Problèmes sur le temps et les durées

La journée de cours

Le cours de mathématiques commence à \(9\text{h}15\) et se termine à \(10\text{h}10\).

1. Quelle est la durée de ce cours ?

   Les minutes d'arrivée sont plus petites : on récrit \(10\text{h}10\) sous la forme \(9\text{h}70\).

   $$ 9 - 9 = 0 \ \text{h} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 70 - 15 = 55 \ \text{min} $$

   $$ 55 \ \text{min} $$
2. La récréation dure \(15\) minutes, puis un second cours de même durée commence. À quelle heure se termine-t-il ?

   Le second cours commence à :

   $$ 10\text{h}10 + 15 \ \text{min} = 10\text{h}25 $$

   Il se termine \(55\) minutes plus tard. Or \(25 + 55 = 80\), et \(80 \ \text{min} = 1\text{h}20\) :

   $$ 11\text{h}20 $$

Le voyage en train

Un train part de Nantes à \(7\text{h}40\) et arrive à Lyon à \(12\text{h}25\).

1. Quelle est la durée du trajet ?

   On récrit \(12\text{h}25\) sous la forme \(11\text{h}85\) :

   $$ 11 - 7 = 4 \ \text{h} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 85 - 40 = 45 \ \text{min} $$

   $$ 4\text{h}45 $$
2. Exprimer cette durée en minutes.
   $$ 4 \times 60 + 45 = 240 + 45 $$

   $$ 285 \ \text{min} $$
3. Le voyageur a \(20\) minutes de correspondance à Lyon. À quelle heure repart-il ?
   $$ 12\text{h}25 + 20 \ \text{min} $$

   $$ 12\text{h}45 $$

La recette du gâteau

Une recette demande \(25\) minutes de préparation, \(1\text{h}10\) de cuisson, puis \(45\) minutes de refroidissement.

1. Quelle est la durée totale de la recette ?

   On additionne heures et minutes séparément :

   $$ 1 \ \text{h} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 25 + 10 + 45 = 80 \ \text{min} $$

   Or \(80 \ \text{min} = 1\text{h}20\), que l'on reporte :

   $$ 2\text{h}20 $$
2. Le gâteau doit être prêt à \(16 \ \text{h}\). À quelle heure faut-il commencer ?

   On soustrait la durée à l'horaire d'arrivée. On récrit \(16 \ \text{h}\) sous la forme \(15\text{h}60\) :

   $$ 15 - 2 = 13 \ \text{h} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 60 - 20 = 40 \ \text{min} $$

   $$ 13\text{h}40 $$

La sortie scolaire

Une classe part à \(8\text{h}30\). Le trajet dure \(1\text{h}50\). La visite dure \(2\text{h}15\), suivie d'une pause repas de \(50\) minutes. Le retour prend le même temps que l'aller.

1. À quelle heure la classe arrive-t-elle sur le lieu de la visite ?

   \(30 + 50 = 80 \ \text{min}\), soit \(1\text{h}20\) :

   $$ 8 \ \text{h} + 1 \ \text{h} + 1\text{h}20 $$

   $$ 10\text{h}20 $$
2. À quelle heure le repas se termine-t-il ?

   Fin de la visite :

   $$ 10\text{h}20 + 2\text{h}15 = 12\text{h}35 $$

   Puis la pause de \(50\) minutes. Or \(35 + 50 = 85 \ \text{min}\), soit \(1\text{h}25\) :

   $$ 13\text{h}25 $$
3. À quelle heure la classe est-elle de retour au collège ?

   On ajoute le trajet de retour, égal à l'aller :

   $$ 13\text{h}25 + 1\text{h}50 $$

   \(25 + 50 = 75 \ \text{min}\), soit \(1\text{h}15\) :

   $$ 15\text{h}15 $$
4. Quelle a été la durée totale de la sortie ?

   De \(8\text{h}30\) à \(15\text{h}15\), on récrit \(15\text{h}15\) sous la forme \(14\text{h}75\) :

   $$ 14 - 8 = 6 \ \text{h} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 75 - 30 = 45 \ \text{min} $$

   $$ 6\text{h}45 $$

   Vérification par les durées : \(1\text{h}50 + 2\text{h}15 + 50 \ \text{min} + 1\text{h}50 = 6\text{h}45\).

Les pièges des soixante minutes

1. Pour ajouter \(35\) minutes à \(1\text{h}45\), Inès tape sur sa calculatrice \(1.45 + 0.35\), lit \(1.80\), et écrit \(1\text{h}80\). Expliquer son erreur, puis donner le bon résultat.

   La calculatrice compte de dix en dix, alors qu'une heure vaut soixante minutes : \(1\text{h}45\) n'est pas le nombre \(1.45\). On additionne séparément :

   $$ 1 \ \text{h} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 45 + 35 = 80 \ \text{min} $$

   Or \(80 \ \text{min} = 1\text{h}20\), que l'on reporte :

   $$ 2\text{h}20 $$
2. Une application de course à pied affiche une durée de \(2.5 \ \text{h}\). Noah lit « \(2\text{h}50\) ». Corriger.

