Problèmes sur la symétrie axiale

Les lettres de l'alphabet

On considère les lettres majuscules \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{H}\), \(\mathrm{N}\) et \(\mathrm{X}\), tracées ci-dessous de façon régulière.

1. Pour chacune, tracer sur la figure ses axes de symétrie, puis indiquer leur nombre et préciser lesquels.

   Lettre	Axes	Lesquels
   \(\mathrm{A}\)	\(1\)	Vertical
   \(\mathrm{B}\)	\(1\)	Horizontal
   \(\mathrm{H}\)	\(2\)	Vertical et horizontal
   \(\mathrm{N}\)	\(0\)	Aucun
   \(\mathrm{X}\)	\(2\)	Vertical et horizontal

2. Le \(\mathrm{N}\) se superpose pourtant à lui-même si on le fait tourner d'un demi-tour. Est-ce une symétrie axiale ? Justifier.

   Une symétrie axiale correspond à un pliage le long d'une droite, pas à une rotation. Aucun pliage ne superpose les deux moitiés du \(\mathrm{N}\).

   $$ \text{Non, ce n'est pas une symétrie axiale} $$

Le miroir

Un point \(M\) se trouve à \(3 \ \text{cm}\) d'un miroir, que l'on représente par une droite \((d)\). La figure est en vraie grandeur.

1. Construire sur la figure l'image \(M'\) de \(M\). À quelle distance du miroir se trouve-t-elle ?

   Le miroir est la médiatrice de \(\bigl[MM'\bigr]\) : il passe par le milieu de ce segment.

   $$ 3 \ \text{cm} $$
2. En déduire la longueur \(MM'\).
   $$ MM' = 3 + 3 $$

   $$ MM' = 6 \ \text{cm} $$
3. Le segment \(\bigl[MM'\bigr]\) est-il perpendiculaire au miroir ? Justifier, puis coder la figure.

   Par définition, \((d)\) est la médiatrice de \(\bigl[MM'\bigr]\), donc elle lui est perpendiculaire en son milieu.

   $$ \text{Oui, ils sont perpendiculaires} $$

Le logo de l'association

Un logo est formé d'un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), de côtés \(3 \ \text{cm}\), \(4 \ \text{cm}\) et \(5 \ \text{cm}\), auquel on ajoute son symétrique par rapport à la droite \((AB)\). La figure est en vraie grandeur.

1. Construire sur la figure le symétrique du triangle \(ABC\) par rapport à \((AB)\), en nommant \(C'\) l'image de \(C\). Quelles sont les longueurs des côtés du triangle \(ABC'\) ?

   \(A\) et \(B\) sont sur l'axe : ils sont leur propre image. La symétrie axiale conserve les longueurs.

   $$ 3 \ \text{cm} \ ; \ 4 \ \text{cm} \quad \text{et} \quad 5 \ \text{cm} $$

2. Le triangle de départ a une aire de \(6 \ \text{cm}^2\). Quelle est l'aire du logo entier ?

   La symétrie conserve aussi les aires, et les deux triangles ne se recouvrent pas.

   $$ A = 6 + 6 $$

   $$ A = 12 \ \text{cm}^2 $$
3. Les deux triangles sont-ils superposables ? Y a-t-il malgré tout une différence entre eux ?

   Ils sont superposables, mais seulement après avoir retourné la figure : la symétrie inverse le sens, comme le ferait un miroir.

Le terrain rectangulaire

Un terrain a la forme d'un rectangle \(ABCD\) de \(20 \ \text{m}\) sur \(12 \ \text{m}\). Sur le plan, un carreau représente \(1 \ \text{m}\).

1. Tracer sur le plan la médiatrice de \(\bigl[AB\bigr]\). Est-elle un axe de symétrie du rectangle ? Justifier.

   En pliant le rectangle le long de cette droite, les deux moitiés se superposent exactement.

   $$ \text{Oui, c'est un axe de symétrie} $$
2. Cet axe partage le terrain en deux parcelles. Colorier l'une d'elles, puis donner leurs dimensions et leur aire.

