Problèmes sur les nombres entiers et décimaux en sixième

Des courses, un plein d'essence, un ruban à couper : les décimaux servent partout, et l'ordre de grandeur vérifie le résultat.

Poser une opération sur des nombres décimaux
Encadrer et intercaler un nombre décimal
Contrôler un résultat par son ordre de grandeur
Comparer deux offres par le calcul

Entre deux nombres

Écrire trois nombres compris entre $4.2$ et $4.3$.

Par exemple $4.21$, $4.25$ et $4.29$.
Ranger dans l'ordre croissant : $7.5$ ; $7.45$ ; $7.409$ ; $7.6$.

On complète par des zéros pour comparer rang par rang : $7.500$ ; $7.450$ ; $7.409$ ; $7.600$.

$$ 7.409 < 7.45 < 7.5 < 7.6 $$

Le nombre $7.409$ est le plus petit alors qu'il a le plus de chiffres : ce n'est pas le nombre de chiffres qui décide.

Les courses au marché

Manon achète $1.5 \ \text{kg}$ de pommes à $2.40 \ \text{€}$ le kilogramme, et un pain à $1.15 \ \text{€}$. Elle paie avec un billet de $10 \ \text{€}$.

Quel est le prix des pommes ?

$$ P = 1.5 \times 2.40 $$

$$ P = 3.60 \ \text{€} $$
Quel est le montant total de ses achats ?

$$ T = 3.60 + 1.15 $$

$$ T = 4.75 \ \text{€} $$
Combien la commerçante doit-elle lui rendre ?

$$ R = 10 - 4.75 $$

$$ R = 5.25 \ \text{€} $$

Le voyage scolaire

Un collège emmène $247$ élèves en sortie. Chaque car peut transporter $52$ élèves.

Effectuer la division euclidienne de $247$ par $52$, puis écrire l'égalité correspondante.

$$ 247 = 52 \times 4 + 39 $$

Le quotient est $4$ et le reste est $39$. On vérifie que le reste est bien plus petit que le diviseur : $39 < 52$.
Combien de cars faut-il réserver ? Attention au piège.

Quatre cars ne suffisent pas : il resterait $39$ élèves à quai. Il faut donc un car de plus.

$$ N = 5 \text{ cars} $$
Combien de places resteront libres dans le dernier car ?

$$ L = 52 - 39 $$

$$ L = 13 \text{ places} $$

Le plein d'essence

Le père de Sacha fait le plein : $38.5$ litres de carburant à $1.72 \ \text{€}$ le litre.

Avant tout calcul, donner un ordre de grandeur du prix à payer.

On remplace par des nombres proches et plus simples :

$$ 40 \times 1.7 = 68 $$

Le prix sera donc proche de $70 \ \text{€}$.
Calculer le prix exact.

$$ P = 38.5 \times 1.72 = 66.22 $$

$$ P = 66.22 \ \text{€} $$

Le résultat est bien du même ordre de grandeur que l'estimation : le calcul est plausible.

Le ruban de la couturière

Une couturière dispose d'un ruban de $12.6 \ \text{m}$. Elle veut y découper des morceaux de $0.4 \ \text{m}$.

Combien de morceaux entiers peut-elle découper ?

On cherche combien de fois $0.4 \ \text{m}$ tient dans $12.6 \ \text{m}$. Pour travailler avec des entiers, on convertit en décimètres :

$$ 12.6 \ \text{m} = 126 \ \text{dm} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 0.4 \ \text{m} = 4 \ \text{dm} $$

La division euclidienne de $126$ par $4$ donne :

$$ 126 = 4 \times 31 + 2 $$

$$ N = 31 \text{ morceaux} $$
Quelle longueur de ruban lui reste-t-il ?

Le reste de la division vaut $2$ : il reste $2 \ \text{dm}$ de ruban, c'est-à-dire :

$$ L = 0.2 \ \text{m} $$

Vérification : $31 \times 0.4 = 12.4$, et $12.6 - 12.4 = 0.2$.
Ce ruban coûte $3.50 \ \text{€}$ le mètre. Quel est le prix des $12.6 \ \text{m}$ de ruban ?

$$ P = 12.6 \times 3.50 = 44.1 $$

$$ P = 44.10 \ \text{€} $$

Les calculs de Tom

Tom a fait ses calculs sans poser les opérations. Pour chacun, dire s'il est juste ou faux ; s'il est faux, expliquer l'erreur et donner le bon résultat.

