Problèmes sur la vision dans l'espace en sixième

Un assemblage de cubes ne se compte pas sur la seule face visible : il faut se représenter ce que l'on ne voit pas.

Dénombrer les faces, les arêtes et les sommets d'un solide
Compter les cubes d'un assemblage
Reconnaître un solide à partir de ses vues
Reconnaître un patron de cube

Dénombrer sur un solide

En s'aidant du dessin, combien le cube possède-t-il de faces, d'arêtes et de sommets ?

$$ 6 \text{ faces} \ ; \ 12 \text{ arêtes} \quad \text{et} \quad 8 \text{ sommets} $$
Sur le dessin de la pyramide à base carrée, les arêtes cachées ont été oubliées. Les tracer en pointillés, puis compter ses faces, ses arêtes et ses sommets.

Le quatrième coin de la base est caché : trois arêtes en partent. Sa base est un carré et ses quatre faces latérales sont des triangles :

$$ 5 \text{ faces} \ ; \ 8 \text{ arêtes} \quad \text{et} \quad 5 \text{ sommets} $$
Pour chacun de ces deux solides, calculer le nombre de faces plus le nombre de sommets, moins le nombre d'arêtes. Que remarque-t-on ?

$$ 6 + 8 - 12 = 2 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 5 + 5 - 8 = 2 $$

$$ \text{on trouve } 2 \text{ dans les deux cas} $$

L'escalier de cubes

Cet escalier est construit avec des cubes de $1 \ \text{cm}^3$. Aucun cube ne flotte : chacun repose sur la table ou sur un autre cube.

Écrire dans chaque case de la vue de dessus le nombre de cubes empilés sur cette case.

La rangée de derrière est aussi haute que celle de devant : trois cubes y sont entièrement cachés.
Quel est le volume de cet escalier ?

$$ V = (3 + 2 + 1) + (3 + 2 + 1) $$

$$ V = 12 \ \text{cm}^3 $$
Dessiner la vue de face de l'escalier, en représentant un cube par un carré de 2 carreaux de côté.

la vue de face se dessine ici
On veut compléter cet escalier pour obtenir un pavé formé de trois étages de $6$ cubes. Combien de cubes faut-il ajouter ?

Le pavé complet contiendrait :

$$ 3 \times 6 = 18 \text{ cubes} $$

Il faut donc ajouter :

$$ 18 - 12 $$

$$ 6 \text{ cubes} $$

Une même vue de face

Deux assemblages de cubes de $1 \ \text{cm}^3$ ont exactement la même vue de face :

Peuvent-ils avoir des volumes différents ? Justifier par un exemple.

Étape 1 : Dessiner la vue de dessus d'un premier assemblage qui a cette vue de face, en écrivant dans chaque case le nombre de cubes empilés, et donner son volume.

Étape 2 : Dessiner de même un second assemblage qui a la même vue de face mais plus de cubes, et donner son volume.

les deux vues de dessus se dessinent ici

Conclure :

Étape 1 : le premier peut être formé de $3$ cubes alignés, soit $3 \ \text{cm}^3$.

Étape 2 : le second peut être formé de deux rangées de $3$ cubes placées l'une derrière l'autre : vu de face, on ne voit toujours que trois carrés, car la rangée arrière est entièrement cachée. Son volume vaut pourtant $6 \ \text{cm}^3$.

Conclusion : ces deux assemblages ont la même vue de face, mais pas le même volume.

$$ \text{Oui : } 3 \ \text{cm}^3 \text{ contre } 6 \ \text{cm}^3 $$
Que faut-il donc pour décrire un assemblage sans ambiguïté ?

Une seule vue ne suffit jamais : il en faut plusieurs, par exemple de face, de dessus et de côté.

Le cube peint

Un grand cube est formé de petits cubes de $1 \ \text{cm}^3$, rangés en $3$ rangées de $3$ sur $3$ étages. On peint entièrement l'extérieur du grand cube, puis on le démonte.

Combien de petits cubes compte-t-il en tout ?

Chaque étage compte $3 \times 3 = 9$ cubes, et il y a trois étages :

$$ N = 3 \times 9 $$

$$ N = 27 \text{ cubes} $$
Sur le dessin, colorier en rouge les petits cubes qui ont exactement trois faces peintes. Combien en voit-on ? Combien y en a-t-il en tout ?