   Le côté de \(20 \ \text{m}\) est coupé en son milieu :

   $$ 20 \div 2 = 10 $$

   Chaque parcelle est donc un rectangle de \(10 \ \text{m}\) sur \(12 \ \text{m}\) :

   $$ A = 10 \times 12 $$

   $$ A = 120 \ \text{m}^2 \text{ chacune} $$

   Vérification : \(120 + 120 = 240\), et l'aire du terrain vaut bien \(20 \times 12 = 240 \ \text{m}^2\).

3. Une diagonale du rectangle est-elle un axe de symétrie ? Justifier.

   Étape 1 : Construire au compas, sur le plan, le symétrique \(B'\) de \(B\) par rapport à \((AC)\), et dire s'il tombe sur \(D\).

   Étape 2 : Repérer le sommet sur lequel \(B\) devrait venir se poser, en pliant le long de la diagonale \(\bigl[AC\bigr]\).

   Étape 3 : Écrire l'égalité de longueurs qu'il faudrait alors.

   Étape 4 : Vérifier cette égalité avec les dimensions du terrain.

   Conclure :

   Étape 1 : \(B'\) est le second point commun au cercle de centre \(A\) passant par \(B\) et au cercle de centre \(C\) passant par \(B\). Il tombe hors du terrain, loin de \(D\).

   Étape 2 : en pliant le terrain le long de la diagonale \(\bigl[AC\bigr]\), le sommet \(B\) devrait venir se poser sur \(D\).

   Étape 3 : la symétrie conservant les longueurs, il faudrait alors \(AB = AD\).

   Étape 4 : or \(20 \ \text{m}\) n'est pas égal à \(12 \ \text{m}\).

   Conclusion : le pliage ne superpose pas les deux moitiés du terrain.

   $$ \text{Non, ce n'est pas un axe de symétrie} $$

   Il faudrait pour cela que le rectangle soit un carré.

   C'est une différence avec le losange, dont les diagonales sont des axes de symétrie.

Le symétrique de Lucas

Lucas devait construire le symétrique du triangle \(ABC\) par rapport à la droite \((d)\). Il a tracé en rouge le triangle \(A'B'C'\).

1. Construire en vert, sur ce même quadrillage, le vrai symétrique du triangle \(ABC\), en nommant \(A_1\), \(B_1\) et \(C_1\) les images de \(A\), \(B\) et \(C\).

   Chaque sommet se reporte sur sa ligne du quadrillage, à la même distance de l'axe, de l'autre côté : \(A_1\) à \(4\) carreaux, \(B_1\) à \(1\) carreau et \(C_1\) à \(5\) carreaux à droite de \((d)\).

2. Expliquer pourquoi le triangle de Lucas n'est pas le symétrique de \(ABC\).

   Un point et son symétrique sont à la même distance de l'axe. Or \(B\) est à \(1\) carreau de \((d)\), et le \(B'\) de Lucas à \(5\) carreaux. Lucas a fait glisser le triangle au lieu de le retourner : son triangle garde le même sens que \(ABC\).

Le cheval et la rivière

Un cheval part du pré \(A\), va boire à la rivière \((d)\), puis rejoint l'écurie \(B\). On cherche l'endroit de la rive où il doit boire pour que son trajet soit le plus court possible.

1. Construire sur le quadrillage le point \(A'\), symétrique de \(A\) par rapport à la rivière \((d)\).

   \(A\) est à \(4\) carreaux au-dessus de \((d)\) : \(A'\) se place sur la même verticale, \(4\) carreaux en dessous de \((d)\).

2. Le cheval boit en un point \(N\) quelconque de la rivière. Justifier que \(NA = NA'\).

   Étape 1 : Nommer ce qu'est la rivière \((d)\) pour le segment \(\bigl[AA'\bigr]\).

