Les pliages de la symétrie

Le message plié

De chaque lettre de ce message, on ne voit que la moitié tracée d'un côté de son axe de symétrie, en pointillés rouges.

1. Compléter chaque lettre par symétrie par rapport à son axe, en comptant les carreaux, puis écrire le mot obtenu.

   Chaque sommet se reporte sur sa ligne du quadrillage, à la même distance de l'axe, de l'autre côté. Le mot est \(\mathrm{CHOUETTE}\).

2. Deux lettres du mot ont un second axe de symétrie. Les nommer, puis tracer ce second axe en couleur.

   Le \(\mathrm{H}\) a aussi un axe horizontal, et le \(\mathrm{O}\) un axe vertical. Les autres lettres n'en ont qu'un : le \(\mathrm{C}\) et le \(\mathrm{E}\) horizontal, le \(\mathrm{U}\) et le \(\mathrm{T}\) vertical.

Les motifs découpés

Les pièces 1, 2 et 3 sont sur la dernière page. Leurs plis sont en bleu ; sur les pièces 1 et 2, un trait épais est à découper.

1. Découper les pièces 1 et 2 et les plier le long de leurs plis, dessin à l'extérieur. Découper le trait épais à travers toutes les épaisseurs, déplier le motif, puis le coller dans son cadre.

   Les épaisseurs ont été découpées ensemble : de part et d'autre de chaque pli, le motif est le même.

2. Chercher en pliant les axes de symétrie de chaque motif collé, les tracer, puis écrire combien chacun en a.

   Le sapin a \(1\) axe, son pli. L'étoile en a \(4\) : ses deux plis, et ses deux diagonales, car le quart découpé était lui-même symétrique.

3. La pièce 3 n'a que ses plis. La plier en quatre, puis tracer sur le carré plié le trait à découper pour obtenir, déplié, le losange du troisième cadre. Découper, déplier, puis coller le losange sur son modèle : il doit le recouvrir exactement. Écrire les deux longueurs mesurées le long des plis.

   Les deux plis sont les diagonales du losange, ses deux axes de symétrie. Sur le carré plié, depuis le coin où les plis se rejoignent, on marque la moitié de chaque diagonale, puis on relie les deux marques :

   $$ \frac{6}{2} = 3 \ \text{cm} \quad \text{et} \quad \frac{4}{2} = 2 \ \text{cm} $$

L'aile du papillon

Ce papillon est dessiné en vraie grandeur. Son aile droite est le symétrique de son aile gauche par rapport à la droite \((d)\), qui passe par son corps.

1. Construire, à l'équerre et au compas, les symétriques \(A'\), \(B'\), \(C'\), \(D'\) et \(E'\) des points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) et \(E\) par rapport à \((d)\). Chacun tombe sur une croix : écrire son numéro.

   Pour chaque point : la perpendiculaire à \((d)\) qui passe par lui, puis la même distance reportée au compas de l'autre côté de \((d)\).

   $$ A' : 7 \ ; \ B' : 2 \ ; \ C' : 11 $$

   $$ D' : 5 \ ; \ E' : 9 $$

   Les autres croix sont des pièges : un report fait à l'horizontale, ou un point glissé le long de l'axe.

2. Tracer l'aile droite, puis mesurer \(AB\) et \(A'B'\), \(CD\) et \(C'D'\). Que remarque-t-on ?
   $$ AB = A'B' = 4 \ \text{cm} $$

   $$ CD = C'D' = 3 \ \text{cm} $$

   La symétrie axiale conserve les longueurs.

3. Construire le symétrique de la tache, de centre \(F\) et de rayon \(1 \ \text{cm}\), puis écrire le numéro de la croix de son centre.

   Le centre \(F'\) est le symétrique de \(F\), sur la croix 4. La symétrie conserve les longueurs : la tache de droite est le cercle de centre \(F'\) et de même rayon, \(1 \ \text{cm}\).

Le pli retrouvé

Sur la pièce 4, de l'image du triangle \(ABC\) par une symétrie axiale, il ne reste que le point \(A'\), symétrique de \(A\) : l'axe a été effacé.

1. Construire au compas l'axe de cette symétrie sur la pièce 4, en laissant les traits de construction, et le nommer \((d)\). Expliquer pourquoi c'est bien lui.

   Par définition, l'axe d'une symétrie est la médiatrice du segment qui joint un point à son symétrique : ici, la médiatrice de \(\bigl[AA'\bigr]\).

   Elle se construit avec deux arcs de même rayon, de centres \(A\) et \(A'\), au-dessus et au-dessous du segment : la droite qui passe par leurs deux points communs est \((d)\).

2. Découper la pièce 4 et la plier le long de \((d)\) : \(A\) doit tomber sur \(A'\). Pièce pliée, piquer \(B\) et \(C\) avec la pointe du compas à travers les deux épaisseurs. Déplier, nommer \(B'\) et \(C'\) les deux trous, tracer le triangle \(A'B'C'\), puis coller la pièce dans le cadre.

   Pièce pliée le long de \((d)\), chaque point se pose sur son symétrique : les trous marquent \(B'\) et \(C'\) sans aucune mesure.

3. Prolonger les droites \((AB)\) et \((A'B')\) jusqu'à leur point commun \(I\), puis \((AC)\) et \((A'C')\) jusqu'à leur point commun \(J\). Où se trouvent \(I\) et \(J\) ? Expliquer pourquoi.

   Les points \(I\) et \(J\) sont tous deux sur l'axe \((d)\).

   La symétrie envoie la droite \((AB)\) sur la droite \((A'B')\). Le point où \((AB)\) coupe \((d)\) est sur l'axe : il est son propre symétrique, donc il est aussi sur \((A'B')\). C'est le point \(I\). De même pour \(J\).

Les pièces des exercices \(2\) et \(4\), à découper en suivant les pointillés noirs. Les traits bleus sont les plis.