Problèmes sur les aires

La chambre à recouvrir

Une chambre rectangulaire mesure \(4.5 \ m\) sur \(3 \ m\).

1. Calculer l'aire du sol de cette chambre.
   $$ A = 4.5 \times 3 $$

   $$ A = 13.5 \ m^2 $$
2. La moquette coûte \(18 \text{ €}\) le mètre carré. Quel est le prix à payer ?
   $$ P = 13.5 \times 18 $$

   $$ P = 243 \text{ €} $$

Clôturer ou engazonner

Un terrain rectangulaire mesure \(25 \ m\) sur \(16 \ m\).

1. Le propriétaire veut le clôturer. Calcule-t-on un périmètre ou une aire ? Effectuer le calcul.

   Une clôture entoure le terrain : c'est un périmètre , en mètres.

   $$ P = 2 \times 25 + 2 \times 16 = 50 + 32 $$

   $$ P = 82 \ m $$
2. Il veut aussi l'engazonner. Calcule-t-on un périmètre ou une aire ? Effectuer le calcul.

   Le gazon recouvre la surface : c'est une aire , en mètres carrés.

   $$ A = 25 \times 16 $$

   $$ A = 400 \ m^2 $$
3. Le gazon est vendu en rouleaux couvrant \(8 \ m^2\). Combien de rouleaux faut-il ?
   $$ 400 \div 8 $$

   $$ 50 \text{ rouleaux} $$

Même périmètre, aires différentes

On considère trois figures :

• un rectangle \(A\) de \(10 \ cm\) sur \(2 \ cm\) ;

• un rectangle \(B\) de \(8 \ cm\) sur \(4 \ cm\) ;

• un carré \(C\) de \(6 \ cm\) de côté.

1. Calculer le périmètre de chacune. Que remarque-t-on ?
   $$ P_A = 2 \times 10 + 2 \times 2 = 24 \ cm $$

   $$ P_B = 2 \times 8 + 2 \times 4 = 24 \ cm $$

   $$ P_C = 4 \times 6 = 24 \ cm $$

   $$ \text{Les trois ont le même périmètre} $$
2. Calculer l'aire de chacune. Que conclure ?
   $$ A_A = 10 \times 2 = 20 \ cm^2 $$

   $$ A_B = 8 \times 4 = 32 \ cm^2 $$

   $$ A_C = 6 \times 6 = 36 \ cm^2 $$

   Deux figures de même périmètre peuvent donc avoir des aires très différentes : le périmètre et l'aire sont bien deux grandeurs indépendantes.

   $$ A_A < A_B < A_C $$

Le carrelage

On carrelle une pièce rectangulaire de \(3 \ m\) sur \(2 \ m\) avec des carreaux carrés de \(25 \ cm\) de côté.

1. Combien de carreaux tiennent sur la longueur ? Et sur la largeur ?

   On convertit d'abord les dimensions en centimètres :

   $$ 3 \ m = 300 \ cm \qquad \text{et} \qquad 2 \ m = 200 \ cm $$

   $$ 300 \div 25 = 12 \qquad \text{et} \qquad 200 \div 25 = 8 $$

   $$ 12 \text{ carreaux sur } 8 $$
2. Combien de carreaux faut-il en tout ?
   $$ N = 12 \times 8 $$

   $$ N = 96 \text{ carreaux} $$
3. Vérifier ce résultat en comparant l'aire de la pièce à celle d'un carreau.

   L'aire d'un carreau vaut :

   $$ 25 \times 25 = 625 \ cm^2 $$

   L'aire de la pièce vaut :

   $$ 300 \times 200 = 60 \ 000 \ cm^2 $$

   $$ 60 \ 000 \div 625 = 96 $$

   Les deux méthodes donnent bien le même nombre.

La plaque percée

Une plaque de tôle rectangulaire mesure \(60 \ cm\) sur \(40 \ cm\). On y découpe deux carrés de \(10 \ cm\) de côté.

1. Calculer l'aire de la plaque avant découpe.
   $$ A = 60 \times 40 $$

   $$ A = 2 \ 400 \ cm^2 $$
2. Calculer l'aire totale des deux carrés découpés.
   $$ A = 2 \times (10 \times 10) = 2 \times 100 $$

   $$ A = 200 \ cm^2 $$
3. En déduire l'aire de la plaque percée, en \(cm^2\) puis en \(dm^2\).

   Les parties retirées se soustraient :

   $$ A = 2 \ 400 - 200 = 2 \ 200 \ cm^2 $$

   Comme \(1 \ dm^2 = 100 \ cm^2\), la virgule se déplace de deux rangs :

   $$ A = 22 \ dm^2 $$