Problèmes sur les distances, les cercles et les médiatrices en sixième

Une carte au trésor, une école à placer entre deux villages : ces situations se résolvent au compas plutôt qu'à la règle.

Traduire une contrainte de distance par un cercle ou une médiatrice
Construire un point vérifiant deux conditions
Rédiger un programme de construction
Retrouver le centre d'un cercle et trancher une affirmation

La carte au trésor

Sur cette carte, où un carreau représente $2 \ \text{m}$, le trésor est enterré à $12 \ \text{m}$ du puits $P$.

Tracer sur la carte l'ensemble des endroits où le trésor peut se trouver, puis le décrire.

Ce sont tous les points situés à la distance $12 \ \text{m}$ de $P$. Sur la carte, le rayon mesure $12 \div 2 = 6$ carreaux.

$$ \text{le cercle de centre } P \text{ et de rayon } 12 \ \text{m} $$
Un promeneur se tient à $15 \ \text{m}$ du puits. Peut-il être sur le trésor ? Justifier.

Comme $15 > 12$, il se trouve à l'extérieur du cercle.

$$ \text{Non, c'est impossible} $$
Un second indice : le trésor est aussi à $8 \ \text{m}$ du chêne $C$. Construire sur la carte les endroits où il peut être, et les nommer $T_1$ et $T_2$.

Les endroits à $8 \ \text{m}$ du chêne forment le cercle de centre $C$ et de rayon $8 \div 2 = 4$ carreaux. Le trésor est sur les deux cercles à la fois : à leurs points d'intersection.

$$ 2 \text{ endroits possibles : } T_1 \text{ et } T_2 $$

L'école entre deux villages

Sur cette carte, où un carreau représente $1 \ \text{km}$, deux villages $A$ et $B$ sont distants de $8 \ \text{km}$. On veut bâtir une école à égale distance des deux.

Où peut-on la construire ? Construire au compas cet ensemble de points sur la carte, puis le nommer précisément.

Les points à égale distance de $A$ et de $B$ sont exactement ceux de la médiatrice, d'après sa propriété caractéristique.

$$ \text{la médiatrice de } \bigl[AB\bigr] $$
Placer le milieu $I$ de $\bigl[AB\bigr]$. Si on bâtit l'école en $I$, à quelle distance sera-t-elle de chaque village ?

$$ IA = IB = 8 \div 2 $$

$$ 4 \ \text{km} $$
On la bâtit finalement en un point $M$ de la médiatrice, au-dessus de $\bigl[AB\bigr]$ sur la carte, situé à $5 \ \text{km}$ de $A$. Placer $M$ au compas. À quelle distance est-il de $B$ ? Justifier sans mesurer.

$M$ appartient à la médiatrice de $\bigl[AB\bigr]$, donc il est à égale distance de $A$ et de $B$.

$$ MB = 5 \ \text{km} $$

La cible de tir

Une cible est formée de trois cercles de même centre $O$, de rayons $3 \ \text{cm}$, $6 \ \text{cm}$ et $9 \ \text{cm}$. Sur la figure, un carreau représente $1 \ \text{cm}$.

Tracer un diamètre du plus grand cercle, puis calculer sa longueur.

$$ D = 2 \times 9 $$

$$ D = 18 \ \text{cm} $$
Une flèche $F$ se plante à $7 \ \text{cm}$ du centre. La placer sur la cible. Entre quels cercles se trouve-t-elle ?

Comme $6 < 7 < 9$ :

$$ \text{entre le cercle de } 6 \ \text{cm} \text{ et celui de } 9 \ \text{cm} $$
Colorier la couronne comprise entre les cercles de $6 \ \text{cm}$ et de $9 \ \text{cm}$. Quelle est sa largeur ?

$$ 9 - 6 $$

$$ 3 \ \text{cm} $$

Un programme de construction

Exécuter le programme suivant, en laissant les traits de construction apparents : tracer un segment $\bigl[AB\bigr]$ de $6 \ \text{cm}$, construire sa médiatrice au compas, puis placer sur cette médiatrice un point $M$ tel que $MA = 5 \ \text{cm}$.

la construction se fait ici
Combien de points $M$ conviennent ? Justifier.

