Retour
Les décimaux prolongent les entiers : on apprend à les lire, les ranger, les arrondir et calculer avec.
-
Donner la valeur d'un chiffre selon son rang
-
Écrire un nombre décimal sous forme de fraction décimale ou de décomposition
-
Repérer, comparer et encadrer des nombres décimaux
-
Arrondir un nombre décimal
-
Calculer avec des nombres décimaux et effectuer une division euclidienne
Sur une balance : \(1.250 \ \text{kg}\). Sur un panneau : \(1 \ 250 \ \text{m}\).
Le \(5\) ne vaut pas la même chose dans \(1.250\) et dans \(1 \ 250\) : tout dépend de sa colonne.
La virgule sépare les unités entières des parts plus petites qu'une unité.
Un nombre entier
Un nombre entier est un nombre qui s'écrit sans virgule, comme \(0\), \(7\) ou \(1 \ 254\).
Un nombre décimal
Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec une virgule, suivie d'un nombre fini de chiffres.
Tout entier est un décimal : sa partie décimale est nulle.
La valeur d'un chiffre selon son rang
La valeur d'un chiffre dépend de sa position : à gauche de la virgule la partie entière, à droite la partie décimale.
Milliers |
Centaines |
Dizaines |
Unités |
, |
Dixièmes |
Centièmes |
Millièmes |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
$$3$$ |
$$0$$ |
$$4$$ |
$$2$$ |
$$,$$ |
$$7$$ |
$$5$$ |
Exemple : dans \(3 \ 042.75\), le \(4\) est le chiffre des dizaines, il vaut \(40\) ; le \(5\) celui des centièmes, il vaut \(0.05\).
Ne pas confondre le chiffre des dizaines et le nombre de dizaines : ici, il vaut \(304\).
Les différentes écritures d'un nombre décimal
Un même nombre a trois écritures : l'écriture décimale, la décomposition et la fraction décimale, dont le dénominateur est \(10\) ; \(100\) ; \(1 \ 000\)...
Ajouter des zéros à la fin de la partie décimale ne change pas le nombre :
Repérer un nombre sur une demi-droite graduée
Sur une demi-droite graduée, chaque point est repéré par un nombre appelé son abscisse.
On repère entre quels entiers il se situe, puis on partage l'intervalle en dix parts égales pour lire les dixièmes.
Exemple : \(2.4\) se place entre \(2\) et \(3\), à la quatrième graduation après \(2\).
Comparer, ranger, encadrer et intercaler
-
Comparer et ranger
On compare les parties entières ; à égalité, les décimales rang par rang, en partant des dixièmes.
$$ 3.5 > 3.45 $$car \(3.5 = 3.50\) et \(5\) dixièmes valent plus que \(4\) dixièmes. Un nombre n'est pas plus grand parce qu'il a plus de chiffres.
Ranger dans l'ordre croissant, c'est du plus petit au plus grand ; décroissant, l'inverse.
-
Encadrer
Encadrer \(7.28\) à l'unité, puis au dixième :
$$ 7 < 7.28 < 8 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 7.2 < 7.28 < 7.3 $$ -
Intercaler
Entre deux nombres décimaux, on peut toujours en trouver un autre :
$$ 4.1 < 4.15 < 4.2 $$
Arrondir un nombre décimal
On regarde le chiffre qui suit le rang demandé :
Exemple : l'arrondi de \(4.136\) au centième est \(4.14\) ; son arrondi à l'unité est \(4\).
Calculer avec des nombres décimaux
-
Additionner et soustraire
On aligne les virgules, en complétant par des zéros si besoin.
$$ 12.4 + 3.75 = 12.40 + 3.75 = 16.15 $$ -
Multiplier par \(10\) ou par \(0.1\)
Par \(10\), par \(100\) ou par \(1 \ 000\), la virgule se déplace vers la droite, d'autant de rangs qu'il y a de zéros.
$$ 3.147 \times 100 = 314.7 $$Par \(0.1\), par \(0.01\) ou par \(0.001\), elle se déplace vers la gauche : multiplier par \(0.1\) revient à diviser par \(10\).
$$ 42.5 \times 0.01 = 0.425 $$ -
Multiplier deux nombres décimaux
On multiplie sans les virgules, puis on place la virgule en comptant le total des chiffres après la virgule des deux facteurs.
$$ 4 \times 3 = 12 $$Deux chiffres après la virgule en tout :
$$ 0.4 \times 0.3 = 0.12 $$On contrôle avec un ordre de grandeur : \(19.8 \times 5.1\) est proche de \(20 \times 5 = 100\).
-
Diviser par un nombre entier
On pose la division comme pour des entiers ; en abaissant le premier chiffre après la virgule, on place la virgule au quotient.
$$ 15.6 \div 4 = 3.9 $$
La division euclidienne
La division euclidienne
Diviser un entier \(a\) par un entier \(b\) non nul, c'est trouver un quotient \(q\) et un reste \(r\) tels que :
Exemple :
Si le reste est nul, \(a\) est un multiple de \(b\).