Problèmes sur les aires

La chambre à recouvrir

Voici le plan d'une chambre rectangulaire : chaque carreau représente un carré de \(50 \ \text{cm}\) de côté.

1. Écrire sur le plan la longueur et la largeur de la chambre, en mètres.

   La chambre compte \(9\) carreaux sur \(6\), et deux carreaux font \(1 \ \text{m}\) :

   $$ 9 \times 0.5 = 4.5 \ \text{m} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 6 \times 0.5 = 3 \ \text{m} $$

2. Calculer l'aire du sol de cette chambre.
   $$ A = 4.5 \times 3 $$

   $$ A = 13.5 \ \text{m}^2 $$

   Vérification : \(4\) carreaux font \(1 \ \text{m}^2\), et la chambre en compte \(9 \times 6 = 54\), soit \(54 \div 4 = 13.5 \ \text{m}^2\).

3. La moquette coûte \(18 \ \text{€}\) le mètre carré. Calculer le prix à payer.
   $$ P = 13.5 \times 18 $$

   $$ P = 243 \ \text{€} $$

Clôturer ou engazonner

Un terrain rectangulaire mesure \(25 \ \text{m}\) sur \(16 \ \text{m}\).

1. Le propriétaire veut le clôturer. Repasser la clôture en couleur sur le plan. Calcule-t-on un périmètre ou une aire ? Effectuer le calcul.

   Une clôture entoure le terrain : c'est un périmètre, en mètres.

   $$ P = 2 \times 25 + 2 \times 16 = 50 + 32 $$

   $$ P = 82 \ \text{m} $$
2. Il veut aussi l'engazonner. Colorier sur le plan la partie engazonnée. Calcule-t-on un périmètre ou une aire ? Effectuer le calcul.

   Le gazon recouvre la surface : c'est une aire, en mètres carrés.

   $$ A = 25 \times 16 $$

   $$ A = 400 \ \text{m}^2 $$
3. Le gazon est vendu en rouleaux couvrant \(8 \ \text{m}^2\). Combien de rouleaux faut-il ?
   $$ 400 \div 8 $$

   $$ 50 \text{ rouleaux} $$

Même périmètre, aires différentes

On considère trois figures, tracées sur un quadrillage dont les carreaux mesurent \(1 \ \text{cm}\) de côté :

• un rectangle \(A\) de \(10 \ \text{cm}\) sur \(2 \ \text{cm}\) ;

• un rectangle \(B\) de \(8 \ \text{cm}\) sur \(4 \ \text{cm}\) ;

• un carré \(C\) de \(6 \ \text{cm}\) de côté.

1. Calculer le périmètre de chacune. Que remarque-t-on ?
   $$ P_A = 2 \times 10 + 2 \times 2 = 24 \ \text{cm} $$

   $$ P_B = 2 \times 8 + 2 \times 4 = 24 \ \text{cm} $$

   $$ P_C = 4 \times 6 = 24 \ \text{cm} $$

   $$ \text{Les trois ont le même périmètre} $$
2. Calculer l'aire de chacune. Que conclure ?
   $$ A_A = 10 \times 2 = 20 \ \text{cm}^2 $$

   $$ A_B = 8 \times 4 = 32 \ \text{cm}^2 $$

   $$ A_C = 6 \times 6 = 36 \ \text{cm}^2 $$

   Deux figures de même périmètre peuvent donc avoir des aires très différentes : le périmètre et l'aire sont bien deux grandeurs indépendantes.

   $$ A_A < A_B < A_C $$
3. Tracer en vraie grandeur un rectangle qui a lui aussi un périmètre de \(24 \ \text{cm}\), mais une aire plus petite que celle de \(A\). Donner son aire.

   La longueur et la largeur mises bout à bout font la moitié du périmètre, soit \(12 \ \text{cm}\). Pour une aire plus petite, on allonge encore le rectangle \(A\) :

   $$ P = 2 \times 11 + 2 \times 1 = 24 \ \text{cm} $$

   $$ A = 11 \times 1 = 11 \ \text{cm}^2 $$

   Un rectangle de \(10.5 \ \text{cm}\) sur \(1.5 \ \text{cm}\) convient aussi : son aire vaut \(15.75 \ \text{cm}^2\).