Ce sont ceux placés aux coins du grand cube, là où trois faces se rejoignent. On en voit $7$ : le coin du bas, à l'arrière gauche, est caché.

$$ 8 \text{ cubes} $$
Colorier en vert ceux qui ont exactement deux faces peintes, et en bleu ceux qui en ont exactement une. Combien y en a-t-il de chaque sorte en tout ?

Sur le dessin, on n'en voit que $9$ verts et $3$ bleus : les autres sont sur les faces cachées.

Deux faces peintes : ceux situés sur une arête, sans être aux coins. Il y a $12$ arêtes, et une seule place libre au milieu de chacune.

$$ 12 \times 1 = 12 \text{ cubes} $$

Une seule face peinte : ceux situés au centre d'une face. Le grand cube a $6$ faces.

$$ 12 \text{ cubes, puis } 6 \text{ cubes} $$
Combien n'ont aucune face peinte ? Vérifier le total.

Il reste le cube entièrement caché au centre du grand cube :

$$ 1 \text{ cube} $$

Vérification par la somme :

$$ 8 + 12 + 6 + 1 = 27 $$

On retrouve bien le nombre total de petits cubes.

Le patron qui ne se referme pas

Chacune de ces trois figures est formée de six carrés identiques. Deux d'entre elles sont des patrons de cube, la troisième ne l'est pas.

Repérer la figure qui n'est pas un patron de cube, puis expliquer ce qui se passe quand on essaie de la plier.

$$ \text{la figure } 2 $$

Quatre carrés alignés, repliés, font tout le tour du cube. Sur la figure $2$, la rangée compte cinq carrés : le cinquième retombe sur le premier. Deux faces se superposent, et il manque une face au cube.
En ne déplaçant qu'un seul carré de cette même figure $2$, dessiner un patron de cube.

le patron se dessine ici

Par exemple, on déplace le carré de droite sous le carré du milieu : on obtient un patron en croix, qui se replie en cube.

La pile de caisses

Pour la kermesse, on empile des caisses cubiques toutes identiques contre deux murs. Le dessin montre une pile de trois étages.

Combien de caisses voit-on sur le dessin ? Compter ensuite, étage par étage, le nombre réel de caisses de la pile.

On voit $9$ caisses : $5$ à l'étage du bas, $3$ au milieu et $1$ en haut. Mais aucune caisse ne flotte : chaque étage repose sur un carré complet de caisses.

$$ N = 3 \times 3 + 2 \times 2 + 1 = 9 + 4 + 1 $$

$$ N = 14 \text{ caisses} $$

$5$ caisses sont donc entièrement cachées.
On glisse sous cette pile un nouvel étage de $4$ caisses sur $4$. Calculer le nombre de caisses de cette pile de quatre étages.

$$ N = 4 \times 4 + 14 = 16 + 14 $$

$$ N = 30 \text{ caisses} $$
Lina dispose de $50$ caisses et construit une pile sur le même modèle, la plus haute possible. Déterminer son nombre d'étages et le nombre de caisses qui lui restent.

Une pile de quatre étages demande $30$ caisses. Un cinquième étage, de $5$ caisses sur $5$, en demanderait :

$$ 30 + 5 \times 5 = 30 + 25 = 55 $$

C'est plus que $50$ : Lina s'arrête à quatre étages.

$$ 50 - 30 = 20 $$

$$ 4 \text{ étages} \quad \text{et} \quad 20 \text{ caisses restantes} $$

Trois vues pour un assemblage

Un assemblage de cubes identiques, posé sur une table, a les trois vues ci-dessous : la vue de face est prise depuis le devant, la vue de côté depuis la droite.

Proposer un assemblage qui a ces trois vues, en écrivant dans chaque case de la vue de dessus le nombre de cubes empilés sur cette case.

Chaque case de la vue de dessus porte au moins un cube. La vue de face donne la plus haute pile de chaque colonne : $3$ à gauche, $1$ au milieu, $2$ à droite. La vue de côté donne la plus haute pile de chaque rangée : $3$ devant, $2$ au milieu, $3$ derrière. Par exemple :

Vérification : colonne par colonne, les plus hautes piles valent $3$, $1$ et $2$ ; rangée par rangée, $3$, $2$ et $3$.
Déterminer le plus grand nombre de cubes que peut compter cet assemblage.

Étape 1 : Trouver, pour chaque case de la vue de dessus, la hauteur que sa pile ne peut pas dépasser.

Étape 2 : Calculer le nombre de cubes quand chaque pile atteint cette hauteur.

Étape 3 : Vérifier que ces piles redonnent bien les trois vues.

