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Les fractions

Une fraction

Une fraction \(\frac{a}{b}\) traduit un partage : on partage l'unité en \(b\) parts égales et on en prend \(a\).

Le nombre \(a\) est le numérateur, le nombre \(b\) est le dénominateur. Le dénominateur ne peut pas être nul.

La fraction, un quotient

Le quotient

La fraction \(\frac{a}{b}\) est le nombre qui, multiplié par \(b\), donne exactement \(a\) :

$$ \frac{a}{b} \times b = a $$

C'est le résultat exact de la division de \(a\) par \(b\), même lorsque cette division ne « tombe pas juste ».

Exemple : partager \(3\) gâteaux entre \(4\) personnes donne exactement :

$$ \frac{3}{4} = 0.75 $$

Certaines fractions ont une écriture décimale, d'autres non : \(\frac{1}{3}\) ne s'écrit pas avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

Placer une fraction sur une demi-droite graduée

Pour placer \(\frac{a}{b}\), on partage chaque unité en \(b\) parts égales , puis on compte \(a\) parts à partir de \(0\).

Exemple : pour placer \(\frac{5}{4}\), on partage chaque unité en quatre et on compte cinq parts : le point se situe entre \(1\) et \(2\).

Une fraction est plus petite que \(1\) si son numérateur est plus petit que son dénominateur, et plus grande que \(1\) dans le cas contraire.

Des fractions égales

Multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul ne change pas la fraction.

$$ \frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} $$

Exemple :

$$ \frac{3}{4} = \frac{6}{8} = \frac{30}{40} $$

Cette propriété sert à compléter des égalités à trous :

$$ \frac{2}{5} = \frac{\dots}{15} \qquad \longrightarrow \qquad \frac{2}{5} = \frac{6}{15} $$

Comparer, encadrer et ranger des fractions

  1. Fractions de même dénominateur

    La plus grande est celle qui a le plus grand numérateur .

    $$ \frac{3}{7} < \frac{5}{7} $$

  2. Fractions de dénominateurs différents

    On les récrit avec le même dénominateur avant de comparer.

    $$ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \qquad \text{et} \qquad \frac{1}{2} = \frac{3}{6} $$
    $$ \frac{2}{3} > \frac{1}{2} $$

  3. Encadrer par deux entiers

    On cherche entre quels entiers consécutifs se situe la fraction.

    $$ 2 < \frac{9}{4} < 3 $$

Appliquer une fraction à une quantité

Prendre \(\frac{a}{b}\) d'une quantité, c'est multiplier cette quantité par \(\frac{a}{b}\). On peut aussi diviser par \(b\), puis multiplier par \(a\).

Exemple : prendre \(\frac{3}{4}\) de \(60\) élèves :

$$ 60 \div 4 = 15 \qquad \text{puis} \qquad 15 \times 3 = 45 $$
$$ \frac{3}{4} \times 60 = 45 \text{ élèves} $$

Additionner et soustraire des fractions

  1. Même dénominateur

    On ajoute ou on retranche les numérateurs, en gardant le dénominateur .

    $$ \frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7} $$

  2. Dénominateurs différents, dans des cas simples

    On récrit d'abord les fractions au même dénominateur , puis on ajoute.

    $$ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$

On n'additionne jamais les dénominateurs entre eux.

Multiplier une fraction par un nombre entier

On multiplie le numérateur par cet entier, sans toucher au dénominateur.

$$ 3 \times \frac{2}{5} = \frac{6}{5} $$

Fractions, écritures décimales et pourcentages

Un même nombre peut se dire de trois façons :

Fraction
Écriture décimale
Pourcentage
$$\frac{1}{2}$$
$$0.5$$
$$50 \ \%$$
$$\frac{1}{4}$$
$$0.25$$
$$25 \ \%$$
$$\frac{3}{4}$$
$$0.75$$
$$75 \ \%$$
$$\frac{1}{10}$$
$$0.1$$
$$10 \ \%$$