Moon Arrows Sun
Arrows
Return Retour
Accueil Home
Imprimer

Problèmes sur les longueurs et les périmètres

Le tour d'un jardin, la roue d'un vélo : le périmètre se calcule, mais il faut d'abord savoir de quel contour on parle.

Le tour du jardin

Un jardin rectangulaire mesure \(12 \ \text{m}\) de long et \(8 \ \text{m}\) de large. On veut l'entourer d'un grillage.

Plan d'un jardin rectangulaire dont le contour est gradué de mètre en mètre, avec un coin A
\(A\)
\(12 \ \text{m}\)
\(8 \ \text{m}\)
  1. Écrire sur le plan la longueur des deux côtés qui ne sont pas marqués. Quelle longueur de grillage faut-il ?
    Plan d'un jardin rectangulaire dont le contour est gradué de mètre en mètre, avec un coin A ; les quatre côtés portent leur longueur
    \(A\)
    \(12 \ \text{m}\)
    \(8 \ \text{m}\)
    \(12 \ \text{m}\)
    \(8 \ \text{m}\)

    On calcule le périmètre du rectangle :

    $$ P = 2 \times 12 + 2 \times 8 = 24 + 16 $$
    $$ P = 40 \ \text{m} $$
  2. Le grillage est vendu en rouleaux de \(5 \ \text{m}\), et chaque petit trait du plan marque un mètre. En partant de \(A\) dans le sens de la flèche, marquer d'une croix la fin de chaque rouleau. Combien de rouleaux faut-il acheter ?
    Plan d'un jardin rectangulaire dont le contour est gradué de mètre en mètre, avec un coin A ; une croix marque la fin de chaque rouleau de 5 m
    \(A\)
    \(12 \ \text{m}\)
    \(8 \ \text{m}\)

    La huitième croix retombe exactement sur \(A\) :

    $$ 40 \div 5 = 8 $$
    $$ 8 \text{ rouleaux} $$
  3. Un rouleau coûte \(12{,}50 \ \text{€}\). Calculer le prix total.
    $$ 8 \times 12{,}50 $$
    $$ 100 \ \text{€} $$

La piste cyclable

Une piste cyclable en boucle mesure \(2{,}4 \ \text{km}\). Sur le plan, les traits la partagent en \(12\) morceaux de même longueur.

Une piste cyclable en boucle, partagée par des traits en 12 morceaux de même longueur, avec son départ et le sens de parcours départ
  1. Exprimer cette longueur en mètres.

    Le kilomètre vaut \(1 \ 000\) mètres, la virgule se déplace de trois rangs vers la droite :

    $$ 2{,}4 \ \text{km} = 2 \ 400 \ \text{m} $$
  2. Quelle distance parcourt un cycliste qui fait trois tours ?
    $$ 3 \times 2{,}4 $$
    $$ 7{,}2 \ \text{km} $$
  3. Il souhaite parcourir \(30 \ \text{km}\). Combien de tours entiers pourra-t-il faire, et quelle distance lui restera-t-il ? Marquer d'une croix, sur le plan, l'endroit où il s'arrêtera.

    On cherche combien de fois \(2{,}4\) tient dans \(30\). On essaie :

    $$ 12 \times 2{,}4 = 28{,}8 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 13 \times 2{,}4 = 31{,}2 $$

    Treize tours dépasseraient les \(30 \ \text{km}\) :

    $$ 12 \text{ tours entiers} $$

    Il lui restera alors :

    $$ 30 - 28{,}8 = 1{,}2 \ \text{km} $$

    Un morceau mesure \(2 \ 400 \div 12 = 200 \ \text{m}\) : les \(1 \ 200 \ \text{m}\) restants font \(6\) morceaux, soit un demi-tour.

    Une piste cyclable en boucle, partagée par des traits en 12 morceaux de même longueur, avec son départ et le sens de parcours ; une croix marque l'arrivée, au sixième trait départ

La roue de vélo

Une roue de vélo a un diamètre de \(50 \ \text{cm}\). Une tache de peinture marque le point de la roue qui touche le sol. On prendra \(\pi \approx 3{,}14\).