Le carrelage

On carrelle une pièce rectangulaire de \(3 \ \text{m}\) sur \(2 \ \text{m}\) avec des carreaux carrés de \(25 \ \text{cm}\) de côté. Le plan montre le premier carreau, posé dans un coin : il couvre quatre cases du quadrillage.

1. Sur le plan, dessiner la rangée de carreaux le long de la longueur et celle le long de la largeur. Combien de carreaux tiennent sur la longueur ? Et sur la largeur ?

   On convertit d'abord les dimensions en centimètres :

   $$ 3 \ \text{m} = 300 \ \text{cm} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 2 \ \text{m} = 200 \ \text{cm} $$

   $$ 300 \div 25 = 12 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 200 \div 25 = 8 $$

   $$ 12 \text{ carreaux sur } 8 $$

2. Combien de carreaux faut-il en tout ?
   $$ N = 12 \times 8 $$

   $$ N = 96 \text{ carreaux} $$
3. Vérifier ce résultat en comparant l'aire de la pièce à celle d'un carreau.

   L'aire d'un carreau vaut :

   $$ 25 \times 25 = 625 \ \text{cm}^2 $$

   L'aire de la pièce vaut :

   $$ 300 \times 200 = 60 \ 000 \ \text{cm}^2 $$

   $$ 60 \ 000 \div 625 = 96 $$

   Les deux méthodes donnent bien le même nombre.

La plaque percée

Une plaque de tôle rectangulaire mesure \(60 \ \text{cm}\) sur \(40 \ \text{cm}\). On y découpe deux carrés de \(10 \ \text{cm}\) de côté.

1. Calculer l'aire de la plaque avant découpe.
   $$ A = 60 \times 40 $$

   $$ A = 2 \ 400 \ \text{cm}^2 $$
2. Calculer l'aire totale des deux carrés découpés.
   $$ A = 2 \times (10 \times 10) = 2 \times 100 $$

   $$ A = 200 \ \text{cm}^2 $$
3. Colorier sur la figure la plaque percée, puis en déduire son aire, en \(\text{cm}^2\) puis en \(\text{dm}^2\).

   Les parties retirées se soustraient :

   $$ A = 2 \ 400 - 200 = 2 \ 200 \ \text{cm}^2 $$

   Comme \(1 \ \text{dm}^2 = 100 \ \text{cm}^2\), la virgule se déplace de deux rangs :

   $$ A = 22 \ \text{dm}^2 $$

Trois erreurs à corriger

1. Hugo affirme : « Un carré de \(3 \ \text{cm}\) de côté a une aire de \(12 \ \text{cm}^2\). » Repérer son erreur, puis corriger.

   Hugo a calculé \(4 \times 3 = 12\) : c'est le périmètre du carré, en centimètres. L'aire se calcule en multipliant le côté par lui-même :

   $$ A = 3 \times 3 $$

   $$ A = 9 \ \text{cm}^2 $$
2. Emma a écrit : \(4 \ \text{m}^2 = 40 \ \text{dm}^2\). Repérer son erreur, puis corriger.

   Emma a converti comme une longueur. Or \(1 \ \text{m}^2 = 100 \ \text{dm}^2\) : on multiplie par \(100\), et non par \(10\).

   $$ 4 \ \text{m}^2 = 400 \ \text{dm}^2 $$
3. Léa affirme : « Si l'on double le côté d'un carré, son aire double aussi. » Sur le quadrillage ci-dessous, formé de carreaux de \(1 \ \text{cm}\) de côté, le carré \(2\) a un côté double de celui du carré \(1\). Trancher.
   $$ A_1 = 2 \times 2 = 4 \ \text{cm}^2 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} A_2 = 4 \times 4 = 16 \ \text{cm}^2 $$

   Comme \(16 = 4 \times 4\), le grand carré contient quatre fois le petit : il suffit de compter les carreaux pour le voir.

   $$ \text{Léa se trompe : l'aire est multipliée par } 4 $$

Le parquet de l'appartement

On veut poser du parquet sur le sol d'un appartement en forme de L, dont voici le plan.

1. Calculer l'aire du sol, en découpant la figure en deux rectangles.

   On découpe le L par un trait horizontal : un rectangle de \(8 \ \text{m}\) sur \(3.5 \ \text{m}\) en bas, et un rectangle de \(5 \ \text{m}\) sur \(2.5 \ \text{m}\) en haut.

   $$ A = 8 \times 3.5 + 5 \times 2.5 = 28 + 12.5 $$

   $$ A = 40.5 \ \text{m}^2 $$
2. Sami trouve le même résultat avec une soustraction, sans découper le L. Écrire son calcul.

