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Les solides en papier

Une vitrine de solides, des assemblages de cubes, une boîte et une pyramide à plier : passer d'un solide à ses représentations planes, et retour.

La vitrine des solides

Une vitrine présente sept solides, numérotés de \(1\) à \(7\). Les arêtes cachées sont tracées en pointillés.

Sept solides numérotés de 1 à 7, arêtes cachées en pointillés : un cube, un prisme droit à base triangulaire couché, une pyramide à base carrée, un cylindre, un prisme droit à base hexagonale couché, un cône et une boule 1 2 3 4 5 6 7
Les sept solides nommés : 1 cube, 2 prisme droit, 3 pyramide, 4 cylindre, 5 prisme droit, 6 cône, 7 boule 1 cube 2 prisme droit 3 pyramide 4 cylindre 5 prisme droit 6 cône 7 boule
  1. Écrire sur la ligne sous chaque solide son nom : cube, prisme droit, pyramide, cylindre, cône ou boule.

    Le solide \(2\) est un prisme droit à base triangulaire, le \(5\) un prisme droit à base hexagonale, et le \(3\) une pyramide à base carrée.

  2. Compléter le tableau pour les solides \(1\), \(2\), \(3\) et \(5\) : la dernière colonne doit donner \(2\), sinon un nombre est à recompter.
    Solide
    Faces
    Arêtes
    Sommets
    Faces + sommets - arêtes
    \(1\)
    \(\phantom{00}\)
    \(\phantom{00}\)
    \(\phantom{00}\)
    \(\phantom{00}\)
    \(2\)
    \(\phantom{00}\)
    \(\phantom{00}\)
    \(\phantom{00}\)
    \(\phantom{00}\)
    \(3\)
    \(\phantom{00}\)
    \(\phantom{00}\)
    \(\phantom{00}\)
    \(\phantom{00}\)
    \(5\)
    \(\phantom{00}\)
    \(\phantom{00}\)
    \(\phantom{00}\)
    \(\phantom{00}\)

    Les arêtes cachées comptent, comme les sommets d'où elles partent :

    Solide
    Faces
    Arêtes
    Sommets
    Faces + sommets - arêtes
    \(1\)
    \(6\)
    \(12\)
    \(8\)
    \(6 + 8 - 12 = 2\)
    \(2\)
    \(5\)
    \(9\)
    \(6\)
    \(5 + 6 - 9 = 2\)
    \(3\)
    \(5\)
    \(8\)
    \(5\)
    \(5 + 5 - 8 = 2\)
    \(5\)
    \(8\)
    \(18\)
    \(12\)
    \(8 + 12 - 18 = 2\)
  3. Cette pyramide a pour base un hexagone, un polygone à six côtés. Terminer son dessin : tracer les arêtes qui montent au sommet \(S\), en pointillés celle qui est cachée.
    La base d'une pyramide, un hexagone vu en perspective, dont deux côtés cachés sont en pointillés, et son sommet S marqué au-dessus S

    Une arête cachée part du coin où se rejoignent les deux côtés cachés de la base.

    La pyramide terminée : six arêtes montent de l'hexagone au sommet S, dont une, cachée, en pointillés S
  4. Donner les nombres de faces, d'arêtes et de sommets de cette pyramide, puis vérifier le calcul de la dernière colonne.

    La base et six faces triangulaires ; six arêtes autour de la base et six qui montent au sommet ; six sommets à la base et le sommet principal :

    $$ 7 \ \text{faces} \ ; \ 12 \ \text{arêtes} \quad \text{et} \quad 7 \ \text{sommets} $$
    $$ 7 + 7 - 12 = 2 $$

Les vues à recoller

Chaque cube repose sur la table ou sur un autre cube. Sur la vue de droite, la rangée de devant apparaît à gauche.