   \(2.5 \ \text{h}\), c'est \(2\) heures et une demi-heure, et une demi-heure vaut \(30\) minutes :

   $$ 2.5 \ \text{h} = 2\text{h}30 $$
3. Léo convertit \(130\) minutes et trouve \(1\text{h}30\), en pensant que \(100\) minutes font une heure. Corriger par une division euclidienne.
   $$ 130 = 60 \times 2 + 10 $$

   $$ 130 \ \text{min} = 2\text{h}10 $$

Le bus du matin

Maël prend le bus de la ligne \(12\) pour aller au collège. Voici les horaires du matin.

1. Calculer la durée du trajet du bus qui part des Tilleuls à \(7\text{h}51\).

   On récrit \(8\text{h}16\) sous la forme \(7\text{h}76\) :

   $$ 7 - 7 = 0 \ \text{h} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 76 - 51 = 25 \ \text{min} $$

   $$ 25 \ \text{min} $$
2. Les quatre bus ne mettent pas tous le même temps. Calculer la durée du trajet de chacun des trois autres, puis dire quel bus est le plus lent.
   $$ 7\text{h}32 \ \longrightarrow \ 7\text{h}55 \quad : \quad 55 - 32 = 23 \ \text{min} $$

   $$ 8\text{h}09 \ \longrightarrow \ 8\text{h}37 \quad : \quad 37 - 9 = 28 \ \text{min} $$

   $$ 8\text{h}24 \ \longrightarrow \ 8\text{h}51 \quad : \quad 51 - 24 = 27 \ \text{min} $$

   $$ \text{le bus de } 8\text{h}09 \text{, en } 28 \ \text{min} $$
3. Les cours commencent à \(8\text{h}45\). Maël met \(4\) minutes pour aller de l'arrêt du collège à sa salle, \(9\) minutes pour aller de chez lui à l'arrêt des Tilleuls, et il veut y être \(2\) minutes avant le passage du bus. Déterminer le dernier bus qu'il peut prendre, et l'heure à laquelle il doit quitter la maison au plus tard.

   Le bus doit arriver au collège au plus tard \(4\) minutes avant le début des cours :

   $$ 8\text{h}45 - 4 \ \text{min} = 8\text{h}41 $$

   Le bus de \(8\text{h}24\) arrive à \(8\text{h}51\), trop tard ; celui de \(8\text{h}09\) arrive à \(8\text{h}37\), à temps. Maël doit donc être à l'arrêt à \(8\text{h}07\), et partir \(9\) minutes plus tôt :

   $$ 8\text{h}07 - 9 \ \text{min} = 7\text{h}67 - 9 \ \text{min} = 7\text{h}58 $$

   $$ \text{le bus de } 8\text{h}09 \text{, départ de la maison à } 7\text{h}58 $$

Les horaires palindromes

Le réveil de Lina affiche \(12\text{h}21\) : ses quatre chiffres se lisent de la même façon de gauche à droite et de droite à gauche. Un tel horaire s'appelle un palindrome. Le réveil affiche les horaires de \(00\text{h}00\) à \(23\text{h}59\).

1. Déterminer le premier horaire palindrome qui suit \(12\text{h}21\), puis la durée d'attente.

   Les minutes d'un palindrome sont les chiffres de l'heure écrits à l'envers : l'heure \(12\) impose \(21\) minutes, et aucun horaire de \(12\text{h}22\) à \(12\text{h}59\) ne convient. L'heure \(13\) impose \(31\) minutes :

   $$ 13 - 12 = 1 \ \text{h} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 31 - 21 = 10 \ \text{min} $$

   $$ 13\text{h}31 \text{, après } 1\text{h}10 \text{ d'attente} $$
2. Trouver tous les horaires palindromes d'une journée, puis prouver qu'il n'y en a pas d'autre.

   Chaque heure donne au plus un palindrome, puisqu'elle impose ses minutes. Encore faut-il que ces minutes existent : leur premier chiffre, qui est le second chiffre de l'heure, ne peut pas dépasser \(5\), car les minutes s'arrêtent à \(59\). Les heures \(06\) à \(09\) et \(16\) à \(19\) ne donnent donc rien : \(06\text{h}60\) ou \(17\text{h}71\) n'existent pas. Il reste :

   $$ 00\text{h}00 \ ; \ 01\text{h}10 \ ; \ 02\text{h}20 \ ; \ 03\text{h}30 \ ; \ 04\text{h}40 \ ; \ 05\text{h}50 $$

   $$ 10\text{h}01 \ ; \ 11\text{h}11 \ ; \ 12\text{h}21 \ ; \ 13\text{h}31 \ ; \ 14\text{h}41 \ ; \ 15\text{h}51 $$

   $$ 20\text{h}02 \ ; \ 21\text{h}12 \ ; \ 22\text{h}22 \ ; \ 23\text{h}32 $$

   $$ 16 \text{ palindromes} $$
3. Quelle est la plus longue attente entre deux palindromes qui se suivent ? Justifier.

