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Les longueurs et les périmètres

Mesurer une longueur, changer d'unité, puis faire le tour d'une figure, même arrondie.

Clôturer un potager de \(8 \ \text{m}\) sur \(5 \ \text{m}\) demande de faire le tour :

$$ (8 + 5) \times 2 = 26 \ \text{m de grillage} $$

Le gazon, lui, couvre l'intérieur.

Le périmètre fait le tour, l'aire remplit l'intérieur.

La longueur

L'unité de référence des longueurs est le mètre, noté \(\text{m}\).

Trois segments et leur mesure a) 5 cm, soit 50 mm b) 6.5 cm, soit 65 mm c) 3.4 cm, soit 34 mm Trois segments et leur mesure - support à compléter a) b) c)

Les unités de longueur

Les autres unités ajoutent un préfixe au mot « mètre ». Chaque unité vaut dix fois celle placée à sa droite.

km
hm
dam
m
dm
cm
mm
kilo
hecto
déca
-
déci
centi
milli

Les égalités les plus utiles :

$$ 1 \ \text{km} = 1 \ 000 \ \text{m} \hspace{2em} 1 \ \text{m} = 100 \ \text{cm} \hspace{2em} 1 \ \text{cm} = 10 \ \text{mm} $$

Convertir une longueur

On place le chiffre des unités dans la colonne de son unité, puis on déplace la virgule jusqu'à la colonne voulue.

Exemple : convertir \(3.5 \ \text{m}\) en centimètres.

Du mètre au centimètre, la virgule avance de deux colonnes vers la droite :

$$ 3.5 \ \text{m} = 350 \ \text{cm} $$

Pour vérifier : le centimètre est plus petit que le mètre, il en faut davantage pour mesurer la même longueur.

Le périmètre

Le périmètre

Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour.

Une figure en L dont le contour est repasse 7 + 3 + 3 + 2 + 4 + 5 = 24 carreaux Une figure en L dont le contour est repasse - support à compléter

  1. Le carré

    Ses quatre côtés ont la même longueur \(c\) :

    $$ P = 4 \times c $$

  2. Le rectangle

    Il a deux longueurs \(L\) et deux largeurs \(l\) :

    $$ P = 2 \times L + 2 \times l $$

Exemple : un rectangle de \(7 \ \text{cm}\) sur \(3 \ \text{cm}\) a pour périmètre :

$$ P = 2 \times 7 + 2 \times 3 = 14 + 6 $$
$$ P = 20 \ \text{cm} $$
Un carre et un rectangle avec le codage de leurs cotes un carré un rectangle P = 4 × c P = 2 × L + 2 × l Un carre et un rectangle avec le codage de leurs cotes - support à compléter un carré un rectangle

Le périmètre d'un disque

Le périmètre d'un disque divisé par son diamètre donne toujours le même quotient : le périmètre est proportionnel au diamètre.

Ce coefficient se note \(\pi\) (« pi ») :

$$ \pi \approx 3.14 $$

D'où le périmètre, avec le diamètre \(D\) ou le rayon \(R\) :

$$ P = \pi \times D $$
$$ P = 2 \times \pi \times R $$

Le diamètre vaut le double du rayon.

Exemple : un disque de rayon \(5 \ \text{cm}\) a pour périmètre :

$$ P = 2 \times 3.14 \times 5 = 31.4 $$
$$ P \approx 31.4 \ \text{cm} $$
Un disque, son rayon et son diametre O R D = 2 × R
\(P \div D = \pi \approx 3.14\)
 Un disque, son rayon et son diametre - support à compléter O

Le périmètre d'une figure composée

On additionne les longueurs des segments et arcs de son contour.

Les traits intérieurs ne comptent pas.

Exemple : pour un demi-disque de rayon \(4 \ \text{cm}\), le contour est formé du demi-cercle et du diamètre :

$$ P = \frac{2 \times 3.14 \times 4}{2} + 8 = 12.56 + 8 $$
$$ P \approx 20.56 \ \text{cm} $$