Étape 1 : Nommer les deux lignes sur lesquelles le point $M$ doit se trouver.

Étape 2 : Comparer la longueur $MA = 5 \ \text{cm}$ à la distance de $A$ au milieu de $\bigl[AB\bigr]$.

Conclure :

Étape 1 : les points $M$ cherchés sont à la fois sur la médiatrice et sur le cercle de centre $A$ et de rayon $5 \ \text{cm}$.

Étape 2 : ce rayon dépasse la distance $3 \ \text{cm}$ de $A$ au milieu de $\bigl[AB\bigr]$.

Conclusion : le cercle coupe la médiatrice une fois de chaque côté du segment.

$$ 2 \text{ points conviennent} $$
Donner la longueur $MB$, et nommer la propriété de la médiatrice qui la donne sans aucune mesure.

$M$ est sur la médiatrice de $\bigl[AB\bigr]$ : tout point de cette droite est à égale distance des deux extrémités du segment, donc $MA = MB$.

$$ MB = 5 \ \text{cm} $$

L'antenne relais

Sur cette carte, où un carreau représente $1 \ \text{km}$, trois maisons $A$, $B$ et $C$ sont à équiper. L'antenne doit être placée à égale distance de $A$ et de $B$, et à exactement $5 \ \text{km}$ de $C$.

Traduire chacune des deux conditions par un ensemble de points.

À égale distance de $A$ et de $B$ :

$$ \text{la médiatrice de } \bigl[AB\bigr] $$

À $5 \ \text{km}$ de $C$ :

$$ \text{le cercle de centre } C \text{ et de rayon } 5 \ \text{km} $$
Construire sur la carte les positions possibles de l'antenne, puis expliquer pourquoi elles conviennent.

Étape 1 : Construire au compas la médiatrice de $\bigl[AB\bigr]$.

Étape 2 : Tracer le cercle de centre $C$ et de rayon $5 \ \text{km}$.

Étape 3 : Placer les positions de l'antenne, et les nommer $R_1$ et $R_2$.

Étape 1 : deux arcs de même rayon, centrés en $A$ et en $B$, se coupent en deux points de la médiatrice.

Étape 2 : le rayon mesure $5$ carreaux.

Étape 3 : l'antenne doit vérifier les deux conditions à la fois : elle se situe donc à l'intersection de la médiatrice et du cercle.
Combien de positions sont possibles ? Discuter les différents cas.
Tout dépend de la position de la droite par rapport au cercle :
- si la médiatrice coupe le cercle en deux points, il y a deux positions possibles ;
- si elle ne le touche qu'en un seul point, il n'y en a qu'une ;
- si elle ne le rencontre pas, le problème n'a pas de solution.
$$ 0 \ ; \ 1 \quad \text{ou} \quad 2 \ \text{positions selon les cas} $$

Trois affirmations à trancher

Nina affirme : « Le point $M$ est à $4 \ \text{cm}$ de $A$ et à $4 \ \text{cm}$ de $B$, donc $M$ est le milieu de $\bigl[AB\bigr]$. » Trancher.

Étape 1 : Construire au compas, sur la figure ci-dessous où $AB = 6 \ \text{cm}$, les points à $4 \ \text{cm}$ de $A$ et de $B$, et les nommer $M_1$ et $M_2$.

Étape 2 : Nommer la ligne sur laquelle se trouve un tel point $M$.

Étape 3 : Trouver la longueur $AB$ pour laquelle $M$ est bien le milieu de $\bigl[AB\bigr]$.

Conclure :

la construction se fait ici

Étape 1 : avec $AB = 6 \ \text{cm}$, les deux points $M_1$ et $M_2$ situés à $4 \ \text{cm}$ de $A$ et de $B$ sont de part et d'autre du segment, mais pas sur lui.

Étape 2 : $M$ est à égale distance de $A$ et de $B$ : il est donc sur la médiatrice de $\bigl[AB\bigr]$.

Étape 3 : il n'en est le milieu que s'il est aussi sur le segment, c'est-à-dire si $AB = 8 \ \text{cm}$.

