Problèmes sur les fractions

Le gâteau d'anniversaire

Un gâteau est partagé en \(24\) parts égales. Théo en mange \(\frac{1}{6}\) et Léa \(\frac{1}{3}\).

1. Combien de parts Théo mange-t-il ? Et Léa ?
   $$ 24 \div 6 = 4 \qquad \text{et} \qquad 24 \div 3 = 8 $$

   $$ \text{Théo : } 4 \text{ parts} \qquad \text{Léa : } 8 \text{ parts} $$
2. Quelle fraction du gâteau ont-ils mangée à eux deux ?

   On met les deux fractions au même dénominateur, ici \(6\) :

   $$ \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} $$

   $$ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$

   Vérification : \(4 + 8 = 12\) parts sur \(24\), c'est bien la moitié du gâteau.

La tirelire de Nina

Nina a économisé \(60 \text{ €}\). Elle dépense les \(\frac{2}{5}\) de cette somme en livres.

1. Quelle somme dépense-t-elle ?

   On divise par le dénominateur, puis on multiplie par le numérateur :

   $$ 60 \div 5 = 12 \qquad \text{puis} \qquad 12 \times 2 = 24 $$

   $$ D = 24 \text{ €} $$
2. Quelle fraction de ses économies lui reste-t-il ?

   Le tout vaut \(\frac{5}{5}\), donc :

   $$ \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} $$

   $$ \frac{3}{5} \text{ de ses économies} $$
3. Vérifier par un calcul que cette fraction correspond bien à la somme restante.
   $$ 60 - 24 = 36 \qquad \text{et} \qquad \frac{3}{5} \times 60 = 36 $$

   Les deux méthodes donnent le même résultat.

Le trajet à vélo

Sacha parcourt \(\frac{1}{4}\) d'un trajet le matin, puis \(\frac{3}{8}\) l'après-midi.

1. Quelle fraction du trajet a-t-il parcourue en tout ?

   Comme \(8\) est un multiple de \(4\), on récrit la première fraction sur \(8\) :

   $$ \frac{1}{4} = \frac{2}{8} $$

   $$ \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8} $$

   $$ \frac{5}{8} \text{ du trajet} $$
2. Quelle fraction lui reste-t-il à parcourir ?
   $$ \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8} $$
3. Le trajet complet mesure \(40 \text{ km}\). Combien de kilomètres lui reste-t-il ?
   $$ 40 \div 8 = 5 \qquad \text{puis} \qquad 5 \times 3 = 15 $$

   $$ 15 \text{ km} $$

Les tablettes de chocolat

Alix a mangé \(\frac{3}{4}\) d'une tablette, Bilal \(\frac{5}{8}\) d'une tablette identique et Chloé \(\frac{7}{8}\).

1. Ranger ces trois fractions dans l'ordre croissant.

   On récrit toutes les fractions avec le dénominateur \(8\) :

   $$ \frac{3}{4} = \frac{6}{8} $$

   $$ \frac{5}{8} < \frac{6}{8} < \frac{7}{8} $$

   Donc Bilal a mangé le moins, puis Alix, et Chloé le plus.

2. Qui a mangé plus d'une demi-tablette ?

   Une demi-tablette vaut \(\frac{4}{8}\). Les trois fractions \(\frac{5}{8}\), \(\frac{6}{8}\) et \(\frac{7}{8}\) lui sont supérieures.

   $$ \text{Tous les trois} $$

Le potager

Un potager a une aire de \(120 \text{ m}^2\). On y plante des tomates sur \(\frac{1}{3}\) de la surface et des salades sur \(\frac{1}{6}\). Le reste est réservé aux fleurs.

1. Calculer l'aire occupée par les tomates, puis celle occupée par les salades.
   $$ 120 \div 3 = 40 \qquad \text{et} \qquad 120 \div 6 = 20 $$

   $$ \text{Tomates : } 40 \text{ m}^2 \qquad \text{Salades : } 20 \text{ m}^2 $$
2. Quelle fraction du potager les légumes occupent-ils ?

   Le dénominateur \(6\) est un multiple de \(3\) :

   $$ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} $$

   $$ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$
3. En déduire l'aire réservée aux fleurs, de deux façons différentes.

   Première façon : par les fractions. Il reste \(\frac{6}{6} - \frac{3}{6} = \frac{3}{6}\), soit la moitié du potager.

   $$ 120 \div 2 = 60 $$

   Seconde façon : par soustraction des aires.

   $$ 120 - 40 - 20 = 60 $$

   $$ \text{Fleurs : } 60 \text{ m}^2 $$