Problèmes sur la symétrie axiale

Les lettres de l'alphabet

On considère les lettres majuscules \(A\), \(B\), \(H\), \(N\) et \(X\), tracées de façon régulière.

1. Pour chacune, indiquer le nombre d'axes de symétrie et préciser lesquels.

   Lettre	Axes	Lesquels
   \(A\)	\(1\)	Vertical
   \(B\)	\(1\)	Horizontal
   \(H\)	\(2\)	Vertical et horizontal
   \(N\)	\(0\)	Aucun
   \(X\)	\(2\)	Vertical et horizontal

2. Le \(N\) se superpose pourtant à lui-même si on le fait tourner d'un demi-tour. Est-ce une symétrie axiale ? Justifier.

   Une symétrie axiale correspond à un pliage le long d'une droite, pas à une rotation. Aucun pliage ne superpose les deux moitiés du \(N\).

   $$ \text{Non, ce n'est pas une symétrie axiale} $$

Le miroir

Un point \(M\) se trouve à \(3 \ cm\) d'un miroir, que l'on représente par une droite \((d)\).

1. À quelle distance du miroir se trouve son image \(M'\) ?

   Le miroir est la médiatrice de \(\bigl[MM'\bigr]\) : il passe par le milieu de ce segment.

   $$ 3 \ cm $$
2. En déduire la longueur \(MM'\).
   $$ MM' = 3 + 3 $$

   $$ MM' = 6 \ cm $$
3. Le segment \(\bigl[MM'\bigr]\) est-il perpendiculaire au miroir ? Justifier.

   Par définition, \((d)\) est la médiatrice de \(\bigl[MM'\bigr]\), donc elle lui est perpendiculaire en son milieu.

   $$ \text{Oui, ils sont perpendiculaires} $$

Le logo de l'association

Un logo est formé d'un triangle de côtés \(4 \ cm\), \(5 \ cm\) et \(6 \ cm\), auquel on ajoute son symétrique par rapport à l'un de ses côtés.

1. Quelles sont les longueurs des côtés du triangle symétrique ?

   La symétrie axiale conserve les longueurs.

   $$ 4 \ cm, \ 5 \ cm \text{ et } 6 \ cm $$
2. Le triangle de départ a une aire de \(9 \ cm^2\). Quelle est l'aire du logo entier ?

   La symétrie conserve aussi les aires, et les deux triangles ne se recouvrent pas.

   $$ A = 9 + 9 $$

   $$ A = 18 \ cm^2 $$
3. Les deux triangles sont-ils superposables ? Y a-t-il malgré tout une différence entre eux ?

   Ils sont superposables, mais seulement après avoir retourné la figure : la symétrie inverse le sens, comme le ferait un miroir.

Le terrain rectangulaire

Un terrain a la forme d'un rectangle \(ABCD\) de \(20 \ m\) sur \(12 \ m\).

1. La médiatrice de \(\bigl[AB\bigr]\) est-elle un axe de symétrie du rectangle ? Justifier.

   En pliant le rectangle le long de cette droite, les deux moitiés se superposent exactement.

   $$ \text{Oui, c'est un axe de symétrie} $$
2. Cet axe partage le terrain en deux parcelles. Donner leurs dimensions, puis leur aire.

   Le côté de \(20 \ m\) est coupé en son milieu :

   $$ 20 \div 2 = 10 $$

   Chaque parcelle est donc un rectangle de \(10 \ m\) sur \(12 \ m\) :

   $$ A = 10 \times 12 $$

   $$ A = 120 \ m^2 \text{ chacune} $$

   Vérification : \(120 + 120 = 240\), et l'aire du terrain vaut bien \(20 \times 12 = 240 \ m^2\).

3. Une diagonale du rectangle est-elle un axe de symétrie ? Justifier.

   Un pliage le long d'une diagonale ne superpose pas les deux triangles obtenus : le côté de \(20 \ m\) viendrait se poser sur celui de \(12 \ m\), qui n'a pas la même longueur.

   $$ \text{Non, sauf si le rectangle est un carré} $$

   C'est une différence avec le losange, dont les diagonales sont des axes de symétrie.