Problèmes sur les volumes

La tour de cubes

Théo empile des cubes pour construire une tour de \(7\) étages. Chaque étage est fait d'un seul cube.

1. Quel est le volume de sa tour ?
   $$ V = 7 \ \text{cm}^3 $$
2. Il ajoute une seconde tour identique à côté. Quel est le volume de l'ensemble ?

   $$ V = 7 + 7 $$

   $$ V = 14 \ \text{cm}^3 $$
3. Dessiner en vraie grandeur, sur le quadrillage, la vue de face de l'ensemble des deux tours.

   Vu de face, chaque cube est un carré de \(1 \ \text{cm}\) de côté : la vue de face est un rectangle de \(2\) carrés sur \(7\).

Le solide à étages

Un solide est construit ainsi : le premier étage compte \(12\) cubes, le deuxième \(8\) cubes et le troisième \(3\) cubes.

1. Quel est le volume de ce solide ?

   On additionne les étages :

   $$ V = 12 + 8 + 3 $$

   $$ V = 23 \ \text{cm}^3 $$
2. Compléter la vue de dessus de ce même solide, en écrivant dans chaque case le nombre de cubes empilés. Vérifier que ces nombres redonnent le volume.

   $$ (3 + 3 + 3 + 2) + (2 + 2 + 2 + 2) + (1 + 1 + 1 + 1) = 11 + 8 + 4 = 23 $$
3. On retire l'étage du dessus. Quel est le nouveau volume ?
   $$ V = 23 - 3 $$

   $$ V = 20 \ \text{cm}^3 $$
4. On déplace ensuite quatre cubes du premier étage vers le deuxième. Le volume change-t-il ? Justifier.

   Déplacer des cubes change la forme du solide, mais pas le nombre de cubes qui le composent.

   $$ \text{Le volume ne change pas : } 20 \ \text{cm}^3 $$

Deux solides à comparer

Un premier solide est formé de \(4\) étages de \(6\) cubes. Un second est formé de \(3\) étages de \(8\) cubes.

1. Calculer le volume de chacun.
   $$ V_1 = 4 \times 6 = 24 \ \text{cm}^3 $$

   $$ V_2 = 3 \times 8 = 24 \ \text{cm}^3 $$
2. Comparer ces deux volumes. Les solides ont-ils la même forme ?
   $$ V_1 = V_2 = 24 \ \text{cm}^3 $$

   Les deux solides ont le même volume, mais pas la même forme : l'un est plus haut, l'autre plus large.

3. Dessiner en vraie grandeur, sur le quadrillage, la vue de dessus de chacun des deux solides. Retrouver chaque volume à partir de sa vue de dessus.

   La vue de dessus montre un étage : \(6\) carrés pour le premier solide, \(8\) pour le second. On multiplie par le nombre d'étages :

   $$ 6 \times 4 = 24 \ \text{cm}^3 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 8 \times 3 = 24 \ \text{cm}^3 $$

La boîte à remplir

On remplit complètement une boîte avec des cubes de \(1 \ \text{cm}^3\). On peut y ranger \(5\) cubes dans la longueur, \(4\) dans la largeur, et l'on empile \(3\) couches identiques. Sur la figure, les petits traits marquent l'emplacement des cubes.

1. Tracer sur le dessus de la boîte les cubes de la couche du haut. Combien de cubes contient une seule couche ?

   Une couche est un rectangle de \(5\) cubes sur \(4\) :

   $$ 5 \times 4 $$

   $$ 20 \text{ cubes} $$
2. En déduire le volume de la boîte.

   Il y a trois couches identiques :

   $$ V = 20 + 20 + 20 = 3 \times 20 $$

   $$ V = 60 \ \text{cm}^3 $$
3. On enlève une couche entière. Combien de cubes reste-t-il dans la boîte ?
   $$ 60 - 20 $$

   $$ 40 \text{ cubes} $$

Les plans de dessus

Deux constructions sont dessinées vues de dessus : dans chaque case, le nombre indique combien de cubes sont empilés à cet endroit.

1. Calculer le volume de la construction du plan \(1\).

   On additionne les cubes de toutes les colonnes, ligne par ligne :

   $$ V = (3 + 2 + 1) + (2 + 2 + 1) + (1 + 1 + 1) = 6 + 5 + 3 $$

   $$ V = 14 \ \text{cm}^3 $$
2. Pour ce même plan \(1\), Chloé calcule \(9 \times 3 = 27\), car la construction a \(9\) cases et \(3\) étages. Repérer son erreur.

   Chloé fait comme si chaque case portait \(3\) cubes : \(27 \ \text{cm}^3\) est le volume du pavé complet de \(3\) cubes sur \(3\) sur \(3\). Or la plupart des colonnes sont moins hautes : il manquerait \(27 - 14 = 13\) cubes pour remplir ce pavé.

3. On passe au plan \(2\), dont une case a été effacée. Sa construction a un volume de \(20 \ \text{cm}^3\). Retrouver le nombre effacé.