Une roue de 50 cm de diamètre posée sur un sol gradué tous les 10 cm, une tache sur la roue au point de contact
\(0\)
\(50\)
\(100\)
\(150\)
 cm
\(50 \ \text{cm}\)
  1. Calculer le périmètre de cette roue.
    $$ P = \pi \times D \approx 3{,}14 \times 50 $$
    $$ P \approx 157 \ \text{cm} $$
  2. La roue fait un tour complet sans glisser. Placer sur le sol gradué le point \(M\) où la tache touche de nouveau le sol.

    En un tour, la roue déroule son périmètre sur le sol : \(M\) est à environ \(157 \ \text{cm}\) du départ, entre les graduations \(150\) et \(160\).

    Une roue de 50 cm de diamètre posée sur un sol gradué tous les 10 cm, une tache sur la roue au point de contact ; après un tour, la tache touche le sol au point M, à environ 157 cm
    \(0\)
    \(50\)
    \(100\)
    \(150\)
     cm
    \(50 \ \text{cm}\)
    \(M\)
  3. Exprimer ce périmètre en mètres.
    $$ 157 \ \text{cm} = 1{,}57 \ \text{m} $$
  4. À chaque tour de roue, le vélo avance de ce périmètre. Quelle distance parcourt-il en \(100\) tours ?
    $$ D = 100 \times 1{,}57 $$
    $$ D = 157 \ \text{m} $$

Le cadre photo

On encadre une photo carrée de \(24 \ \text{cm}\) de côté avec une baguette de bois vendue \(3{,}50 \ \text{€}\) le mètre.

Une photo carrée de 24 cm de côté entourée d'un cadre en baguette de bois photo
\(24 \ \text{cm}\)
  1. La baguette ci-dessous mesure \(1 \ \text{m}\). Marquer les coupes des quatre côtés du cadre. Quelle longueur de baguette faut-il, en centimètres puis en mètres ?
    Une baguette de 1 m graduée tous les 2 cm
    \(0\)
    \(10\)
    \(20\)
    \(30\)
    \(40\)
    \(50\)
    \(60\)
    \(70\)
    \(80\)
    \(90\)
    \(100\)
     une baguette de 1 m, graduée en centimètres
    Une baguette de 1 m graduée tous les 2 cm ; quatre coupes à 24, 48, 72 et 96 cm, et une chute de 4 cm
    \(0\)
    \(10\)
    \(20\)
    \(30\)
    \(40\)
    \(50\)
    \(60\)
    \(70\)
    \(80\)
    \(90\)
    \(100\)
     une baguette de 1 m, graduée en centimètres
    $$ P = 4 \times 24 = 96 \ \text{cm} $$
    $$ 96 \ \text{cm} = 0{,}96 \ \text{m} $$

    Il reste une chute de \(4 \ \text{cm}\).

  2. Quel est le prix de la baguette ?
    $$ 0{,}96 \times 3{,}50 $$
    $$ 3{,}36 \ \text{€} $$

    La longueur devait être convertie en mètres avant le calcul, puisque le prix est donné au mètre.

La fenêtre cintrée

Une fenêtre est formée d'un rectangle de \(80 \ \text{cm}\) de large et \(120 \ \text{cm}\) de haut, surmonté d'un demi-disque dont le diamètre est la largeur du rectangle. On prendra \(\pi \approx 3{,}14\).

Une fenêtre formée d'un rectangle de 80 cm sur 120 cm surmonté d'un demi-disque
\(80 \ \text{cm}\)
\(120 \ \text{cm}\)
  1. Calculer la longueur du demi-cercle.

    Le cercle entier aurait pour longueur :

    $$ \pi \times 80 \approx 3{,}14 \times 80 \approx 251{,}2 \ \text{cm} $$

    Le demi-cercle en est la moitié :

    $$ 251{,}2 \div 2 = 125{,}6 \ \text{cm} $$
  2. Repasser en couleur le contour de la fenêtre sur la figure, puis en déduire son périmètre.
    Une fenêtre formée d'un rectangle de 80 cm sur 120 cm surmonté d'un demi-disque ; son contour repassé en couleur
    \(80 \ \text{cm}\)
    \(120 \ \text{cm}\)

    Le contour est formé des deux côtés verticaux, du bas du rectangle et du demi-cercle. Le haut du rectangle est intérieur à la figure : il ne compte pas.

    $$ P = 120 + 120 + 80 + 125{,}6 $$
    $$ P = 445{,}6 \ \text{cm} $$
  3. Exprimer ce périmètre en mètres.
    $$ 445{,}6 \ \text{cm} = 4{,}456 \ \text{m} $$

Du tour au diamètre

On prendra \(\pi \approx 3{,}14\).

