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Problèmes sur les fractions

Un gâteau, une tirelire, un potager : la fraction dit une part d'un tout, et le tout change à chaque énoncé.

Le gâteau d'anniversaire

Un gâteau est partagé en \(24\) parts égales. Théo en mange \(\frac{1}{6}\) et Léa \(\frac{1}{3}\).

  1. Combien de parts Théo mange-t-il ? Et Léa ?
    $$ 24 \div 6 = 4 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 24 \div 3 = 8 $$
    $$ \text{Théo : } 4 \text{ parts} \hspace{2em} \text{Léa : } 8 \text{ parts} $$
  2. Quelle fraction du gâteau ont-ils mangée à eux deux ?

    On met les deux fractions au même dénominateur, ici \(6\) :

    $$ \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} $$
    $$ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$

    Vérification : \(4 + 8 = 12\) parts sur \(24\), c'est bien la moitié du gâteau.

La tirelire de Nina

Nina a économisé \(60 \ \text{€}\). Elle dépense les \(\frac{2}{5}\) de cette somme en livres.

  1. Quelle somme dépense-t-elle ?

    On divise par le dénominateur, puis on multiplie par le numérateur :

    $$ 60 \div 5 = 12 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 12 \times 2 = 24 $$
    $$ 24 \ \text{€} $$
  2. Quelle fraction de ses économies lui reste-t-il ?

    Le tout vaut \(\frac{5}{5}\), donc :

    $$ \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} $$
    $$ \frac{3}{5} \text{ de ses économies} $$
  3. Vérifier par un calcul que cette fraction correspond bien à la somme restante.
    $$ 60 - 24 = 36 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{3}{5} \times 60 = 36 $$

    Les deux méthodes donnent le même résultat.

Le trajet à vélo

Sacha parcourt \(\frac{1}{4}\) d'un trajet le matin, puis \(\frac{3}{8}\) l'après-midi.

  1. Quelle fraction du trajet a-t-il parcourue en tout ?

    Comme \(8\) est un multiple de \(4\), on récrit la première fraction sur \(8\) :

    $$ \frac{1}{4} = \frac{2}{8} $$
    $$ \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8} $$
    $$ \frac{5}{8} \text{ du trajet} $$
  2. Quelle fraction lui reste-t-il à parcourir ?
    $$ \frac{8}{8} - \frac{5}{8} $$
    $$ \frac{3}{8} \text{ du trajet} $$
  3. Le trajet complet de Sacha mesure \(40 \ \text{km}\). Combien de kilomètres lui reste-t-il à parcourir ?
    $$ 40 \div 8 = 5 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 5 \times 3 = 15 $$
    $$ 15 \ \text{km} $$

Les tablettes de chocolat

Alix a mangé \(\frac{3}{4}\) d'une tablette, Bilal \(\frac{5}{8}\) d'une tablette identique et Chloé \(\frac{7}{8}\).

  1. Ranger ces trois fractions dans l'ordre croissant.

    On récrit toutes les fractions avec le dénominateur \(8\) :

    $$ \frac{3}{4} = \frac{6}{8} $$
    $$ \frac{5}{8} < \frac{6}{8} < \frac{7}{8} $$

    Donc Bilal a mangé le moins, puis Alix, et Chloé le plus.

  2. Qui a mangé plus d'une demi-tablette ?

    Une demi-tablette vaut \(\frac{4}{8}\). Les trois fractions \(\frac{5}{8}\), \(\frac{6}{8}\) et \(\frac{7}{8}\) lui sont supérieures.

    $$ \text{Tous les trois} $$

Le potager

Un potager a une aire de \(120 \ \text{m}^2\). On y plante des tomates sur \(\frac{1}{3}\) de la surface et des salades sur \(\frac{1}{6}\). Le reste est réservé aux fleurs.

  1. Calculer l'aire occupée par les tomates, puis celle occupée par les salades.
    $$ 120 \div 3 = 40 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 120 \div 6 = 20 $$
    $$ \text{Tomates : } 40 \ \text{m}^2 \hspace{2em} \text{Salades : } 20 \ \text{m}^2 $$
  2. Quelle fraction du potager les légumes occupent-ils ?