   Étape 2 : Situer le point \(N\) par rapport à cette droite.

   Conclure :

   Étape 1 : \(A'\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \((d)\) : la rivière \((d)\) est la médiatrice du segment \(\bigl[AA'\bigr]\).

   Étape 2 : \(N\) est sur la rivière, c'est-à-dire sur cette médiatrice.

   Conclusion : \(N\) est donc à égale distance de \(A\) et de \(A'\).

   $$ NA = NA' $$
3. En déduire que le trajet \(A \to N \to B\) a la même longueur que le trajet \(A' \to N \to B\), puis placer le point \(M\) de la rivière qui rend ce trajet le plus court.

   Étape 1 : Comparer les longueurs \(AN + NB\) et \(A'N + NB\).

   Étape 2 : Situer les points \(A'\) et \(B\) par rapport à la rivière.

   Étape 3 : Trouver le plus court chemin qui relie \(A'\) à \(B\).

   Conclure :

   Étape 1 : d'après la question précédente :

   $$ AN + NB = A'N + NB $$

   Étape 2 : \(A'\) et \(B\) sont de part et d'autre de la rivière.

   Étape 3 : le plus court chemin de \(A'\) à \(B\) est la ligne droite.

   Conclusion : le point cherché est donc là où le segment \(\bigl[A'B\bigr]\) coupe la rivière, \(6\) carreaux à droite de la verticale de \(A\).

   $$ M \text{ est le point d'intersection de } \bigl[A'B\bigr] \text{ et de } (d) $$

4. Placer un autre point \(P\) de la rivière et tracer le trajet \(A \to P \to B\). Sans mesurer, expliquer pourquoi il est plus long que le trajet \(A \to M \to B\).

   Comme à la question 2, \(PA = PA'\), donc \(AP + PB = A'P + PB\). Or \(A'\), \(M\) et \(B\) sont alignés : le trajet \(A' \to M \to B\) est la ligne droite, plus courte que le détour \(A' \to P \to B\).

   $$ AP + PB = A'P + PB > A'B = AM + MB $$

Le carrelage aux quatre axes

Une terrasse carrée compte \(36\) carreaux, dont cinq sont déjà colorés. On veut en colorier d'autres, le moins possible, pour que le dessin ait certaines des droites \((d_1)\), \((d_2)\), \((d_3)\) et \((d_4)\) pour axes de symétrie.

1. Colorier le moins de carreaux possible pour que \((d_1)\) soit un axe de symétrie du dessin. Combien en faut-il ?

   Chaque carreau coloré oblige à colorier son symétrique par rapport à \((d_1)\), et rien de plus. Les deux carreaux de la rangée du bas sont déjà symétriques l'un de l'autre ; les trois autres demandent chacun un nouveau carreau.

   $$ 3 \text{ carreaux, soit } 8 \text{ en tout} $$

2. On repart du dessin de départ. Colorier le moins de carreaux possible pour que \((d_1)\) et \((d_2)\) soient toutes deux axes de symétrie. Combien en faut-il ?

   Chaque carreau coloré en entraîne trois autres : son symétrique par rapport à \((d_1)\), son symétrique par rapport à \((d_2)\), et le symétrique de ce dernier par rapport à \((d_1)\). Les deux carreaux de la rangée du bas font partie du même groupe de quatre.

   $$ 4 \times 4 = 16 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 16 - 5 = 11 $$

   $$ 11 \text{ carreaux, soit } 16 \text{ en tout} $$

3. On repart encore du dessin de départ. Colorier le moins de carreaux possible pour que les quatre droites soient à la fois axes de symétrie. Combien en faut-il ?

   On ajoute aussi les symétriques par rapport aux deux diagonales, jusqu'à ce que plus rien ne change. Chaque carreau entraîne ainsi toute une famille : tous les carreaux que l'on atteint à partir de lui par des symétries successives.