$0.4 \times 0.3 = 1.2$

Faux. L'ordre de grandeur suffit à le voir : on prend moins de la moitié de $0.4$, le résultat est donc plus petit que $0.4$, et pas plus grand que $1$. On calcule $4 \times 3 = 12$, puis on compte deux chiffres après la virgule dans les facteurs :

$$ 0.4 \times 0.3 = 0.12 $$
$5.6 + 2.75 = 7.81$

Faux. Tom a additionné $6$ et $75$ comme s'ils étaient du même rang : $6$ dixièmes et $75$ centièmes ne s'ajoutent pas ainsi. On aligne les virgules en complétant par un zéro :

$$ 5.60 + 2.75 $$

$$ 8.35 $$
$9.6 \div 4 = 2.4$

Juste. On le vérifie par la multiplication :

$$ 2.4 \times 4 = 9.6 $$

$$ 9.6 \div 4 = 2.4 $$

La carte de cinéma

Au cinéma du quartier, une séance coûte $7.90 \ \text{€}$. On peut aussi acheter une carte à $25 \ \text{€}$ pour l'année : avec elle, chaque séance ne coûte plus que $4.50 \ \text{€}$.

Calculer le prix de $5$ séances sans la carte, puis avec la carte.

$$ \text{Sans carte} : \ 7.90 \times 5 = 39.50 $$

$$ \text{Avec la carte} : \ 25 + 4.50 \times 5 = 25 + 22.50 = 47.50 $$

$$ 39.50 \ \text{€} \quad \text{et} \quad 47.50 \ \text{€} $$

Pour $5$ séances, la carte ne vaut pas la peine.
Léo va au cinéma $10$ fois dans l'année. Dire quelle formule il doit choisir.

$$ \text{Sans carte} : \ 7.90 \times 10 = 79 $$

$$ \text{Avec la carte} : \ 25 + 4.50 \times 10 = 25 + 45 = 70 $$

$$ \text{Léo doit prendre la carte} $$

Il économise $79 - 70 = 9 \ \text{€}$.

Pour $5$ séances la carte coûte plus cher, pour $10$ séances elle coûte moins cher. Compléter le tableau, puis trouver à partir de combien de séances la carte devient avantageuse.

Nombre de séances	$$ 6 $$	$$ 7 $$	$$ 8 $$	$$ 9 $$
Sans carte $(\text{€})$
Avec la carte $(\text{€})$

Nombre de séances	$$ 6 $$	$$ 7 $$	$$ 8 $$	$$ 9 $$
Sans carte $(\text{€})$	$$ 47.40 $$	$$ 55.30 $$	$$ 63.20 $$	$$ 71.10 $$
Avec la carte $(\text{€})$	$$ 52 $$	$$ 56.50 $$	$$ 61 $$	$$ 65.50 $$

Jusqu'à $7$ séances, le prix sans carte est le plus petit ; dès $8$ séances, c'est le prix avec la carte : $61 < 63.20$.

$$ \text{À partir de } 8 \text{ séances} $$

Chaque séance avec la carte fait gagner $7.90 - 4.50 = 3.40 \ \text{€}$ : il faut assez de séances pour rattraper les $25 \ \text{€}$ de la carte.

L'arrondi de l'arrondi

Pour arrondir $2.449$ au dixième, Sofia l'arrondit d'abord au centième, puis elle arrondit ce résultat au dixième.

Donner le résultat obtenu par Sofia, puis l'arrondi au dixième de $2.449$ obtenu directement.

Pour Sofia : le chiffre des millièmes de $2.449$ est $9$, elle arrondit au centième du dessus ; le chiffre des centièmes de $2.45$ est $5$, elle arrondit au dixième du dessus.

$$ 2.449 \ \longrightarrow \ 2.45 \ \longrightarrow \ 2.5 $$

Directement : le chiffre des centièmes de $2.449$ est $4$, on arrondit au dixième du dessous.

$$ \text{Sofia} : 2.5 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{directement} : 2.4 $$
Placer $2.449$ sur les deux droites graduées, puis dire lequel de ces deux résultats est le bon.

Sur la droite du bas, $2.449$ est à la neuvième graduation après $2.44$, juste avant $2.45$. Sur celle du haut, il tombe donc juste avant $2.45$, le milieu entre $2.4$ et $2.5$ : il est plus proche de $2.4$.

$$ \text{Le bon arrondi est } 2.4 $$

En arrondissant d'abord au centième, Sofia a poussé le nombre jusqu'au milieu $2.45$, puis elle a arrondi ce milieu au-dessus.
Trouver tous les nombres à trois chiffres après la virgule, compris entre $2.4$ et $2.5$, pour lesquels la méthode de Sofia donne un arrondi au dixième faux. Prouver qu'il n'y en a pas d'autre.

Un tel nombre s'écrit $2.4$ suivi d'un chiffre des centièmes et d'un chiffre des millièmes. On examine le chiffre des centièmes.