Conclure :

Étape 1 : une pile ne peut dépasser ni la hauteur de sa colonne sur la vue de face, ni celle de sa rangée sur la vue de côté. Dans chaque case, on empile donc la plus petite de ces deux hauteurs :

Étape 2 : on additionne les piles, colonne par colonne :

$$ (3 + 2 + 3) + (1 + 1 + 1) + (2 + 2 + 2) $$

Étape 3 : ces piles redonnent bien les trois vues.

Conclusion : aucune pile ne peut être plus haute, et cet assemblage convient :

$$ 17 \text{ cubes} $$
Déterminer le plus petit nombre de cubes possible, et justifier qu'on ne peut pas en utiliser moins.

Étape 1 : Trouver le nombre de cubes qu'impose à lui seul la vue de dessus.

Étape 2 : Trouver combien de cubes en plus imposent les deux piles de hauteur $3$ de la vue de côté.

Étape 3 : Trouver combien de cubes en plus impose la pile de hauteur $2$ de la vue de face.

Conclure :

Étape 1 : la vue de dessus est pleine : il faut au moins un cube sur chacune des $9$ cases.

Étape 2 : la vue de côté montre une pile de $3$ devant et une pile de $3$ derrière. Sur la vue de face, seule la colonne de gauche atteint $3$ : ces deux piles sont toutes les deux dans la colonne de gauche, et chacune demande $2$ cubes de plus que son cube du bas.

Étape 3 : la vue de face montre aussi une pile de $2$ à droite, forcément sur une autre case : $1$ cube de plus. Posée dans la rangée du milieu, elle y donne en même temps la hauteur $2$ de la vue de côté.

Conclusion : il faut donc au moins :

$$ 9 + 2 + 2 + 1 $$

$$ 14 \text{ cubes} $$

Vérification : ces $14$ cubes redonnent bien les trois vues.

La tour de dés

Sur un dé, deux faces opposées totalisent toujours $7$ points.

Sur ce patron de dé, trois faces sont numérotées. Compléter les trois autres, puis vérifier en reproduisant le patron sur une feuille et en le pliant.

On pose la face $2$ au fond. Le carré au-dessus d'elle se relève derrière, et celui de sa droite se relève à droite ; le $1$ se rabat à gauche, le $4$ devant, et le dernier carré ferme le dessus.

$$ 6 \text{ en face du } 1 \ ; \ 3 \text{ en face du } 4 \quad \text{et} \quad 5 \text{ en face du } 2 $$
On change d'objet : trois dés sont empilés sur une table. En tournant autour de la tour, on voit toutes les faces, sauf celles qui touchent la table ou un autre dé. Calculer le nombre total de points cachés.

Pour chaque dé, la face du dessous est cachée, et la face du dessus aussi, sauf pour le dé du haut, qui montre $5$. Le dessus et le dessous d'un dé sont opposés : ils totalisent $7$.

$$ 7 + 7 + 7 - 5 = 21 - 5 $$

$$ 16 \text{ points cachés} $$

Les nombres visibles sur les côtés ne servent à rien.
Une autre tour de dés, dont le dé du haut montre $2$, cache $47$ points. Retrouver le nombre de dés.

Chaque dé compte $7$ points sur ses faces du dessus et du dessous, et seuls les $2$ points du haut restent visibles :

$$ 47 + 2 = 49 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 49 \div 7 = 7 $$

$$ 7 \text{ dés} $$

Vérification : $7 \times 7 - 2 = 49 - 2 = 47$.
Yanis affirme que sa tour de dés cache exactement $70$ points. Trancher.

Étape 1 : Exprimer le nombre de points cachés à l'aide du nombre de dés et du nombre montré en haut.

Étape 2 : Encadrer la somme de $70$ et du nombre montré en haut.

Étape 3 : Chercher un multiple de $7$ dans cet encadrement.

Conclure :

Étape 1 : les points cachés valent $7$ fois le nombre de dés, moins le nombre montré en haut, qui va de $1$ à $6$.

Étape 2 : en ajoutant ce nombre à $70$, on devrait tomber sur un multiple de $7$, entre $71$ et $76$.

Étape 3 : or $70 = 7 \times 10$ et le multiple suivant est $77 = 7 \times 11$ : il n'y en a aucun entre les deux.

Conclusion : aucun nombre de dés ne donne $70$ points cachés.

$$ \text{c'est impossible} $$

Avec $10$ dés, le dé du haut devrait montrer $0$ ; avec $11$ dés, il devrait montrer $7$. Plus généralement, une tour de dés ne cache jamais un multiple de $7$.