Conclusion : Nina n'a raison que si $AB = 8 \ \text{cm}$.

$$ \text{pas forcément} $$
Tom affirme : « Dans un cercle de rayon $5 \ \text{cm}$, j'ai tracé une corde de $11 \ \text{cm}$. » Trancher.

Étape 1 : Tracer la plus longue corde du cercle ci-dessous, où un carreau représente $1 \ \text{cm}$, puis calculer sa longueur.

Étape 2 : Comparer la corde de Tom à cette longueur.

Conclure :

Étape 1 : la corde la plus longue d'un cercle est son diamètre :

$$ D = 2 \times 5 = 10 \ \text{cm} $$

Étape 2 : une corde de $11 \ \text{cm}$ serait plus longue que le diamètre.

Conclusion : aucune corde de ce cercle ne peut mesurer $11 \ \text{cm}$.

$$ \text{c'est impossible} $$
Un cercle a un diamètre de $7 \ \text{cm}$, et un point $P$ est à $5 \ \text{cm}$ de son centre. Sofia affirme : « Comme $5 < 7$, le point $P$ est à l'intérieur du cercle. » Trancher.

Étape 1 : Calculer le rayon du cercle.

Étape 2 : Tracer le cercle sur la figure ci-dessous, où son centre $O$ est placé, puis placer un point $P$ à $5 \ \text{cm}$ de $O$.

Étape 3 : Comparer la distance de $P$ au centre avec ce rayon.

Conclure :

la construction se fait ici

Étape 1 : Sofia compare la distance au diamètre, alors qu'il faut la comparer au rayon :

$$ R = 7 \div 2 = 3{,}5 \ \text{cm} $$

Étape 2 : le cercle a un rayon de $7$ carreaux, et $P$, à $10$ carreaux de $O$, tombe hors du cercle.

Étape 3 : $P$ est à $5 \ \text{cm}$ du centre, et $5 > 3{,}5$.

Conclusion : $P$ est plus loin du centre que les points du cercle :

$$ P \text{ est à l'extérieur du cercle} $$

L'assiette cassée

Un archéologue a retrouvé un morceau d'assiette ronde. Il a marqué trois points $A$, $B$ et $C$ sur son bord, et veut retrouver le centre $O$ de l'assiette pour en connaître la taille.

Construire au compas, sur la figure, la médiatrice de $\bigl[AB\bigr]$ et celle de $\bigl[BC\bigr]$, et nommer $O$ leur point d'intersection. Tracer ensuite le cercle de centre $O$ passant par $A$ : par quels autres points marqués passe-t-il ?

Les deux médiatrices, construites au compas, se coupent en $O$. Le cercle de centre $O$ passant par $A$ suit exactement le bord du morceau et passe par $B$ et par $C$.
Justifier que le centre de l'assiette se trouve sur la médiatrice de $\bigl[AB\bigr]$, puis sur celle de $\bigl[BC\bigr]$ : c'est donc bien le point $O$ construit.

Étape 1 : Comparer les longueurs $OA$ et $OB$.

Étape 2 : Justifier que $O$ est sur la médiatrice de $\bigl[AB\bigr]$.

Étape 3 : Comparer les longueurs $OB$ et $OC$.

Conclure :

Étape 1 : $A$ et $B$ sont sur le cercle de centre $O$ : $OA = OB$, c'est le rayon.

Étape 2 : d'après la propriété caractéristique, $O$ est donc sur la médiatrice de $\bigl[AB\bigr]$.

Étape 3 : de même, $B$ et $C$ sont sur ce cercle : $OB = OC$.

Conclusion : $O$ est donc aussi sur la médiatrice de $\bigl[BC\bigr]$ : c'est le point d'intersection des deux médiatrices.
Sur la vraie assiette, l'archéologue mesure $OA = 13 \ \text{cm}$. Il pense que cette assiette se rangeait à plat dans une boîte carrée de $25 \ \text{cm}$ de côté. Trancher.

Étape 1 : Calculer le diamètre de l'assiette.

Étape 2 : Comparer ce diamètre au côté de la boîte.

