Problèmes sur la vision dans l'espace

Dénombrer sur un solide

1. Combien un cube possède-t-il de faces, d'arêtes et de sommets ?
   $$ 6 \text{ faces}, \ 12 \text{ arêtes}, \ 8 \text{ sommets} $$
2. Mêmes questions pour une pyramide à base carrée.

   Sa base est un carré et ses quatre faces latérales sont des triangles :

   $$ 5 \text{ faces}, \ 8 \text{ arêtes}, \ 5 \text{ sommets} $$
3. Pour chacun de ces deux solides, calculer le nombre de faces plus le nombre de sommets, moins le nombre d'arêtes. Que remarque-t-on ?
   $$ 6 + 8 - 12 = 2 \qquad \text{et} \qquad 5 + 5 - 8 = 2 $$

   $$ \text{on trouve } 2 \text{ dans les deux cas} $$

L'escalier de cubes

On construit un escalier avec des cubes de \(1 \ cm^3\) : l'étage du bas compte \(6\) cubes, celui du milieu \(3\) cubes, et le dernier \(1\) cube.

1. Quel est le volume de cet escalier ?
   $$ V = 6 + 3 + 1 $$

   $$ V = 10 \ cm^3 $$
2. On veut compléter cet escalier pour obtenir un pavé formé de trois étages de \(6\) cubes. Combien de cubes faut-il ajouter ?

   Le pavé complet contiendrait :

   $$ 3 \times 6 = 18 \text{ cubes} $$

   Il faut donc ajouter :

   $$ 18 - 10 $$

   $$ 8 \text{ cubes} $$

Une même vue de face

Deux assemblages de cubes ont exactement la même vue de face : trois carrés alignés côte à côte.

1. Peuvent-ils avoir des volumes différents ? Justifier par un exemple.

   Le premier peut être formé de \(3\) cubes alignés, soit \(3 \ cm^3\).

   Le second peut être formé de deux rangées de \(3\) cubes placées l'une derrière l'autre : vu de face, on ne voit toujours que trois carrés, car la rangée arrière est entièrement cachée . Son volume vaut pourtant \(6 \ cm^3\).

   $$ \text{Oui : } 3 \ cm^3 \text{ contre } 6 \ cm^3 $$
2. Que faut-il donc pour décrire un assemblage sans ambiguïté ?

   Une seule vue ne suffit jamais : il en faut plusieurs , par exemple de face, de dessus et de côté.

Le cube peint

Un grand cube est formé de petits cubes de \(1 \ cm^3\), rangés en \(3\) rangées de \(3\) sur \(3\) étages. On peint entièrement l'extérieur du grand cube, puis on le démonte.

1. Combien de petits cubes compte-t-il en tout ?

   Chaque étage compte \(3 \times 3 = 9\) cubes, et il y a trois étages :

   $$ N = 3 \times 9 $$

   $$ N = 27 \text{ cubes} $$
2. Combien de petits cubes ont exactement trois faces peintes ?

   Ce sont ceux placés aux coins du grand cube, là où trois faces se rejoignent.

   $$ 8 \text{ cubes} $$
3. Combien en ont exactement deux ? Et exactement une ?

   Deux faces peintes : ceux situés sur une arête , sans être aux coins. Il y a \(12\) arêtes, et une seule place libre au milieu de chacune.

   $$ 12 \times 1 = 12 \text{ cubes} $$

   Une seule face peinte : ceux situés au centre d'une face . Le grand cube a \(6\) faces.

   $$ 12 \text{ cubes, puis } 6 \text{ cubes} $$
4. Combien n'ont aucune face peinte ? Vérifier le total.

   Il reste le cube entièrement caché au centre du grand cube :

   $$ 1 \text{ cube} $$

   Vérification par la somme :

   $$ 8 + 12 + 6 + 1 = 27 $$

   On retrouve bien le nombre total de petits cubes.