   Les huit cases lisibles comptent :

   $$ 4 + 3 + 2 + 3 + 1 + 2 + 1 + 1 = 17 $$

   Il manque donc \(20 - 17\) cubes dans la case effacée.

   $$ 3 \text{ cubes} $$

Le chargement de la remorque

Une remorque a la forme d'un pavé de \(3 \ \text{m}\) de long, \(2 \ \text{m}\) de large et \(2 \ \text{m}\) de haut. On y range des caisses cubiques de \(50 \ \text{cm}\) d'arête, pesant chacune \(15 \ \text{kg}\). Le dessin montre la couche du fond déjà remplie.

1. Calculer combien de caisses se rangent dans la longueur, dans la largeur et dans la hauteur de la remorque.

   On exprime d'abord les dimensions dans la même unité que l'arête d'une caisse :

   $$ 3 \ \text{m} = 300 \ \text{cm} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 2 \ \text{m} = 200 \ \text{cm} $$

   $$ 300 \div 50 = 6 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 200 \div 50 = 4 $$

   $$ 6 \text{ dans la longueur} \ ; \ 4 \text{ dans la largeur} \quad \text{et} \quad 4 \text{ dans la hauteur} $$
2. Compter les caisses de la couche du fond sur le dessin, puis en déduire le nombre de caisses que contient la remorque pleine.

   La couche du fond compte \(4\) rangées de \(6\) caisses, dont une partie est cachée :

   $$ 6 \times 4 = 24 \text{ caisses} $$

   La hauteur permet d'empiler \(4\) couches identiques :

   $$ N = 4 \times 24 $$

   $$ N = 96 \text{ caisses} $$
3. La remorque supporte au plus \(1 \ 500 \ \text{kg}\) de chargement. Le livreur affirme : « Avec \(100\) caisses, je respecte le poids autorisé, donc je peux les emporter toutes. » Trancher.

   Pour le poids, le livreur a raison :

   $$ 100 \times 15 = 1 \ 500 \ \text{kg} $$

   Mais la place manque : la remorque pleine ne contient que \(96\) caisses. C'est le volume, et non le poids, qui limite le chargement.

   $$ \text{Non : il ne peut emporter que } 96 \text{ caisses} $$

La boîte sans couvercle

Dans une feuille carrée quadrillée de \(12 \ \text{cm}\) de côté, on découpe à chaque coin un carré de même côté, un nombre entier de centimètres. On replie les quatre bords pour former une boîte sans couvercle. Ici, on a découpé des carrés de \(3 \ \text{cm}\).

1. Calculer le volume de cette boîte, en la remplissant par couches de cubes de \(1 \ \text{cm}^3\).

   Le fond est le carré qui reste au milieu de la feuille : \(12 - 3 - 3 = 6 \ \text{cm}\) de côté. Une couche en contient \(6 \times 6 = 36\) cubes, et la hauteur de \(3 \ \text{cm}\) en empile \(3\) couches :

   $$ V = 3 \times 36 $$

   $$ V = 108 \ \text{cm}^3 $$
2. Avec cette même feuille, essayer toutes les découpes possibles, puis déterminer celle qui donne la boîte de plus grand volume.

   Les deux carrés découpés sur un même côté de la feuille doivent laisser un fond : ensemble, ils mesurent moins de \(12 \ \text{cm}\), donc chacun moins de \(6 \ \text{cm}\). Avec \(6 \ \text{cm}\), il ne reste plus rien au milieu. Les seules découpes possibles vont donc de \(1\) à \(5 \ \text{cm}\) :

   Découpe = hauteur \((\text{cm})\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
   Côté du fond \((\text{cm})\)	\(10\)	\(8\)	\(6\)	\(4\)	\(2\)
   Cubes par couche	\(100\)	\(64\)	\(36\)	\(16\)	\(4\)
   Volume \((\text{cm}^3)\)	\(100\)	\(128\)	\(108\)	\(64\)	\(20\)

   Découper plus grand ajoute une couche, mais chaque couche contient moins de cubes : de \(2\) à \(3 \ \text{cm}\), on passe de \(2\) couches de \(64\) à \(3\) couches de \(36\) seulement. Toutes les découpes ont été essayées :

   $$ \text{découpe de } 2 \ \text{cm} \text{ : } V = 128 \ \text{cm}^3 $$
3. Sur cette feuille, la meilleure découpe mesure le sixième du côté, puisque \(12 \div 6 = 2\). Léo pense que c'est toujours le cas. On change de feuille : elle mesure \(18 \ \text{cm}\) de côté. Vérifier la conjecture de Léo sur cette nouvelle feuille.

   Léo prévoit une découpe de \(18 \div 6 = 3 \ \text{cm}\). Les découpes possibles vont cette fois de \(1\) à \(8 \ \text{cm}\), puisque deux découpes de \(9 \ \text{cm}\) ne laisseraient aucun fond :

   Découpe \((\text{cm})\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)
   Couches \(\times\) cubes par couche	\(1 \times 256\)	\(2 \times 196\)	\(3 \times 144\)	\(4 \times 100\)	\(5 \times 64\)	\(6 \times 36\)	\(7 \times 16\)	\(8 \times 4\)
   Volume \((\text{cm}^3)\)	\(256\)	\(392\)	\(432\)	\(400\)	\(320\)	\(216\)	\(112\)	\(32\)

   $$ \text{découpe de } 3 \ \text{cm} \text{ : } V = 432 \ \text{cm}^3 $$

   La conjecture de Léo se vérifie sur cette feuille. Deux exemples ne prouvent pas pour autant qu'elle marche toujours.