Trois assemblages de cubes A, B et C dessinés en perspective ; à côté de chacun, trois cadres vides pour sa vue de face, sa vue de dessus et sa vue de droite vue de face vue de dessus vue de droite A B C
Les cartes collées : A, de face la carte 2, de dessus la 4, de droite la 6 ; B, la 9, la 7 et la 3 ; C, la 5, la 1 et la 8 ; sur chaque vue de dessus, le nombre de cubes de chaque pile vue de face vue de dessus vue de droite A 2 1 3 1 1 2 4 6 B 9 2 2 1 1 3 7 3 C 5 3 1 2 1 1 8
  1. Découper les neuf cartes de la dernière page et coller chacune dans son cadre : aucune carte ne reste.
    Assemblage
    De face
    De dessus
    De droite
    A
    carte \(2\)
    carte \(4\)
    carte \(6\)
    B
    carte \(9\)
    carte \(7\)
    carte \(3\)
    C
    carte \(5\)
    carte \(1\)
    carte \(8\)

    Les vues de face de A et de B se ressemblent : la plus haute pile est à gauche pour A, à droite pour B.

  2. Écrire sur chaque vue de dessus la hauteur de chaque pile, puis donner le nombre de cubes de chaque assemblage.

    Les cubes du bas des piles de derrière sont cachés, mais ils comptent :

    $$ A : 3 + 1 + 2 + 1 + 1 = 8 $$
    $$ B : 2 + 1 + 3 + 2 + 1 = 9 $$
    $$ C : 2 + 1 + 3 + 1 = 7 $$
  3. Mila regarde l'assemblage A de derrière. Laquelle des neuf cartes montre ce qu'elle voit ? Justifier.

    De derrière, Mila voit la vue de face retournée comme dans un miroir : la pile de \(3\) cubes passe à droite, celle de \(2\) à gauche. C'est la vue de face de B.

    Mila voit la carte \(9\).

La boîte du chocolatier

Un chocolatier range ses chocolats dans une boîte en forme de pavé droit. Son patron est commencé sur la dernière page, en vraie grandeur : le fond et deux côtés sont tracés.

Une boîte en forme de pavé droit de 5 cm de long, 3 cm de large et 2 cm de haut, dessinée en perspective, arêtes cachées en pointillés 5 cm 3 cm 2 cm
  1. Compléter le patron : dessiner sur le quadrillage les trois faces qui manquent, puis écrire dans chacune des six faces ses deux dimensions.

    Les faces vont par deux, face à face dans la boîte : deux de \(5 \ \text{cm}\) sur \(3 \ \text{cm}\), deux de \(5 \ \text{cm}\) sur \(2 \ \text{cm}\), deux de \(3 \ \text{cm}\) sur \(2 \ \text{cm}\). Par exemple :

    Le patron complété, réduit : le fond 5 × 3, le devant 5 × 2 dessous, le côté gauche 2 × 3 ; en vert, le côté droit 2 × 3, le derrière 5 × 2 au-dessus du fond, et le couvercle 5 × 3 au-dessus du derrière 5 × 3 5 × 2 2 × 3 2 × 3 5 × 2 5 × 3

    Le couvercle peut aussi s'accrocher sous le devant.

  2. Découper le patron en suivant son contour, le plier le long des traits et fermer la boîte avec du ruban adhésif. Combien la boîte a-t-elle d'arêtes de \(5 \ \text{cm}\), de \(3 \ \text{cm}\) et de \(2 \ \text{cm}\) ?

    Quatre arêtes de chaque longueur : quatre autour du fond et du couvercle dans le sens de la longueur, quatre dans le sens de la largeur, et les quatre arêtes verticales.

    $$ 4 + 4 + 4 = 12 \ \text{arêtes} $$
  3. Sophie a dessiné un couvercle de \(5 \ \text{cm}\) sur \(2 \ \text{cm}\). Expliquer pourquoi sa boîte ne peut pas se fermer.