   Dans chacune des trois séries, de \(00\text{h}00\) à \(05\text{h}50\), de \(10\text{h}01\) à \(15\text{h}51\) et de \(20\text{h}02\) à \(23\text{h}32\), on passe d'un palindrome au suivant en ajoutant \(1\) heure et \(10\) minutes. Les attentes plus longues se trouvent entre deux séries. On récrit \(10\text{h}01\) sous la forme \(9\text{h}61\), et \(20\text{h}02\) sous la forme \(19\text{h}62\) :

   $$ 05\text{h}50 \ \longrightarrow \ 10\text{h}01 \quad : \quad 9 - 5 = 4 \ \text{h} \quad \text{et} \quad 61 - 50 = 11 \ \text{min} $$

   $$ 15\text{h}51 \ \longrightarrow \ 20\text{h}02 \quad : \quad 19 - 15 = 4 \ \text{h} \quad \text{et} \quad 62 - 51 = 11 \ \text{min} $$

   $$ 4\text{h}11 $$
4. Le réveil tourne jour et nuit. Quelle est la plus courte attente entre deux palindromes qui se suivent ?

   Dans la journée, les attentes valent \(1\text{h}10\) ou \(4\text{h}11\). Mais après \(23\text{h}32\), le palindrome suivant est \(00\text{h}00\), le lendemain : il suffit d'attendre minuit.

   $$ 60 - 32 = 28 \ \text{min} $$

   $$ 28 \ \text{min} \text{, de } 23\text{h}32 \text{ à minuit} $$

La pendule qui avance

Le \(1^{\text{er}}\) septembre \(2027\) à midi, on règle une pendule à aiguilles à l'heure exacte. Elle prend ensuite la même avance chaque jour, et on la regarde chaque jour à midi.

1. Lire l'heure qu'indique la pendule le \(11\) septembre à midi, puis en déduire l'avance qu'elle prend chaque jour.

   La grande aiguille est sur le \(6\), la petite à mi-chemin entre le \(12\) et le \(1\) : la pendule indique \(12\text{h}30\). Du \(1^{\text{er}}\) au \(11\) septembre, \(10\) jours se sont écoulés pour \(30\) minutes d'avance :

   $$ 30 \div 10 = 3 $$

   $$ 3 \ \text{min par jour} $$
2. Un midi, cette même pendule indique \(13\text{h}15\). Quelle est la date ce jour-là ?

   Elle avance alors de \(1\text{h}15\), soit \(75\) minutes, prises à raison de \(3\) minutes par jour :

   $$ 75 \div 3 = 25 \text{ jours} $$

   On compte ces \(25\) jours à partir du \(1^{\text{er}}\) septembre, et \(1 + 25 = 26\) - de même, le \(11\) septembre venait \(10\) jours après le \(1^{\text{er}}\).

   $$ \text{le } 26 \text{ septembre} $$
3. À l'aide de la frise ci-dessous, déterminer l'heure que montrent les aiguilles de cette même pendule le \(1^{\text{er}}\) janvier \(2028\) à midi.

   Du \(1^{\text{er}}\) septembre au \(1^{\text{er}}\) janvier s'écoulent les mois entiers de septembre, octobre, novembre et décembre :

   $$ 30 + 31 + 30 + 31 = 122 \text{ jours} $$

   $$ 122 \times 3 = 366 \ \text{min} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 366 = 60 \times 6 + 6 $$

   La pendule avance donc de \(6\text{h}06\) : elle indique \(18\text{h}06\) à midi. Sur un cadran, \(18\text{h}06\) se lit comme \(6\text{h}06\).

   $$ 6\text{h}06 $$
4. On ne remet jamais cette même pendule à l'heure. Déterminer la date à laquelle elle indiquera de nouveau l'heure exacte à midi.

   Sur un cadran, les aiguilles reprennent la même position toutes les \(12\) heures : la pendule indique l'heure exacte dès que son avance atteint \(12 \ \text{h}\).

   $$ 12 \times 60 = 720 \ \text{min} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 720 \div 3 = 240 \text{ jours} $$

   Au \(1^{\text{er}}\) janvier, \(122\) jours se sont écoulés ; il en reste \(240 - 122 = 118\). La frise donne \(31\) jours en janvier, \(29\) en février, car \(2028\) est bissextile, et \(31\) en mars :

   $$ 31 + 29 + 31 = 91 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 118 - 91 = 27 $$

   Au \(1^{\text{er}}\) avril, il reste \(27\) jours à attendre, et \(1 + 27 = 28\) :

   $$ \text{le } 28 \text{ avril } 2028 $$