   Les deux carreaux colorés près du coin en haut à gauche sont symétriques par rapport à \((d_3)\) : ils sont dans la même famille, de \(8\) carreaux. Ceux de la rangée du bas sont dans une autre famille de \(8\). Le carreau posé sur \((d_3)\) est dans une famille de \(4\).

   $$ 8 + 8 + 4 = 20 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 20 - 5 = 15 $$

   $$ 15 \text{ carreaux, soit } 20 \text{ en tout} $$

4. Le carreleur voudrait un dessin qui ait les quatre axes et exactement \(10\) carreaux colorés. Trancher.

   Étape 1 : Partager les \(36\) carreaux en familles, comme à la question précédente, et compter les carreaux de chaque famille.

   Étape 2 : Montrer qu'un dessin qui a les quatre axes contient chaque famille en entier, ou pas du tout.

   Étape 3 : Trouver de quel nombre le nombre de carreaux colorés d'un tel dessin est toujours un multiple.

   Conclure :

   Étape 1 : les \(36\) carreaux se partagent en six familles, numérotées ci-dessous : les trois familles posées sur les diagonales comptent \(4\) carreaux, les trois autres en comptent \(8\).

   Étape 2 : chaque carreau coloré oblige à colorier toute sa famille. Un dessin qui a les quatre axes contient donc chaque famille en entier, ou pas du tout.

   Étape 3 : son nombre de carreaux colorés s'obtient donc en ajoutant des \(4\) et des \(8\) : c'est toujours un multiple de \(4\).

   Conclusion : or \(10\) n'est pas un multiple de \(4\).

   $$ \text{c'est impossible} $$

   Avec \(12\) carreaux, en revanche, c'est possible : les familles \(1\), \(2\) et \(3\), par exemple.

La bande pliée en accordéon

Une bande de papier de \(24 \ \text{cm}\) est partagée en volets de \(4 \ \text{cm}\) par des pointillés, et un carreau représente \(1 \ \text{cm}\). On la plie en accordéon le long des pointillés, puis on perce d'un seul coup toutes les épaisseurs, là où le trou est dessiné dans le premier volet.

1. Placer sur la figure tous les trous de la bande dépliée, à l'aide de la symétrie par rapport à chaque pli, puis donner leurs distances au bord gauche.

   En pliant, deux volets voisins se superposent : le pli qui les sépare est un axe de symétrie. Le premier trou est à \(3\) carreaux du premier pli ; son symétrique est \(3\) carreaux après ce pli, à \(7 \ \text{cm}\) du bord gauche. Ce trou-là est à \(1\) carreau du deuxième pli, et son symétrique à \(1\) carreau après, à \(9 \ \text{cm}\). On continue de pli en pli :

   $$ 1 \ ; \ 7 \ ; \ 9 \ ; \ 15 \ ; \ 17 \quad \text{et} \quad 23 \ \text{cm du bord gauche} $$

2. Expliquer pourquoi chaque trou se trouve toujours \(8 \ \text{cm}\) plus loin que le trou situé deux volets avant lui.

   Étape 1 : Nommer \(T\) un trou, \(T'\) le trou du volet suivant et \(T''\) celui du volet d'après, puis repérer les deux plis qui les séparent.

   Étape 2 : Exprimer la longueur \(TT'\) à l'aide de la distance de \(T'\) au premier de ces plis.

   Étape 3 : Exprimer de même la longueur \(T'T''\) à l'aide de la distance de \(T'\) au second pli.

   Conclure :

   Étape 1 : soit un trou \(T\), le trou \(T'\) du volet suivant, symétrique de \(T\) par rapport au pli qui les sépare, puis le trou \(T''\), symétrique de \(T'\) par rapport au pli d'après. Le trou \(T'\) est entre ces deux plis, distants de \(4 \ \text{cm}\).