S'il vaut $0$, $1$, $2$ ou $3$ : l'arrondi direct est $2.4$. Au centième, Sofia garde ce chiffre ou l'augmente de $1$ : il vaut au plus $4$, et elle trouve aussi $2.4$.

S'il vaut $5$, $6$, $7$, $8$ ou $9$ : l'arrondi direct est $2.5$. Au centième, Sofia obtient un nombre au moins égal à $2.45$, et elle trouve aussi $2.5$.

S'il vaut $4$ : l'arrondi direct est $2.4$. Si le chiffre des millièmes va de $0$ à $4$, Sofia obtient $2.44$ puis $2.4$ : c'est juste. S'il va de $5$ à $9$, elle obtient $2.45$ puis $2.5$ : c'est faux.

La méthode ne se trompe donc que si le chiffre des centièmes est $4$ et celui des millièmes au moins $5$ :

$$ 2.445 \ ; \ 2.446 \ ; \ 2.447 \ ; \ 2.448 \ ; \ 2.449 $$
Combien de nombres à trois chiffres après la virgule, compris entre $7$ et $8$, piègent la méthode de Sofia ? Justifier.

Le raisonnement précédent vaut entre deux dixièmes consécutifs : de $7$ à $7.1$, de $7.1$ à $7.2$, et ainsi de suite jusqu'à l'intervalle de $7.9$ à $8$. Cela fait $10$ intervalles, et dans chacun la méthode se trompe pour les cinq nombres dont le chiffre des centièmes est $4$ et celui des millièmes au moins $5$. Par exemple :

$$ 7.945 \ \longrightarrow \ 7.95 \ \longrightarrow \ 8 \hspace{2em} \text{au lieu de } 7.9 $$

$$ 10 \times 5 $$

$$ 50 \text{ nombres} $$

Les sauts de la puce

Une puce part de $0$ sur une demi-droite graduée. Elle avance toujours vers la droite, par grands sauts de $0.7$ ou par petits sauts de $0.4$, dans l'ordre qu'elle veut.

La puce fait $3$ grands sauts puis $2$ petits sauts. Sur quel nombre arrive-t-elle ? Vérifier en dessinant ces sauts sur la figure.

$$ 3 \times 0.7 + 2 \times 0.4 = 2.1 + 0.8 $$

$$ 2.9 $$
Peut-elle arriver exactement sur $1$ ? Et exactement sur $3$ ? Justifier.

On compte en dixièmes : un grand saut vaut $7$ dixièmes, un petit saut $4$ dixièmes. Une fois les grands sauts faits, ce qui reste à parcourir doit l'être en petits sauts : ce doit être un multiple de $4$.

Pour arriver sur $1$, soit $10$ dixièmes : avec aucun grand saut, il reste $10$ ; avec un grand saut, il reste $3$ ; deux grands sauts dépassent déjà. Ni $10$ ni $3$ n'est un multiple de $4$.

Pour arriver sur $3$, soit $30$ dixièmes : avec $0$, $1$, $2$, $3$ ou $4$ grands sauts, il reste $30$, $23$, $16$, $9$ ou $2$ dixièmes ; cinq grands sauts dépassent. Seul $16 = 4 \times 4$ est un multiple de $4$.

$$ \text{Sur } 1 : \text{non} \hspace{2em} \text{sur } 3 : \text{oui, avec } 2 \text{ grands sauts et } 4 \text{ petits} $$

Vérification : $2 \times 0.7 + 4 \times 0.4 = 1.4 + 1.6 = 3$.

La puce veut arriver exactement sur $6.1$ en faisant le moins de sauts possible. Trouver combien de grands et de petits sauts elle doit faire, et prouver qu'elle ne peut pas faire mieux.

En dixièmes, il faut parcourir $61$. Neuf grands sauts font $63$ dixièmes, c'est trop : la puce fait entre $0$ et $8$ grands sauts. On liste ce qui reste à parcourir en petits sauts :

Grands sauts	$$ 0 $$	$$ 1 $$	$$ 2 $$	$$ 3 $$	$$ 4 $$	$$ 5 $$	$$ 6 $$	$$ 7 $$	$$ 8 $$
Reste (dixièmes)	$$ 61 $$	$$ 54 $$	$$ 47 $$	$$ 40 $$	$$ 33 $$	$$ 26 $$	$$ 19 $$	$$ 12 $$	$$ 5 $$

Seuls $40$ et $12$ sont des multiples de $4$. Il n'y a donc que deux façons : $3$ grands sauts et $10$ petits, soit $13$ sauts ; ou $7$ grands sauts et $3$ petits, soit $10$ sauts.

$$ 7 \text{ grands sauts et } 3 \text{ petits, soit } 10 \text{ sauts} $$

Vérification : $7 \times 0.7 + 3 \times 0.4 = 4.9 + 1.2 = 6.1$.