    Le dénominateur \(6\) est un multiple de \(3\) :

    $$ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} $$
    $$ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$
  3. En déduire l'aire réservée aux fleurs, de deux façons différentes.

    Première façon : par les fractions. Il reste \(\frac{6}{6} - \frac{3}{6} = \frac{3}{6}\), soit la moitié du potager.

    $$ 120 \div 2 = 60 $$

    Seconde façon : par soustraction des aires.

    $$ 120 - 40 - 20 = 60 $$
    $$ \text{Fleurs : } 60 \ \text{m}^2 $$

L'erreur de Lucas

Dans la classe de Lucas, \(\frac{2}{5}\) des élèves viennent au collège à vélo et \(\frac{3}{10}\) en bus. Lucas calcule la fraction de la classe qui vient à vélo ou en bus, et écrit :

$$ \frac{2}{5} + \frac{3}{10} = \frac{5}{15} $$
  1. Expliquer l'erreur de Lucas, puis donner le bon résultat.

    Lucas a additionné les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : on n'additionne jamais les dénominateurs. On récrit d'abord \(\frac{2}{5}\) avec le dénominateur \(10\), qui est un multiple de \(5\) :

    $$ \frac{2}{5} = \frac{4}{10} $$
    $$ \frac{4}{10} + \frac{3}{10} $$
    $$ \frac{7}{10} \text{ de la classe} $$
  2. Dans cette même classe, \(12\) élèves viennent à vélo. Retrouver le nombre d'élèves de la classe, à l'aide de la bande ci-dessous.
    Une bande qui représente la classe, partagée en cinq parts égales, dont deux correspondent aux douze élèves venus à vélo
    \(12\) élèves à vélo
    toute la classe : \(?\) élèves

    Les \(12\) élèves à vélo occupent deux parts sur cinq. Une part représente donc :

    $$ 12 \div 2 = 6 \text{ élèves} $$

    La classe entière compte cinq parts :

    $$ 6 \times 5 $$
    $$ 30 \text{ élèves} $$

    Vérification : \(\frac{2}{5}\) de \(30\), c'est \(30 \div 5 \times 2 = 12\).

  3. Les autres élèves de cette classe viennent à pied. Calculer leur nombre.

    Les élèves en bus sont les \(\frac{3}{10}\) des \(30\) élèves :

    $$ 30 \div 10 = 3 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 3 \times 3 = 9 $$
    $$ 30 - 12 - 9 $$
    $$ 9 \text{ élèves à pied} $$

    Vérification par les fractions : il reste \(\frac{10}{10} - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}\) de la classe, soit aussi \(9\) élèves.

Les deux briques de jus

Pour la kermesse, Emma apporte une brique de jus de \(150 \ \text{cL}\) remplie aux \(\frac{2}{3}\). Hugo apporte une brique de \(200 \ \text{cL}\), de même largeur, remplie aux \(\frac{3}{5}\).

Deux briques de jus de même largeur : celle d'Emma, de 150 cL, partagée en trois parts dont deux sont pleines ; celle de Hugo, de 200 cL, partagée en cinq parts dont trois sont pleines
\(\frac{2}{3}\)
\(\frac{3}{5}\)
Emma : \(150 \ \text{cL}\)
Hugo : \(200 \ \text{cL}\)
  1. Hugo affirme : « Ma brique est moins remplie que celle d'Emma. » Comparer les fractions \(\frac{2}{3}\) et \(\frac{3}{5}\) pour dire s'il a raison.

    On récrit les deux fractions avec le dénominateur \(15\), multiple de \(3\) et de \(5\) :

    $$ \frac{2}{3} = \frac{10}{15} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{3}{5} = \frac{9}{15} $$
    $$ \frac{3}{5} < \frac{2}{3} $$

    Hugo a raison : sa brique est remplie à une plus petite fraction que celle d'Emma.

  2. Calculer la quantité de jus contenue dans chacune des deux briques.
    $$ \text{Emma} : \ 150 \div 3 = 50 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 50 \times 2 = 100 $$
    $$ \text{Hugo} : \ 200 \div 5 = 40 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 40 \times 3 = 120 $$
    $$ \text{Emma} : 100 \ \text{cL} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{Hugo} : 120 \ \text{cL} $$
  3. Emma en conclut : « J'ai donc plus de jus que Hugo. » A-t-elle raison ? Expliquer.