   Il complète le L en un grand rectangle de \(8 \ \text{m}\) sur \(6 \ \text{m}\), puis retire le coin manquant, de \(3 \ \text{m}\) sur \(2.5 \ \text{m}\) :

   $$ A = 8 \times 6 - 3 \times 2.5 = 48 - 7.5 $$

   $$ A = 40.5 \ \text{m}^2 $$
3. Le parquet est vendu par paquets qui couvrent chacun \(2 \ \text{m}^2\), à \(35 \ \text{€}\) le paquet, et le budget est de \(700 \ \text{€}\). Ce budget suffit-il ? Justifier.
   $$ 40.5 \div 2 = 20.25 $$

   \(20\) paquets ne couvrent que \(40 \ \text{m}^2\) : il en faut un de plus, car un paquet ne s'achète pas en partie.

   $$ 21 \times 35 = 735 \ \text{€} $$

   $$ \text{Non : il faut } 735 \ \text{€, soit } 35 \ \text{€ de plus} $$

L'allée autour du bassin

Un bassin rectangulaire de \(6 \ \text{m}\) sur \(4 \ \text{m}\) est entouré d'une allée de \(1 \ \text{m}\) de large.

1. Calculer l'aire de l'allée, puis la comparer à celle du bassin.

   Le bassin et son allée forment un grand rectangle, qui dépasse de \(1 \ \text{m}\) de chaque côté :

   $$ 6 + 2 = 8 \ \text{m} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 4 + 2 = 6 \ \text{m} $$

   On retire le bassin à ce grand rectangle :

   $$ A = 8 \times 6 - 6 \times 4 = 48 - 24 $$

   $$ A = 24 \ \text{m}^2 $$

   L'allée a exactement la même aire que le bassin.

2. Tom affirme : « Autour de n'importe quel bassin rectangulaire de \(24 \ \text{m}^2\), une allée de \(1 \ \text{m}\) a aussi une aire de \(24 \ \text{m}^2\). » Trancher.

   Un seul bassin qui ne vérifie pas l'affirmation suffit à la contredire. On en essaie un autre de \(24 \ \text{m}^2\), de \(12 \ \text{m}\) sur \(2 \ \text{m}\) : avec son allée, il forme un rectangle de \(14 \ \text{m}\) sur \(4 \ \text{m}\).

   $$ A = 14 \times 4 - 12 \times 2 = 56 - 24 = 32 \ \text{m}^2 $$

   $$ \text{Tom se trompe : ici l'allée mesure } 32 \ \text{m}^2 $$
3. Pour une allée de \(1 \ \text{m}\) de large, Inès propose une règle : « Le nombre de mètres carrés de l'allée, c'est le périmètre du bassin en mètres, plus \(4\). » Vérifier sa règle sur les deux bassins précédents, puis expliquer pourquoi elle marche toujours, en découpant l'allée en huit morceaux.

   Vérification sur les deux bassins :

   $$ 2 \times 6 + 2 \times 4 + 4 = 24 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 2 \times 12 + 2 \times 2 + 4 = 32 $$

   On découpe l'allée d'un bassin de longueur \(L\) et de largeur \(l\) en quatre bandes le long de ses côtés et quatre carrés dans les coins :

   • deux bandes de \(L\) sur \(1 \ \text{m}\), qui font ensemble \(2 \times L\) mètres carrés ;

   • deux bandes de \(l\) sur \(1 \ \text{m}\), qui font ensemble \(2 \times l\) mètres carrés ;

   • quatre carrés de \(1 \ \text{m}\) de côté, qui font \(4 \ \text{m}^2\).

   Or \(2 \times L + 2 \times l\) est justement le périmètre du bassin : chaque bande, large de \(1 \ \text{m}\), compte autant de mètres carrés que le côté qu'elle longe compte de mètres.

   $$ \text{aire de l'allée} = \text{périmètre du bassin} + 4 $$
4. On change de bassin : il est rectangulaire, ses côtés mesurent un nombre entier de mètres, et son allée de \(1 \ \text{m}\) a une aire de \(30 \ \text{m}^2\). Trouver toutes les dimensions possibles de ce bassin, puis celui dont l'aire est égale à celle de son allée.

