Problèmes sur les volumes

La tour de cubes

Théo empile des cubes pour construire une tour de \(7\) étages. Chaque étage est fait d'un seul cube.

1. Quel est le volume de sa tour ?
   $$ V = 7 \ cm^3 $$
2. Il ajoute une seconde tour identique à côté. Quel est le volume de l'ensemble ?
   $$ V = 7 + 7 $$

   $$ V = 14 \ cm^3 $$

Le solide à étages

Un solide est construit ainsi : le premier étage compte \(12\) cubes, le deuxième \(8\) cubes et le troisième \(3\) cubes.

1. Quel est le volume de ce solide ?

   On additionne les étages :

   $$ V = 12 + 8 + 3 $$

   $$ V = 23 \ cm^3 $$
2. On retire l'étage du dessus. Quel est le nouveau volume ?
   $$ V = 23 - 3 $$

   $$ V = 20 \ cm^3 $$
3. On déplace ensuite quatre cubes du premier étage vers le deuxième. Le volume change-t-il ? Justifier.

   Déplacer des cubes change la forme du solide, mais pas le nombre de cubes qui le composent.

   $$ \text{Le volume ne change pas : } 20 \ cm^3 $$

Deux solides à comparer

Un premier solide est formé de \(4\) étages de \(6\) cubes. Un second est formé de \(3\) étages de \(8\) cubes.

1. Calculer le volume de chacun.
   $$ V_1 = 4 \times 6 = 24 \ cm^3 $$

   $$ V_2 = 3 \times 8 = 24 \ cm^3 $$
2. Comparer ces deux volumes. Les solides ont-ils la même forme ?
   $$ V_1 = V_2 = 24 \ cm^3 $$

   Les deux solides ont le même volume , mais pas la même forme : l'un est plus haut, l'autre plus large.

La boîte à remplir

On remplit complètement une boîte avec des cubes de \(1 \ cm^3\). On peut y ranger \(5\) cubes dans la longueur, \(4\) dans la largeur, et l'on empile \(3\) couches identiques.

1. Combien de cubes contient une seule couche ?

   Une couche est un rectangle de \(5\) cubes sur \(4\) :

   $$ 5 \times 4 $$

   $$ 20 \text{ cubes} $$
2. En déduire le volume de la boîte.

   Il y a trois couches identiques :

   $$ V = 20 + 20 + 20 = 3 \times 20 $$

   $$ V = 60 \ cm^3 $$
3. On enlève une couche entière. Combien de cubes reste-t-il dans la boîte ?
   $$ 60 - 20 $$

   $$ 40 \text{ cubes} $$