Conclure :

Étape 1 : $OA$ est le rayon de l'assiette. Son diamètre vaut :

$$ D = 2 \times 13 = 26 \ \text{cm} $$

Étape 2 : $26 > 25$ : l'assiette est plus large que la boîte.

Conclusion : l'archéologue se trompe :

$$ \text{l'assiette ne rentre pas à plat dans la boîte} $$

L'arroseur des trois arbres

Sur ce plan, où un carreau représente $1 \ \text{m}$, trois arbres sont plantés en $A$, $B$ et $C$. Un arroseur arrose le disque dont il est le centre ; le rayon de ce disque, sa portée, se règle. On admet que deux points d'un même disque sont toujours distants d'au plus son diamètre.

On ne s'occupe d'abord que des arbres $A$ et $B$. Placer l'arroseur pour les arroser tous les deux avec la plus petite portée possible, et justifier qu'une portée plus petite ne suffirait pas.

Étape 1 : Lire la distance $AB$ sur le plan.

Étape 2 : Trouver la longueur minimale du diamètre du disque arrosé, puis celle de la portée.

Étape 3 : Trouver où placer l'arroseur pour atteindre $A$ et $B$ avec cette portée.

Conclure :

Étape 1 : $A$ et $B$ sont sur une même ligne du quadrillage : $AB = 10 \ \text{m}$.

Étape 2 : s'ils sont tous les deux dans le disque arrosé, ils sont distants d'au plus son diamètre : ce diamètre mesure donc au moins $10 \ \text{m}$, et la portée au moins :

$$ 10 \div 2 = 5 \ \text{m} $$

Étape 3 : placé au milieu $I$ de $\bigl[AB\bigr]$, l'arroseur atteint justement $A$ et $B$ avec cette portée, puisque $IA = IB = 5 \ \text{m}$.

Conclusion : aucune portée plus petite ne convient, et l'arroseur se place :

$$ \text{en } I \text{, milieu de } \bigl[AB\bigr] \text{, avec une portée de } 5 \ \text{m} $$
On ajoute l'arbre $C$. Tracer sur le plan le cercle de centre $I$ passant par $A$, dire de quel côté de ce cercle tombe $C$, puis donner la plus petite portée qui arrose les trois arbres.

Le cercle de centre $I$ passant par $A$ laisse $C$ à l'intérieur : $IC$ est plus petit que $IA = 5 \ \text{m}$. Les trois arbres sont donc arrosés avec une portée de $5 \ \text{m}$.

On ne peut pas faire moins : d'après la question précédente, il faut déjà $5 \ \text{m}$ pour atteindre $A$ et $B$.

$$ 5 \ \text{m} $$
Hugo pense qu'il vaut mieux placer l'arroseur au point $O$ situé à égale distance des trois arbres. Construire $O$ sur le plan, puis trancher, sans mesurer.

Étape 1 : Nommer la longueur sur laquelle Hugo doit régler la portée pour atteindre $A$ depuis $O$.

Étape 2 : Comparer la longueur $AB$ au diamètre du cercle de centre $O$ passant par $A$.

Étape 3 : Comparer cette portée à $5 \ \text{m}$.

Conclure :

$O$ est à égale distance de $A$ et de $B$, et de $A$ et de $C$ : il est sur la médiatrice de $\bigl[AB\bigr]$ et sur celle de $\bigl[AC\bigr]$. Construites au compas, elles se coupent $5$ carreaux sous $I$.

Étape 1 : pour atteindre $A$, Hugo doit régler la portée sur $OA$.

Étape 2 : le cercle de centre $O$ passant par $A$ passe aussi par $B$ : $\bigl[AB\bigr]$ en est une corde. Cette corde ne passe pas par le centre $O$ : ce n'est pas un diamètre, elle est donc plus courte que le diamètre.

Étape 3 : ce diamètre dépasse $10 \ \text{m}$, et la portée dépasse $5 \ \text{m}$.

Conclusion : en $O$, il faut une portée plus grande qu'en $I$.

$$ \text{Hugo se trompe : il lui faut plus de } 5 \ \text{m} $$

Vérification : au compas, reporté sur une ligne du quadrillage, $OA$ mesure un peu plus de $7$ carreaux, soit environ $7 \ \text{m}$.