  1. Tom entoure un tronc d'arbre avec un ruban, puis le déroule : le tour mesure \(157 \ \text{cm}\). Reporter au compas le diamètre du tronc sur le ruban déroulé, autant de fois que possible. Le diamètre vaut-il \(25 \ \text{cm}\), \(50 \ \text{cm}\) ou \(100 \ \text{cm}\) ? Choisir, en vérifiant par un calcul.
    Un tronc vu de dessus, entouré d'un ruban, et ce ruban déroulé : un segment de 157 cm
    \(157 \ \text{cm}\)
     le ruban déroulé le tronc

    Le diamètre se reporte trois fois sur le ruban, avec un petit reste :

    Un tronc vu de dessus, entouré d'un ruban, et ce ruban déroulé : un segment de 157 cm ; le diamètre du tronc reporté trois fois sur le ruban, avec un petit reste
    \(157 \ \text{cm}\)
     le ruban déroulé le tronc
    \(1\)
    \(2\)
    \(3\)

    Le tour est à peu près trois fois le diamètre : \(100 \ \text{cm}\) donnerait plus de \(300 \ \text{cm}\), et \(25 \ \text{cm}\) moins de \(100 \ \text{cm}\). On vérifie la valeur restante :

    $$ 3{,}14 \times 50 = 157 $$
    $$ D = 50 \ \text{cm} $$
  2. Zoé calcule le périmètre du disque ci-dessous, de rayon \(10 \ \text{cm}\) : \(3{,}14 \times 10 = 31{,}4 \ \text{cm}\). Tracer un diamètre de ce disque et écrire sa longueur sur la figure, puis repérer l'erreur de Zoé et la corriger.
    Un disque de centre O dont le rayon mesure 10 cm
    \(10 \ \text{cm}\)
    \(O\)
    Un disque de centre O dont le rayon mesure 10 cm ; un diamètre tracé, de 20 cm
    \(10 \ \text{cm}\)
    \(O\)
    \(20 \ \text{cm}\)

    Zoé a multiplié \(\pi\) par le rayon, alors que la formule \(P = \pi \times D\) demande le diamètre, ici \(20 \ \text{cm}\).

    $$ P \approx 3{,}14 \times 20 $$
    $$ P \approx 62{,}8 \ \text{cm} $$

Les couloirs de la piste

Sur une piste d'athlétisme, le couloir \(1\) est formé de deux lignes droites de \(90 \ \text{m}\) et de deux demi-cercles de \(70 \ \text{m}\) de diamètre. Le couloir \(2\), juste à l'extérieur, a les mêmes lignes droites, mais ses demi-cercles ont \(72 \ \text{m}\) de diamètre. La figure n'est pas à l'échelle. On prendra \(\pi \approx 3{,}14\).

Une piste formée de deux lignes droites et de deux demi-cercles, avec deux couloirs
\(90 \ \text{m}\)
\(70 \ \text{m}\)
\(72 \ \text{m}\)
 couloir 1 couloir 2
  1. Calculer la longueur d'un tour dans le couloir \(1\).

    Les deux demi-cercles, mis bout à bout, forment un cercle entier de \(70 \ \text{m}\) de diamètre :

    $$ L_1 \approx 2 \times 90 + 3{,}14 \times 70 = 180 + 219{,}8 $$
    $$ L_1 \approx 399{,}8 \ \text{m} $$
  2. On passe au couloir \(2\). Calculer la longueur d'un tour dans ce couloir, puis de combien de mètres elle dépasse celle du couloir \(1\).
    $$ L_2 \approx 2 \times 90 + 3{,}14 \times 72 = 180 + 226{,}08 $$
    $$ L_2 \approx 406{,}08 \ \text{m} $$
    $$ 406{,}08 - 399{,}8 = 6{,}28 $$
    $$ 6{,}28 \ \text{m de plus} $$

    Seuls les virages changent : c'est pourquoi, sur un tour, le coureur du couloir \(2\) part devant celui du couloir \(1\).

  3. Le couloir \(3\) a lui aussi les mêmes lignes droites, et des demi-cercles de \(74 \ \text{m}\) de diamètre. Sans refaire tout le calcul, prévoir de combien son tour dépasse celui du couloir \(1\), puis vérifier.