    Le couvercle se pose en face du fond : ses quatre bords se collent aux bords du haut des quatre côtés, deux de \(5 \ \text{cm}\) et deux de \(3 \ \text{cm}\). Il doit donc mesurer \(5 \ \text{cm}\) sur \(3 \ \text{cm}\), comme le fond.

    Avec \(2 \ \text{cm}\) de large, il laisse une fente de \(1 \ \text{cm}\) : deux bords qui se recollent doivent avoir la même longueur.

La pyramide penchée

Cette pyramide a pour base un carré \(ABCD\), et ses arêtes qui montent au sommet \(S\) n'ont pas toutes la même longueur.

Une pyramide à base carrée ABCD : [BC] est l'arête de devant, [AB] celle de droite, et le sommet S est juste au-dessus du milieu de [AB], si bien que la face SAB, à droite, est verticale ; l'arête cachée [AD] est en pointillés A B C D S 3 cm 3 cm 5 cm 5 cm 4 cm
  1. Sur la dernière page, le carré et le triangle \(SAB\) sont tracés. Construire au compas les triangles \(SBC\), \(SCD\) et \(SDA\), à l'extérieur du carré, en laissant les traits de construction.

    Pour \(SBC\) : un arc de centre \(B\) et de rayon \(3 \ \text{cm}\), un arc de centre \(C\) et de rayon \(5 \ \text{cm}\) ; le point commun est \(S\). De même pour les deux autres.

    Le patron de la pyramide, réduit : le carré ABCD, le triangle SAB sous [AB], et en vert les triangles SBC à droite, SCD au-dessus et SDA à gauche, avec leurs arcs de construction en bleu A B C D S S S S
  2. Mesurer l'angle en \(B\) du triangle \(SBC\), puis l'angle en \(A\) du triangle \(SDA\). Que remarque-t-on ?
    $$ \widehat{SBC} = 90° \quad \text{et} \quad \widehat{SAD} = 90° $$

    Les deux triangles sont rectangles, et leurs sommets \(S\) sont dans le prolongement du côté \(\bigl[AB\bigr]\).

  3. Découper et plier le patron. Combien de fois \(S\) y est-il dessiné ? Combien la pyramide a-t-elle de faces, d'arêtes et de sommets ?

    Les quatre points \(S\) du patron se rejoignent en un seul sommet quand on plie :

    $$ 4 \ \text{fois} \ ; \ 5 \ \text{faces} \ ; \ 8 \ \text{arêtes} \quad \text{et} \quad 5 \ \text{sommets} $$
  4. Expliquer pourquoi, sur le patron, le triangle \(SBC\) doit avoir un côté de \(3 \ \text{cm}\) qui part de \(B\).

    En pliant, le côté \(\bigl[SB\bigr]\) du triangle \(SBC\) vient se coller contre le côté \(\bigl[SB\bigr]\) du triangle \(SAB\) : les deux forment la même arête de la pyramide.

    Or cette arête mesure \(3 \ \text{cm}\) sur le triangle \(SAB\) déjà tracé : elle mesure donc \(3 \ \text{cm}\) sur le triangle \(SBC\) aussi.

Les cartes de l'exercice \(2\), à découper en suivant les pointillés.

Neuf cartes numérotées de 1 à 9, chacune portant une vue d'assemblage de cubes, entourées de pointillés 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Le patron de la boîte de l'exercice \(3\), en vraie grandeur : le fond et deux côtés sont tracés.

Un quadrillage à carreaux de 1 cm ; le fond de la boîte, un rectangle de 5 cm sur 3 cm, est tracé avec le côté de devant, 5 cm sur 2 cm, accroché dessous, et le côté gauche, 2 cm sur 3 cm, accroché à gauche

Le patron de la pyramide de l'exercice \(4\), en vraie grandeur, à terminer au compas.

Le carré ABCD de 4 cm de côté et, accroché sous le côté [AB], le triangle SAB de côtés SA = SB = 3 cm ; de la place autour du carré pour construire les trois autres triangles A B C D S