    Non : Hugo a \(120 \ \text{cL}\), Emma seulement \(100 \ \text{cL}\). Les deux fractions ne portent pas sur la même quantité : \(\frac{3}{5}\) d'une grande brique peut contenir plus que \(\frac{2}{3}\) d'une petite.

    Comparer deux fractions ne permet de comparer les quantités que si le tout est le même.

  4. Emma veut verser tout son jus dans la brique de Hugo. Tout va-t-il rentrer ? Justifier.

    La place libre dans la brique de Hugo vaut :

    $$ 200 - 120 = 80 \ \text{cL} $$

    Emma a \(100 \ \text{cL}\) de jus, c'est plus que \(80 \ \text{cL}\) :

    $$ \text{Non, il reste } 100 - 80 = 20 \ \text{cL} \text{ dans la brique d'Emma} $$

Les pièces de la bande

Chaque pièce est une fraction de la bande, et n'existe qu'en un seul exemplaire.

Une bande partagée en douze cases égales, et sous elle cinq pièces à la même échelle : un demi, un tiers, un quart, un sixième et un douzième de la bande la bande
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{12}\)
 les pièces
  1. Écrire chaque pièce comme une fraction de dénominateur \(12\).

    On multiplie le numérateur et le dénominateur par un même nombre, par exemple \(\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4}\) :

    $$ \frac{1}{2} = \frac{6}{12} \hspace{2em} \frac{1}{3} = \frac{4}{12} \hspace{2em} \frac{1}{4} = \frac{3}{12} \hspace{2em} \frac{1}{6} = \frac{2}{12} $$

    Vérification sur la figure : chaque pièce couvre autant de cases de la bande que l'indique son numérateur, par exemple \(4\) cases pour \(\frac{1}{3}\).

  2. Mises bout à bout, ces cinq pièces dépassent-elles de la bande ? Si oui, de quelle fraction de la bande ?
    $$ \frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{16}{12} $$

    La bande vaut \(\frac{12}{12}\), et \(\frac{16}{12} > \frac{12}{12}\). Les pièces dépassent de :

    $$ \frac{16}{12} - \frac{12}{12} = \frac{4}{12} $$
    $$ \text{Oui, de } \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \text{ de la bande} $$
  3. Trouver toutes les façons de recouvrir exactement la bande avec certaines de ces pièces, puis prouver qu'il n'y en a pas d'autre. L'ordre des pièces ne compte pas.

    Les cinq pièces ensemble dépassent de \(\frac{4}{12}\). Recouvrir exactement la bande revient donc à mettre de côté des pièces qui valent, ensemble, exactement \(4\) douzièmes.

    Les pièces valent \(6\), \(4\), \(3\), \(2\) et \(1\) douzièmes. Celle de \(6\) douzièmes est trop grande, et celle de \(4\) douzièmes ne peut être accompagnée d'aucune autre. On passe en revue tous les cas :

    Une seule pièce : seule celle de \(4\) douzièmes convient.

    Deux pièces : parmi \(3\), \(2\) et \(1\), on obtient \(3 + 2 = 5\), puis \(3 + 1 = 4\) et \(2 + 1 = 3\). Seul \(3 + 1\) convient.

    Trois pièces : \(3 + 2 + 1 = 6\), c'est déjà trop.

    On met donc de côté soit la pièce \(\frac{1}{3}\), soit les pièces \(\frac{1}{4}\) et \(\frac{1}{12}\). Il y a exactement deux façons :

    $$ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = 1 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1 $$

    Vérification en douzièmes : \(6 + 3 + 2 + 1 = 12\) et \(6 + 4 + 2 = 12\).

La boîte de cookies

Une boîte de cookies passe de main en main. Inès prend \(\frac{1}{4}\) des cookies de la boîte. Jules prend ensuite \(\frac{1}{3}\) des cookies qui restent, puis Maxime la moitié de ceux qui restent encore.