    Chaque couloir ajoute \(2 \ \text{m}\) au diamètre, donc environ \(3{,}14 \times 2 = 6{,}28 \ \text{m}\) au tour. Du couloir \(1\) au couloir \(3\), le diamètre gagne \(4 \ \text{m}\) :

    $$ 3{,}14 \times 4 = 12{,}56 $$

    Vérification : \(L_3 \approx 180 + 3{,}14 \times 74 = 180 + 232{,}36 = 412{,}36\), et \(412{,}36 - 399{,}8 = 12{,}56\).

    $$ 12{,}56 \ \text{m de plus} $$

La bordure des terrasses

On pose une bordure tout autour d'une terrasse en escalier, dont voici le plan.

Plan d'une terrasse en escalier de 9 m sur 6 m, avec les longueurs de ses huit côtés
\(9 \ \text{m}\)
\(6 \ \text{m}\)
\(2 \ \text{m}\)
\(1{,}5 \ \text{m}\)
\(2{,}5 \ \text{m}\)
\(3 \ \text{m}\)
\(2{,}5 \ \text{m}\)
\(3{,}5 \ \text{m}\)
  1. Calculer la longueur de bordure nécessaire.

    On fait le tour de la terrasse en additionnant ses huit côtés :

    $$ P = 9 + 2 + 3 + 1{,}5 + 2{,}5 + 2{,}5 + 3{,}5 + 6 $$
    $$ P = 30 \ \text{m} $$
  2. Comparer avec le périmètre du rectangle de \(9 \ \text{m}\) sur \(6 \ \text{m}\) qui entoure cette même terrasse, puis expliquer, en faisant glisser des morceaux du contour, pourquoi ce n'est pas un hasard.
    $$ P = 2 \times 9 + 2 \times 6 = 18 + 12 = 30 \ \text{m} $$

    Les côtés horizontaux des marches, glissés vers le haut, recouvrent exactement le côté du haut du rectangle ; les côtés verticaux, glissés vers la droite, recouvrent exactement son côté droit :

    Les côtés horizontaux de la terrasse glissent vers le haut du rectangle, les côtés verticaux vers sa droite
    $$ 3 + 2{,}5 + 3{,}5 = 9 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 2 + 1{,}5 + 2{,}5 = 6 $$
    $$ \text{Même périmètre : } 30 \ \text{m} $$
  3. On change de terrasse : celle-ci tient dans le même rectangle, mais son côté du haut est creusé d'une encoche. Tom affirme : « Elle tient dans le même rectangle, donc sa bordure mesure aussi \(30 \ \text{m}\). » Trancher.
    Plan d'une terrasse de 9 m sur 6 m creusée d'une encoche rectangulaire de 3 m sur 2 m dans son côté du haut
    \(9 \ \text{m}\)
    \(6 \ \text{m}\)
    \(2{,}5 \ \text{m}\)
    \(3{,}5 \ \text{m}\)
    \(3 \ \text{m}\)
    \(2 \ \text{m}\)

    Les trois morceaux du haut, glissés vers le haut, recouvrent encore le côté du haut du rectangle : \(2{,}5 + 3 + 3{,}5 = 9\). Les côtés gauche et droit de la terrasse recouvrent déjà ceux du rectangle. Les deux bords de l'encoche, de \(2 \ \text{m}\) chacun, sont donc en plus :

    $$ P = 30 + 2 + 2 $$
    $$ P = 34 \ \text{m} \text{ : Tom se trompe} $$

    Vérification en faisant le tour : \(9 + 6 + 3{,}5 + 2 + 3 + 2 + 2{,}5 + 6 = 34\).

  4. On change encore de terrasse. Elle touche elle aussi les quatre côtés d'un rectangle de \(9 \ \text{m}\) sur \(6 \ \text{m}\), avec des marches comme la première et deux encoches comme la seconde. L'une des encoches a \(1{,}5 \ \text{m}\) de profondeur, et la bordure mesure \(41 \ \text{m}\). Calculer la profondeur de l'autre encoche.