   D'après la règle d'Inès, le périmètre du bassin vaut \(30 - 4 = 26 \ \text{m}\). Une longueur et une largeur mises bout à bout en font la moitié :

   $$ L + l = 26 \div 2 = 13 $$

   On essaie toutes les largeurs entières, la largeur ne dépassant pas la longueur : au-delà de \(6\), on retrouverait les mêmes bassins, tournés. Chaque largeur impose sa longueur, il n'y a donc pas d'autre bassin.

   Largeur \((\text{m})\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
   Longueur \((\text{m})\)	\(12\)	\(11\)	\(10\)	\(9\)	\(8\)	\(7\)
   Aire du bassin \((\text{m}^2)\)	\(12\)	\(22\)	\(30\)	\(36\)	\(40\)	\(42\)

   Parmi ces six bassins, un seul a une aire de \(30 \ \text{m}^2\), comme son allée :

   $$ 10 \ \text{m} \text{ sur } 3 \ \text{m} $$

   Vérification : avec l'allée, il forme un rectangle de \(12 \ \text{m}\) sur \(5 \ \text{m}\), et \(12 \times 5 - 10 \times 3 = 60 - 30 = 30\).

Les planchettes du menuisier

Un menuisier découpe des planchettes de \(30 \ \text{cm}\) sur \(20 \ \text{cm}\) dans une plaque carrée de \(70 \ \text{cm}\) de côté. Il coupe le long des lignes du quadrillage, dont les carreaux ont \(10 \ \text{cm}\) de côté.

1. Il range toutes les planchettes dans le même sens, en rangées, à partir d'un coin de la plaque. Dessiner ce rangement sur la plaque, puis calculer l'aire de la chute, en \(\text{dm}^2\).

   Une planchette occupe \(3\) carreaux dans un sens et \(2\) dans l'autre. Sur les \(7\) carreaux de la plaque, il en tient \(2\) dans le premier sens et \(3\) dans le second, avec chaque fois un carreau de reste :

   $$ 2 \times 3 = 6 \text{ planchettes} $$

   Un carreau de \(10 \ \text{cm}\) de côté mesure \(1 \ \text{dm}^2\). La plaque en compte \(7 \times 7 = 49\), et une planchette \(3 \times 2 = 6\) :

   $$ 49 - 6 \times 6 = 49 - 36 $$

   $$ 13 \ \text{dm}^2 \text{ de chute} $$
2. Prouver qu'aucun rangement ne permet de découper plus de \(8\) planchettes dans cette plaque.

   Neuf planchettes couvriraient une aire de :

   $$ 9 \times 6 = 54 \ \text{dm}^2 $$

   C'est plus que les \(49 \ \text{dm}^2\) de la plaque entière : quelle que soit la façon de les ranger, elles ne peuvent pas y tenir.

   $$ \text{au plus } 8 \text{ planchettes} $$

   L'aire n'interdit pas \(8\) planchettes, qui couvrent \(48 \ \text{dm}^2\) : il ne resterait qu'un carreau de chute.

3. Dessiner sur la plaque ci-dessous un découpage de \(8\) planchettes dans cette même plaque. On pourra laisser en chute le carreau du centre.

   On partage la plaque en quatre rectangles de \(4\) carreaux sur \(3\), qui tournent autour du carreau central. Chacun contient deux planchettes :

   $$ 4 \times 12 + 1 = 49 $$

   $$ 8 \text{ planchettes} \quad \text{et} \quad 1 \ \text{dm}^2 \text{ de chute} $$
4. Une commande compte \(50\) planchettes, découpées dans des plaques identiques à celle-ci. Déterminer le nombre minimum de plaques, puis l'aire totale des chutes, en \(\text{m}^2\).

   D'après la question \(2\), une plaque donne au plus \(8\) planchettes, donc six plaques ne suffisent pas :

   $$ 6 \times 8 = 48 < 50 $$

   Sept plaques suffisent : six découpées comme à la question \(3\), et deux planchettes prises dans la septième. On retire l'aire des planchettes à celle des sept plaques :

   $$ 7 \times 49 - 50 \times 6 = 343 - 300 = 43 \ \text{dm}^2 $$

   Comme \(1 \ \text{m}^2 = 100 \ \text{dm}^2\), la virgule se déplace de deux rangs :

   $$ 7 \text{ plaques} \quad \text{et} \quad 0.43 \ \text{m}^2 \text{ de chutes} $$