La chèvre et le hangar

Une chèvre est attachée au coin $A$ d'un hangar rectangulaire $ABCD$ de $7 \ \text{m}$ sur $3 \ \text{m}$, par une corde de $6 \ \text{m}$. Elle broute dehors, et la corde ne peut pas traverser le hangar. Sur le plan, un carreau représente $1 \ \text{m}$.

Tracer au compas le contour de la zone où la chèvre peut brouter, puis la colorier.

Tant que la corde ne touche pas le hangar, la chèvre atteint les points situés à $6 \ \text{m}$ au plus de $A$ : trois quarts de disque de centre $A$ et de rayon $6 \ \text{m}$, le dernier quart étant occupé par le hangar.

Le long du mur $\bigl[AB\bigr]$, long de $7 \ \text{m}$, la corde n'atteint pas le coin $B$. Le long du mur $\bigl[AD\bigr]$, elle arrive au coin $D$ avec encore $6 - 3 = 3 \ \text{m}$ : la chèvre tourne autour de $D$.

$$ \text{trois quarts de disque de centre } A \text{ et un quart de disque de centre } D $$
Le point $P$ est à moins de $6 \ \text{m}$ de $A$. Tom en conclut que la chèvre peut l'atteindre. Trancher.

Étape 1 : Vérifier si la corde peut aller tout droit de $A$ à $P$.

Étape 2 : Étudier le chemin qui contourne le hangar par le coin $B$.

Étape 3 : Étudier le chemin qui contourne le hangar par le coin $D$.

Conclure :

Étape 1 : le segment $\bigl[AP\bigr]$ traverse le hangar : la corde ne peut pas le suivre.

Étape 2 : par le coin $B$, il faudrait déjà $7 \ \text{m}$ de corde.

Étape 3 : par le coin $D$, il ne reste que $3 \ \text{m}$ après le coin, et au compas, $DP$ mesure environ $4$ carreaux : $P$ est hors du quart de disque de centre $D$.

Conclusion : aucun chemin ne mène la chèvre jusqu'à $P$.

$$ \text{Tom se trompe : la chèvre n'atteint pas } P $$
La chèvre est toujours attachée en $A$. Calculer la longueur de corde la plus courte qui lui permet d'atteindre le coin $C$.

Le coin $C$ est de l'autre côté du hangar : la corde doit le contourner en longeant les murs, par $D$ ou par $B$.

$$ AD + DC = 3 + 7 = 10 \ \text{m} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} AB + BC = 7 + 3 = 10 \ \text{m} $$

$$ 10 \ \text{m} $$
Avec cette corde de $10 \ \text{m}$ attachée en $A$, la chèvre atteint tout le pied des murs du hangar. Nora propose de l'attacher plutôt au milieu $M$ du mur $\bigl[AB\bigr]$ : selon elle, une corde plus courte suffirait alors pour atteindre tout le pied des murs. Trancher.

Étape 1 : Repérer le point du pied des murs le plus difficile à atteindre depuis $M$.

Étape 2 : Calculer la longueur de corde qu'il faut pour l'atteindre, par un côté du hangar puis par l'autre.

Conclure :

Étape 1 : on cherche le point du pied des murs le plus difficile à atteindre depuis $M$ : c'est le point d'en face, le milieu $N$ du mur $\bigl[DC\bigr]$.

Étape 2 : on le rejoint en longeant les murs, par un côté ou par l'autre :

$$ MA + AD + DN = 3{,}5 + 3 + 3{,}5 = 10 \ \text{m} $$

$$ MB + BC + CN = 3{,}5 + 3 + 3{,}5 = 10 \ \text{m} $$

Conclusion : depuis $M$, il faut autant de corde que depuis $A$.

$$ \text{Nora se trompe : il faut encore } 10 \ \text{m} $$

Ce n'est pas un hasard : les deux chemins vers le point d'en face font à eux deux le tour du hangar, $20 \ \text{m}$, et ils sont égaux. Où que la chèvre soit attachée le long des murs, il faut la moitié du tour.