle de \(B\) ? Justifier sans mesurer.

   \(M\) appartient à la médiatrice de \(\bigl[AB\bigr]\), donc il est à égale distance de \(A\) et de \(B\).

   $$ MB = 5 \ km $$

La cible de tir

Une cible est formée de trois cercles de même centre \(O\), de rayons \(3 \ cm\), \(6 \ cm\) et \(9 \ cm\).

1. Quel est le diamètre du plus grand cercle ?
   $$ d = 2 \times 9 $$

   $$ d = 18 \ cm $$
2. Une flèche se plante à \(7 \ cm\) du centre. Entre quels cercles se trouve-t-elle ?

   Comme \(6 < 7 < 9\) :

   $$ \text{entre le cercle de } 6 \ cm \text{ et celui de } 9 \ cm $$
3. Quelle est la largeur de la couronne comprise entre les cercles de \(6 \ cm\) et de \(9 \ cm\) ?
   $$ 9 - 6 $$

   $$ 3 \ cm $$

Un programme de construction

Exécuter le programme suivant, en laissant les traits de construction apparents :

1. tracer un segment \(\bigl[AB\bigr]\) de \(6 \ cm\) ;
2. construire sa médiatrice au compas ;
3. placer sur cette médiatrice un point \(M\) tel que \(MA = 5 \ cm\).

1. Combien de points \(M\) conviennent ? Justifier.

   La médiatrice traverse le segment : elle possède des points de part et d'autre de \(\bigl[AB\bigr]\), à égale distance de \(A\).

   $$ 2 \text{ points conviennent} $$
2. Sans mesurer, donner la longueur \(MB\).

   \(M\) est sur la médiatrice de \(\bigl[AB\bigr]\), donc \(MA = MB\).

   $$ MB = 5 \ cm $$

L'antenne relais

Trois maisons \(A\), \(B\) et \(C\) sont à équiper. L'antenne doit être placée à égale distance de \(A\) et de \(B\), et à exactement \(5 \ km\) de \(C\).

1. Traduire la première condition par un ensemble de points.
   $$ \text{la médiatrice de } \bigl[AB\bigr] $$
2. Traduire la seconde condition par un ensemble de points.
   $$ \text{le cercle de centre } C \text{ et de rayon } 5 \ km $$
3. Comment trouve-t-on alors la position de l'antenne ?

   L'antenne doit vérifier les deux conditions à la fois : elle se situe donc à l'intersection de la médiatrice et du cercle.

4. Combien de positions sont possibles ? Discuter les différents cas.

   Tout dépend de la position de la droite par rapport au cercle :

   • si la médiatrice coupe le cercle en deux points, il y a deux positions possibles ;

   • si elle ne le touche qu'en un seul point, il n'y en a qu'une ;

   • si elle ne le rencontre pas, le problème n'a pas de solution.

   $$ 0, \ 1 \text{ ou } 2 \text{ positions selon les cas} $$