   Étape 2 : la symétrie conserve les distances : \(T\) est aussi loin du premier pli que \(T'\), donc \(TT'\) vaut deux fois la distance de \(T'\) à ce pli.

   Étape 3 : de même, \(T'T''\) vaut deux fois la distance de \(T'\) au second pli.

   Conclusion : or ces deux distances font ensemble la largeur du volet :

   $$ TT'' = TT' + T'T'' = 2 \times 4 $$

   $$ TT'' = 8 \ \text{cm} $$

   Vérification sur la bande : \(9 - 1 = 8\) ; \(15 - 7 = 8\) ; \(23 - 15 = 8\).

3. On plie de la même façon une bande de \(1 \ \text{m}\), toujours en volets de \(4 \ \text{cm}\), et l'on perce encore à \(1 \ \text{cm}\) du bord gauche. Déterminer le nombre de trous, puis s'il y a un trou à \(97 \ \text{cm}\) du bord gauche, et s'il y en a un à \(50 \ \text{cm}\).

   Étape 1 : Calculer le nombre de volets de la bande.

   Étape 2 : Écrire les positions des premiers trous, en partant de ceux du premier et du deuxième volet.

   Étape 3 : Trouver le reste de la division par \(8\) de chacune de ces positions.

   Étape 4 : Calculer le reste de la division par \(8\) de \(97\), puis de \(50\).

   Conclure :

   Étape 1 : la bande compte \(100 \div 4 = 25\) volets, et chaque volet reçoit un trou :

   $$ 25 \text{ trous} $$

   Étape 2 : d'après la question précédente, les trous partent de \(1\) et de \(7\), et avancent de \(8\) en \(8\) :

   $$ 1 \ ; \ 9 \ ; \ 17 \ ; \ 25 \ ; \ \ldots \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 7 \ ; \ 15 \ ; \ 23 \ ; \ 31 \ ; \ \ldots $$

   Étape 3 : ce sont les nombres dont le reste dans la division par \(8\) vaut \(1\), et ceux dont le reste vaut \(7\).

   Étape 4 : on effectue les deux divisions par \(8\) :

   $$ 97 = 8 \times 12 + 1 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 50 = 8 \times 6 + 2 $$

   Conclusion : le reste vaut \(1\) pour \(97\), mais \(2\) pour \(50\).

   $$ \text{un trou à } 97 \ \text{cm} \text{, aucun à } 50 \ \text{cm} $$
4. Sur une autre bande pliée en volets de \(4 \ \text{cm}\), on a percé le premier volet sans noter où. Une fois la bande dépliée, un trou se trouve à \(29 \ \text{cm}\) du bord gauche. Retrouver à quelle distance du bord gauche on avait percé.

   Étape 1 : Trouver la position du trou percé dans le deuxième volet.

   Étape 2 : Calculer la distance de ce trou au premier pli.

   Étape 3 : Trouver la position de son symétrique par rapport à ce pli.

   Conclure :

   Étape 1 : en reculant de \(8\) en \(8\), on retrouve des trous à \(21 \ \text{cm}\), à \(13 \ \text{cm}\), puis à \(5 \ \text{cm}\) du bord gauche : ce dernier est dans le deuxième volet, qui va de \(4\) à \(8 \ \text{cm}\).

   Étape 2 : il est à \(1 \ \text{cm}\) après le premier pli.

   Étape 3 : son symétrique par rapport à ce pli est à \(1 \ \text{cm}\) avant lui, dans le premier volet :

   $$ 4 - 1 = 3 $$

   Conclusion : c'est dans le premier volet que l'on avait percé, à :

   $$ 3 \ \text{cm} \text{ du bord gauche} $$

   Vérification : en partant de \(3 \ \text{cm}\), les trous sont à

   $$ 3 \ ; \ 5 \ ; \ 11 \ ; \ 13 \ ; \ 19 \ ; \ 21 \ ; \ 27 \quad \text{et} \quad 29 \ \text{cm} \ \ldots $$