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Les fractions

Une fraction est un nombre : on la place, on la compare et on calcule avec elle.

Une tablette de \(12\) carreaux se partage entre quatre : chacun prend le quart, soit trois carreaux.

Une tablette de douze carreaux, dont le quart - trois carreaux - est mis à part
\(\frac{1}{4} \text{ de } 12 = 3\)
 Une tablette de douze carreaux, dont le quart - trois carreaux - est mis à part - support à compléter
\(\frac{1}{4} \text{ de } 12 = \ldots\)

Le dénominateur dit en combien de parts on coupe, le numérateur combien on en prend.

Une fraction

Une fraction \(\frac{a}{b}\) traduit un partage : on partage l'unité en \(b\) parts égales et on en prend \(a\).

\(a\) est le numérateur, \(b\) le dénominateur, qui ne peut pas être nul.

Un disque partagé en quatre parts égales, dont trois sont coloriées
\(\frac{3}{4}\)
 Un disque partagé en quatre parts égales, dont trois sont coloriées - support à compléter
\(\frac{3}{4}\)

La fraction, un quotient

Le quotient

La fraction \(\frac{a}{b}\) est le nombre qui, multiplié par \(b\), donne exactement \(a\) :

$$ \frac{a}{b} \times b = a $$

Exemple : \(\frac{2}{3} \times 3 = 2\) : \(\frac{2}{3}\) est le nombre qui, multiplié par \(3\), donne \(2\).

C'est le résultat exact de la division de \(a\) par \(b\).

Exemple : partager \(3\) gâteaux entre \(4\) personnes :

$$ \frac{3}{4} = 0.75 $$

Attention : la division ne tombe pas toujours juste. \(\frac{1}{3}\) ne s'écrit pas avec un nombre fini de décimales : \(1 \div 3 = 0.333\ldots\)

Placer une fraction sur une demi-droite graduée

Pour placer \(\frac{a}{b}\), on partage chaque unité en \(b\) parts égales, puis on compte \(a\) parts à partir de \(0\).

Exemple : pour \(\frac{5}{4}\), on compte cinq quarts : le point tombe entre \(1\) et \(2\).

Une demi-droite graduée en quarts, où l'on place cinq quarts
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(\frac{5}{4}\)
 Une demi-droite graduée en quarts, où l'on place cinq quarts - support à compléter
\(0\)
\(1\)
\(2\)

Une fraction est plus petite que \(1\) si son numérateur est plus petit que son dénominateur, égale à \(1\) s'ils sont égaux, plus grande que \(1\) s'il est plus grand.

Des fractions égales

Multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul ne change pas la fraction.

$$ \frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} $$

Exemple :

$$ \frac{3}{4} = \frac{6}{8} = \frac{30}{40} $$
Deux bandes de même longueur : trois quarts et six huitièmes coloriés couvrent la même longueur
\(\frac{3}{4}\)
\(\frac{6}{8}\)
 Deux bandes de même longueur : trois quarts et six huitièmes coloriés couvrent la même longueur - support à compléter
\(\frac{3}{4}\)
\(\frac{6}{8}\)

Elle sert à compléter des égalités à trous :

$$ \frac{2}{5} = \frac{\dots}{15} \hspace{2em} \longrightarrow \hspace{2em} \frac{2}{5} = \frac{6}{15} $$

Comparer, encadrer et ranger des fractions

  1. Fractions de même dénominateur

    La plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

    $$ \frac{3}{7} < \frac{5}{7} $$

  2. Fractions de dénominateurs différents

    On les récrit avec le même dénominateur avant de comparer.

    $$ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{1}{2} = \frac{3}{6} $$
    $$ \frac{2}{3} > \frac{1}{2} $$

  3. Encadrer par deux entiers

    On cherche entre quels entiers consécutifs se situe la fraction.

    $$ 2 < \frac{9}{4} < 3 $$

Appliquer une fraction à une quantité

Prendre \(\frac{a}{b}\) d'une quantité, c'est la multiplier par \(\frac{a}{b}\).

Exemple : prendre \(\frac{3}{4}\) de \(60\) élèves :

$$ 60 \div 4 = 15 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 15 \times 3 = 45 $$

Le sens des opérations ici n'a aucune importance, on peut réaliser l'une puis l'autre dans l'ordre que l'on veut.

$$ 3 \times 60 = 180 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 180 \div 4 = 45 $$

Dans tous les cas :

$$ \frac{3}{4} \times 60 = 45 \text{ élèves} $$

Additionner et soustraire des fractions

  1. Même dénominateur

    On ajoute ou on retranche les numérateurs, en gardant le dénominateur.

    $$ \frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7} $$

  2. Dénominateurs différents, dans des cas simples

    On récrit d'abord les fractions au même dénominateur, puis on ajoute.

    $$ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$

Attention : On n'additionne jamais les dénominateurs entre eux.

Multiplier une fraction par un nombre entier

On multiplie le numérateur par cet entier.

$$ 3 \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{5} = \frac{6}{5} $$

Fractions, écritures décimales et pourcentages

Trois écritures d'un même nombre :

Fraction
Écriture décimale
Pourcentage
$$\frac{1}{2}$$
$$0.5$$
$$50 \ \%$$
$$\frac{1}{4}$$
$$0.25$$
$$25 \ \%$$
$$\frac{3}{4}$$
$$0.75$$
$$75 \ \%$$
$$\frac{1}{10}$$
$$0.1$$
$$10 \ \%$$