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Les nombres entiers et décimaux

Un nombre entier

Un nombre entier est un nombre qui s'écrit sans virgule , comme \(0\), \(7\) ou \(1 \ 254\).

Un nombre décimal

Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec une virgule , suivie d'un nombre fini de chiffres .

Tout nombre entier est aussi un nombre décimal : sa partie décimale est simplement nulle.

La valeur d'un chiffre selon son rang

Dans un nombre, chaque chiffre a une valeur qui dépend de sa position . À gauche de la virgule on lit la partie entière, à droite la partie décimale.

Milliers
Centaines
Dizaines
Unités
,
Dixièmes
Centièmes
Millièmes
$$3$$
$$0$$
$$4$$
$$2$$
$$,$$
$$7$$
$$5$$

Exemple : dans \(3 \ 042.75\), le chiffre \(4\) est le chiffre des dizaines : il vaut \(40\). Le chiffre \(5\) est celui des centièmes : il vaut \(0.05\).

Attention à ne pas confondre le chiffre des dizaines et le nombre de dizaines : dans \(3 \ 042.75\), le nombre de dizaines est \(304\).

Les différentes écritures d'un nombre décimal

Un même nombre décimal peut s'écrire de plusieurs façons.

  1. L'écriture décimale

    $$ 3.7 $$

  2. La décomposition

    $$ 3.7 = 3 + \frac{7}{10} $$

  3. La fraction décimale

    C'est une fraction dont le dénominateur est \(10\), \(100\), \(1 \ 000\) ...etc.

    $$ 3.7 = \frac{37}{10} $$

Ajouter des zéros à la fin de la partie décimale ne change pas le nombre :

$$ 3.7 = 3.70 = 3.700 $$

Repérer un nombre sur une demi-droite graduée

Sur une demi-droite graduée, chaque point est repéré par un nombre appelé son abscisse .

Pour placer un nombre décimal, on regarde entre quels entiers il se situe, puis on partage l'intervalle en dix parts égales pour lire les dixièmes.

Exemple : \(2.4\) se place entre \(2\) et \(3\), à la quatrième graduation après \(2\).

Comparer, ranger, encadrer et intercaler

  1. Comparer deux nombres décimaux

    On compare d'abord les parties entières . Si elles sont égales, on compare les chiffres de la partie décimale rang par rang , en partant des dixièmes.

    Exemple :

    $$ 3.5 > 3.45 $$

    car \(3.5 = 3.50\) et \(5\) dixièmes valent plus que \(4\) dixièmes. Un nombre n'est donc pas plus grand parce qu'il a plus de chiffres.

  2. Ranger des nombres

    Ranger dans l'ordre croissant, c'est aller du plus petit au plus grand ; dans l'ordre décroissant, c'est l'inverse.

  3. Encadrer un nombre

    Encadrer, c'est trouver deux nombres qui entourent le nombre donné.

    Exemple : encadrement de \(7.28\) à l'unité, puis au dixième :

    $$ 7 < 7.28 < 8 $$
    $$ 7.2 < 7.28 < 7.3 $$

  4. Intercaler un nombre

    Entre deux nombres décimaux, on peut toujours en trouver un autre.

    Exemple :

    $$ 4.1 < 4.15 < 4.2 $$

Arrondir un nombre décimal

Pour arrondir, on regarde le premier chiffre qui suit le rang demandé :

Exemple : l'arrondi de \(4.136\) au centième est \(4.14\) ; son arrondi à l'unité est \(4\).

Additionner et soustraire des nombres décimaux

On pose l'opération en alignant les virgules , donc les chiffres de même rang. On peut compléter par des zéros pour que les deux nombres aient autant de décimales.

Exemple :

$$ 12.4 + 3.75 = 12.40 + 3.75 = 16.15 $$

Multiplier par \(10, 100, 1 \ 000\) ou par \(0.1, 0.01, 0.001\)

  1. Multiplier par \(10, 100, 1 \ 000\)

    La virgule se déplace vers la droite , d'autant de rangs qu'il y a de zéros.

    $$ 3.147 \times 100 = 314.7 $$

  2. Multiplier par \(0.1, 0.01, 0.001\)

    La virgule se déplace vers la gauche . Multiplier par \(0.1\) revient à diviser par \(10\) .

    $$ 42.5 \times 0.01 = 0.425 $$

On complète par des zéros les emplacements laissés vides.

Multiplier deux nombres décimaux

La méthode se fait en deux temps :

  1. on effectue la multiplication sans les virgules, comme avec des nombres entiers ;
  2. on place la virgule dans le résultat en comptant le total des chiffres après la virgule des deux facteurs.

Exemple :

$$ 4 \times 3 = 12 $$

\(0.4\) a un chiffre après la virgule et \(0.3\) en a un aussi, soit deux en tout. Donc :

$$ 0.4 \times 0.3 = 0.12 $$

Diviser un nombre décimal par un nombre entier

On pose la division comme pour des entiers. Lorsqu'on abaisse le premier chiffre situé après la virgule du dividende, on place la virgule au quotient .

Exemple :

$$ 15.6 \div 4 = 3.9 $$

La division euclidienne

La division euclidienne

Diviser un entier \(a\) par un entier \(b\) non nul, c'est trouver un quotient \(q\) et un reste \(r\) tels que :

$$ a = b \times q + r \qquad \text{avec} \qquad 0 \leqslant r < b $$

Exemple :

$$ 47 = 6 \times 7 + 5 $$

Le reste est toujours plus petit que le diviseur . Si le reste est nul, on dit que \(a\) est un multiple de \(b\).

Les pourcentages

Un pourcentage

Écrire \(p \Bigl[ \% \Bigr]\), c'est écrire la fraction de dénominateur \(100\) :

$$ p \Bigl[ \% \Bigr] = \frac{p}{100} $$

Exemple :

$$ 25 \ \% = \frac{25}{100} = 0.25 $$

Prendre \(25 \ \%\) d'une quantité, c'est donc en prendre le quart.

Contrôler un résultat par un ordre de grandeur

Avant ou après un calcul, on remplace les nombres par des valeurs proches et plus simples pour vérifier que le résultat est plausible.

Exemple : pour \(19.8 \times 5.1\), on calcule mentalement :

$$ 20 \times 5 = 100 $$

Le résultat attendu est donc proche de \(100\) : un résultat de \(10\) ou de \(1 \ 000\) signalerait une erreur de virgule.