    Les marches ne changent rien au périmètre, et chaque encoche ajoute deux fois sa profondeur à celui du rectangle. Ce que les encoches ajoutent en tout :

    $$ 41 - 30 = 11 \ \text{m} $$

    La première encoche en ajoute \(2 \times 1{,}5 = 3 \ \text{m}\), la seconde le reste, partagé entre ses deux bords :

    $$ 11 - 3 = 8 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 8 \div 2 = 4 $$
    $$ 4 \ \text{m} $$

    Vérification : \(30 + 2 \times 1{,}5 + 2 \times 4 = 30 + 3 + 8 = 41\), et une encoche de \(4 \ \text{m}\) tient bien dans la hauteur de \(6 \ \text{m}\) du rectangle.

Le ruban des boîtes de conserve

Des boîtes de conserve de \(10 \ \text{cm}\) de diamètre sont serrées par un ruban tendu tout autour. Voici, vues de dessus, deux façons d'en ranger quatre. On prendra \(\pi \approx 3{,}14\).

Quatre boîtes de conserve vues de dessus, serrées par un ruban, rangées en carré puis en ligne
\(10 \ \text{cm}\)
 en carré en ligne
  1. Calculer la longueur du ruban autour des boîtes rangées en carré.

    Le ruban est fait de quatre parties droites et de quatre parties courbes. Une partie droite va d'une boîte à sa voisine : elle mesure l'écart entre leurs centres, soit un diamètre. Une partie courbe fait un quart de tour de boîte, et les quatre mises bout à bout forment un cercle entier de \(10 \ \text{cm}\) de diamètre :

    $$ L \approx 4 \times 10 + 3{,}14 \times 10 = 40 + 31{,}4 $$
    $$ L \approx 71{,}4 \ \text{cm} $$
  2. Ces mêmes quatre boîtes sont maintenant rangées en ligne. Le ruban est-il plus court ou plus long ? De combien ?

    Les deux parties droites longent chacune trois écarts entre centres, soit \(30 \ \text{cm}\). Aux deux bouts, le ruban fait deux demi-tours, qui forment encore un cercle entier :

    $$ L \approx 2 \times 30 + 3{,}14 \times 10 = 60 + 31{,}4 = 91{,}4 \ \text{cm} $$
    $$ 91{,}4 - 71{,}4 = 20 $$
    $$ 20 \ \text{cm de plus} $$
  3. On range maintenant des boîtes en un rectangle plein, de plusieurs rangées. Expliquer pourquoi les parties courbes du ruban forment toujours un cercle entier, puis en déduire une règle qui donne la longueur du ruban.

    Le ruban ne tourne qu'autour des quatre boîtes des coins, d'un quart de tour chacune : quatre quarts de cercle font un cercle entier. Les autres boîtes du bord touchent seulement une partie droite.

    Les parties droites, elles, vont d'un coin à l'autre en longeant les rangées : mises bout à bout, elles font le tour du rectangle qui joint les centres des quatre boîtes des coins.

    $$ \text{ruban} \approx \text{périmètre du rectangle des centres} + 31{,}4 \ \text{cm} $$
  4. On doit cercler \(24\) boîtes rangées en un rectangle plein, avec un ruban de \(2 \ \text{m}\). Quels rangements le permettent ? Justifier en les essayant tous.

    Les rangements viennent des façons d'écrire \(24\) comme un produit : \(1 \times 24\), \(2 \times 12\), \(3 \times 8\) et \(4 \times 6\), les autres étant les mêmes rectangles tournés. Dans une rangée de \(6\) boîtes, les centres des deux boîtes du bout sont écartés de \(5\) diamètres, soit \(50 \ \text{cm}\) ; et ainsi de suite.

    Rangement
    \(1\) rangée de \(24\)
    \(2\) rangées de \(12\)
    \(3\) rangées de \(8\)
    \(4\) rangées de \(6\)
    Rectangle des centres \((\text{cm})\)
    \(230\) sur \(0\)
    \(110\) sur \(10\)
    \(70\) sur \(20\)
    \(50\) sur \(30\)
    Longueur du ruban \((\text{cm})\)
    \(460 + 31{,}4 = 491{,}4\)
    \(240 + 31{,}4 = 271{,}4\)
    \(180 + 31{,}4 = 211{,}4\)
    \(160 + 31{,}4 = 191{,}4\)

    Pour une seule rangée, le rectangle est aplati : le ruban longe deux fois les \(230 \ \text{cm}\), comme à la question \(2\). Le ruban mesure \(2 \ \text{m} = 200 \ \text{cm}\), et seule la dernière colonne reste en dessous :

    $$ \text{seulement } 4 \text{ rangées de } 6 \text{ boîtes} $$