Problèmes sur les longueurs et les périmètres

Le tour du jardin

Un jardin rectangulaire mesure \(12 \ m\) de long et \(8 \ m\) de large. On veut l'entourer d'un grillage.

1. Quelle longueur de grillage faut-il ?

   On calcule le périmètre du rectangle :

   $$ P = 2 \times 12 + 2 \times 8 = 24 + 16 $$

   $$ P = 40 \ m $$
2. Le grillage est vendu en rouleaux de \(5 \ m\). Combien de rouleaux faut-il acheter ?
   $$ 40 \div 5 = 8 $$

   $$ 8 \text{ rouleaux} $$
3. Un rouleau coûte \(12.50 \text{ €}\). Quel est le prix total ?
   $$ 8 \times 12.50 $$

   $$ 100 \text{ €} $$

La piste cyclable

Une piste cyclable en boucle mesure \(2.4 \ km\).

1. Exprimer cette longueur en mètres.

   Le kilomètre vaut \(1 \ 000\) mètres, la virgule se déplace de trois rangs vers la droite :

   $$ 2.4 \ km = 2 \ 400 \ m $$
2. Quelle distance parcourt un cycliste qui fait trois tours ?
   $$ 3 \times 2.4 $$

   $$ 7.2 \ km $$
3. Il souhaite parcourir \(30 \ km\). Combien de tours entiers pourra-t-il faire, et quelle distance lui restera-t-il ?

   On cherche combien de fois \(2.4\) tient dans \(30\). On essaie :

   $$ 12 \times 2.4 = 28.8 \qquad \text{et} \qquad 13 \times 2.4 = 31.2 $$

   Treize tours dépasseraient les \(30 \ km\) :

   $$ 12 \text{ tours entiers} $$

   Il lui restera alors :

   $$ 30 - 28.8 = 1.2 \ km $$

La roue de vélo

Une roue de vélo a un diamètre de \(50 \ cm\). On prendra \(\pi \approx 3.14\).

1. Calculer le périmètre de cette roue.
   $$ P = \pi \times d = 3.14 \times 50 $$

   $$ P = 157 \ cm $$
2. Exprimer ce périmètre en mètres.
   $$ 157 \ cm = 1.57 \ m $$
3. À chaque tour de roue, le vélo avance de ce périmètre. Quelle distance parcourt-il en \(100\) tours ?
   $$ D = 100 \times 1.57 $$

   $$ D = 157 \ m $$

Le cadre photo

On encadre une photo carrée de \(24 \ cm\) de côté avec une baguette de bois vendue \(3.50 \text{ €}\) le mètre.

1. Quelle longueur de baguette faut-il, en centimètres puis en mètres ?
   $$ P = 4 \times 24 = 96 \ cm $$

   $$ 96 \ cm = 0.96 \ m $$
2. Quel est le prix de la baguette ?
   $$ P = 0.96 \times 3.50 $$

   $$ P = 3.36 \text{ €} $$

   La longueur devait être convertie en mètres avant le calcul, puisque le prix est donné au mètre.

La fenêtre cintrée

Une fenêtre est formée d'un rectangle de \(80 \ cm\) de large et \(120 \ cm\) de haut, surmonté d'un demi-disque dont le diamètre est la largeur du rectangle. On prendra \(\pi \approx 3.14\).

1. Calculer la longueur du demi-cercle.

   Le cercle entier aurait pour longueur :

   $$ \pi \times 80 = 3.14 \times 80 = 251.2 \ cm $$

   Le demi-cercle en est la moitié :

   $$ 251.2 \div 2 = 125.6 \ cm $$
2. En déduire le périmètre de la fenêtre.

   Le contour est formé des deux côtés verticaux, du bas du rectangle et du demi-cercle. Le haut du rectangle est intérieur à la figure : il ne compte pas.

   $$ P = 120 + 120 + 80 + 125.6 $$

   $$ P = 445.6 \ cm $$
3. Exprimer ce périmètre en mètres.
   $$ 445.6 \ cm = 4.456 \ m $$