4. On change de carton : une fleuriste fabrique une boîte de la même façon dans un carton carré de \(90 \ \text{cm}\) de côté, quadrillé en carreaux de \(5 \ \text{cm}\). Elle découpe le long du quadrillage et choisit la meilleure découpe. Combien de litres de terreau la boîte peut-elle contenir ? On rappelle que \(1 \ \text{L} = 1 \ 000 \ \text{cm}^3\).

   Le carton mesure \(90 \div 5 = 18\) carreaux de côté : en carreaux, c'est la feuille de la question \(3\). La meilleure découpe mesure donc \(3\) carreaux, soit \(15 \ \text{cm}\), et la boîte a un fond de \(60 \ \text{cm}\) sur \(60 \ \text{cm}\) pour \(15 \ \text{cm}\) de haut :

   $$ V = 15 \times (60 \times 60) = 15 \times 3 \ 600 = 54 \ 000 \ \text{cm}^3 $$

   $$ V = 54 \ \text{L} $$

   Vérification : la question \(3\) donne \(432\) cubes, mais ce sont ici des cubes de \(5 \ \text{cm}\) d'arête, qui valent chacun \(5 \times 5 \times 5 = 125 \ \text{cm}^3\) - et non \(1 \ \text{cm}^3\). Or \(432 \times 125 = 54 \ 000\).

La piscine du jardin

On remplit une piscine en forme de pavé jusqu'à \(40 \ \text{cm}\) de hauteur, avec un tuyau qui débite \(12\) litres d'eau par minute. On rappelle qu'un litre remplit un cube de \(10 \ \text{cm}\) d'arête, soit \(1 \ 000 \ \text{cm}^3\).

1. Calculer le volume d'eau nécessaire, en \(\text{cm}^3\) puis en litres.

   On exprime les dimensions en centimètres : \(2 \ \text{m} = 200 \ \text{cm}\) et \(1.5 \ \text{m} = 150 \ \text{cm}\). Une couche d'eau de \(1 \ \text{cm}\) de haut contient \(200\) rangées de \(150\) cubes de \(1 \ \text{cm}^3\), et l'eau empile \(40\) couches :

   $$ 200 \times 150 = 30 \ 000 \ \text{cm}^3 \text{ par couche} $$

   $$ V = 40 \times 30 \ 000 = 1 \ 200 \ 000 \ \text{cm}^3 $$

   Un litre vaut \(1 \ 000 \ \text{cm}^3\) :

   $$ V = 1 \ 200 \ \text{L} $$
2. Le robinet est ouvert à \(14\text{h}15\). À quelle heure l'eau atteint-elle les \(40 \ \text{cm}\) ?
   $$ 1 \ 200 \div 12 = 100 \ \text{min} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 100 = 60 \times 1 + 40 $$

   Le remplissage dure \(1\text{h}40\), que l'on ajoute à \(14\text{h}15\) :

   $$ 14 + 1 = 15 \ \text{h} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 15 + 40 = 55 \ \text{min} $$

   $$ 15\text{h}55 $$
3. À quelle hauteur l'eau arrive-t-elle dans cette même piscine à \(15\text{h}00\) ?

   De \(14\text{h}15\) à \(15\text{h}00\), le tuyau coule \(45\) minutes :

   $$ 45 \times 12 = 540 \ \text{L} $$

   Une couche de \(1 \ \text{cm}\) contient \(30 \ 000 \ \text{cm}^3\), soit \(30\) litres :

   $$ 540 \div 30 = 18 $$

   $$ 18 \ \text{cm} $$

   Vérification : il faut \(100\) minutes pour \(40 \ \text{cm}\), soit \(2.5\) minutes par centimètre, et \(18 \times 2.5 = 45\).

4. On change de piscine : celle de la voisine est deux fois plus longue et deux fois plus large, et elle la remplit deux fois plus haut. Avec le même tuyau, la voisine prévoit : « Il me faudra deux fois plus de temps, soit \(3\text{h}20\). » Trancher.

   L'eau de cette piscine se découpe en blocs identiques à celui de la première : \(2\) dans la longueur, \(2\) dans la largeur, et \(2\) étages.

   $$ 2 \times 2 \times 2 = 8 $$

   Il faut donc \(8\) fois plus d'eau, et \(8\) fois plus de temps :

   $$ 8 \times 100 = 800 \ \text{min} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 800 = 60 \times 13 + 20 $$

   $$ \text{Non : il faut } 13\text{h}20 \text{, et non } 3\text{h}20 $$

   Vérification : \(400 \times 300 \times 80 = 9 \ 600 \ 000 \ \text{cm}^3\), soit \(9 \ 600 \ \text{L}\), et \(9 \ 600 \div 12 = 800\).