  1. La boîte contient \(24\) cookies. Calculer le nombre de cookies pris par chaque enfant et le nombre de cookies restants, puis le vérifier en barrant les cookies sur la figure.
    Une boîte de vingt-quatre cookies, rangés en trois rangées de huit
    $$ \text{Inès} : \ 24 \div 4 = 6 \hspace{2em} \text{il reste } 24 - 6 = 18 $$
    $$ \text{Jules} : \ 18 \div 3 = 6 \hspace{2em} \text{il reste } 18 - 6 = 12 $$
    $$ \text{Maxime} : \ 12 \div 2 = 6 \hspace{2em} \text{il reste } 12 - 6 = 6 $$
    $$ 6 \text{ cookies chacun, et il en reste } 6 $$
  2. Un autre jour, avec une autre boîte et les mêmes règles, il reste \(5\) cookies à la fin. Retrouver le nombre de cookies de cette boîte.

    On remonte le partage en commençant par la fin. Maxime a pris la moitié, et l'autre moitié, ce sont les \(5\) cookies restants. Avant lui, il y en avait donc :

    $$ 5 \times 2 = 10 $$

    Jules a pris \(\frac{1}{3}\) : les \(10\) cookies qu'il a laissés font les \(\frac{2}{3}\) de ce qu'il a trouvé. Un tiers vaut \(10 \div 2 = 5\), donc avant lui :

    $$ 5 \times 3 = 15 $$

    Inès a pris \(\frac{1}{4}\) : les \(15\) cookies qu'elle a laissés font les \(\frac{3}{4}\) de la boîte. Un quart vaut \(15 \div 3 = 5\), donc la boîte contenait :

    $$ 5 \times 4 $$
    $$ 20 \text{ cookies} $$

    Vérification : \(20 \div 4 = 5\), il reste \(15\) ; \(15 \div 3 = 5\), il reste \(10\) ; \(10 \div 2 = 5\), il reste \(5\).

  3. Inès remarque que, ces deux jours-là, les trois enfants ont pris autant de cookies chacun, et qu'il en est resté autant. Expliquer pourquoi c'est toujours le cas, à l'aide d'une bande qui représente la boîte, puis donner la fraction de la boîte que reçoit chaque enfant.

    On partage la bande en \(4\) parts égales. Inès en prend une : il en reste \(3\). Jules prend le tiers de ces \(3\) parts, soit une part : il en reste \(2\). Maxime prend la moitié de ces \(2\) parts, soit une part : il en reste une.

    La boîte représentée par une bande partagée en quatre parts égales : Inès en prend une, Jules une des trois qui restent, Maxime une des deux qui restent encore, et il reste une part Inès Jules Maxime reste
    reste après Inès : \(3\) parts
    reste après Jules : \(2\) parts

    Chaque enfant reçoit donc une part sur quatre :

    $$ \frac{1}{4} \text{ de la boîte chacun} $$

    La part qui reste est aussi un quart de la boîte. Le raisonnement ne dépend pas du nombre de cookies, pourvu que chaque partage tombe juste.

  4. On change de règle : Inès prend \(\frac{1}{5}\) de la boîte, Jules \(\frac{1}{4}\) du reste, Maxime \(\frac{1}{3}\) du nouveau reste, puis Léna la moitié de ce qui reste encore. À la fin, il reste \(7\) cookies. Trouver le nombre de cookies de la boîte sans remonter le partage étape par étape.

    On partage la bande en \(5\) parts égales. Inès en prend une, il en reste \(4\). Jules prend le quart de \(4\) parts, soit une part, il en reste \(3\). Maxime prend le tiers de \(3\) parts, soit une part, il en reste \(2\). Léna prend la moitié de \(2\) parts, soit une part, et il en reste une.

    Chaque enfant reçoit \(\frac{1}{5}\) de la boîte, et les \(7\) cookies restants forment le dernier cinquième :

    $$ 7 \times 5 $$
    $$ 35 \text{ cookies} $$

    Vérification : \(35 \div 5 = 7\), il reste \(28\) ; \(28 \div 4 = 7\), il reste \(21\) ; \(21 \div 3 = 7\), il reste \(14\) ; \(14 \div 2 = 7\), il reste \(7\).